用空間向量研究距離、夾角問題課件-2023-2024學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章

空間向量與立體幾何1.4.2

用空間向量研究距離、夾角問題新課引入思考：怎樣利用向量方法求直線到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離?提示：兩條直線平行，其中一條直線到另一條直線間的距離是其中一條直線上任一點到另一條直線的距離；一條直線和一個平面平行，直線到平面的距離就是這條直線上任一點到這個平面的距離；兩個平面平行，平面到平面的距離就是一個平面上任一點到這個平面的距離.新課引入回顧求向量的投影公式是什么?回顧勾股定理是什么?已知直線l的單位方向向量為u,A

是直線1上的定點，P是直線l外一點，設向量AP=a在直線1上的投影向量為AQ=a-u,則點P

到直線課堂探究點P到直線的距離李老師寄語：每天努力一點點和每天放松一點點的區(qū)別如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03l的距離為(如圖).思考：u

怎么求?點P到平面α的距離設平面α的法向量為n,A

是平面α內的定點，P是平面α外一點，思考：A

的變化會不會影響PQ的長度?為

什么?則點P

到平面α的距離

(如圖).課堂探究例1如圖，正方體ABCD-A

的棱長為1,求(1)B

到直線A?C?的距離(2)D?

到平面A?BD

的距離.(3)D?C到平面A?BD

的距離(4)平面A?BD與平面B?CD?間的距離例題解析解

(1)以B

為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A?(4,0,1),C?(0,3,1),所以直線A?C?的方向向量A?C?=(-4,3,0),BC?=(0,3,1),所以點B

到直線A?C?

的距離例題解析解

.

(2)(3)(4)請學生回答，老

師書寫，最后指出不足地方李老師寄語：每天努力一點點和每天放松一點點的區(qū)別如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例題解析1.如圖所示，在長方體ABCD-A?B?C?D?中

，AD=AA?=1,AB=2,點

E是

棱AB

的中點，則

點E

到平面ACD?的距離為(

)練

習

鞏

固C.A.D.B.2.在空間直角坐標系中有長方體ABCD-A?B?C?D?

,A

B=1,BC=2,AA?=3,

則點B到直線A?C

的距離為()練習鞏固A.

B.C.D.1回顧夾角的定義和范圍問題：(1)線線(2)向量的夾角(3)線面(4)二面角(5)兩個平面的夾角重要角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設兩異面直線l?

,l?所成的角為θ,其方向向量分別為u,v,則cos

θ直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,則sin兩個平面的夾角設平面a與平面β的夾角為θ,平面a,β的法向量分別為n?

,n2,則cos空間角的向量法解法點

，EF與B?

D相交于點H.(1)求證：B?D⊥平面ABD;(2)求證：平面EGF//平面ABD;(3)求平面EGF

與平面ABD

的距離例3如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?=4,點E在棱BB?上

，EB?=1,D,F,G中，∠ABC=90°,BC=2,CC?分別為CC?,C?,A?C?

的中例題解析[解析](1)證明：如圖所示建立空間直角坐標系，所以B?D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2).所以B?D·AB=0+0+0=0,B?D·BD=0+4-4=0.所以BD⊥AB,B?D⊥BD,所以B?D⊥AB,B?D⊥BD,又AB∩BD=B,

所以B?D⊥平面

ABD.例

題

解

析設

AB=a,則A?(a,0,0),B?(0,0,0),C?(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),

例題解析(2)證明：由(1)可得AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2),EF=(0,1,一1),所以AB=2GF,BD=2EF,所以GF//AB,EF//BD.所以GF//AB,EF//BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF//平面ABD.(3)解：由(1)(2)知，B?D是平面EGF和平面ABD的法向量.因為平面

EGF//

平

面ABD,

所以

點E

到平面ABD

的距離就是兩平面的距離，設為d.因為EB=(0,0,3),B?D=(0,2,2),即兩平面間的距離例

題

解析1.已知向量m,n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m,n〉=,則1與α所成的角為B.60°C.150°D.120°練

習

鞏

固解析

設l與α所成的角為θ,∴θ=60°,故選B.2.已知平面α的法向量u=(1,0,-1),平面的法向量v=(0,-1,1),則平面a與的夾角為

∴平面α與β的夾角練

習鞏

固3.如圖，在三棱柱OAB-O?A?B?中，平面OBB?O?

⊥

平面OAB,

∠O?OB=60°,∠AOB=90°,且OB=00?=2,OA=3,

求異面直線A?B

與AO?

所成角的余弦練

習

鞏

固值.解以O

為坐標原點，OA,OB

的方向為x軸，y

軸的正方向.建立如圖所示的空間直角坐標系，則O(0,0,0),O?(0,1,√3),A(√3,0,0),A?(√3,1,√3),B(0,2,0),∴A?B=(-√3,1,一

√3),OA=(√3,-1,

一

√3).∴異面直線A?B與

AO?所成角的余弦值為練

習

鞏

固4.在空間直角坐標系Oxyz中，已知

A(1,-2,0),B(2,1,

√6),則向量AB與平面

xOz的法向量的夾角的正弦值為

故向量AB與平面xOz的法向量的夾角的正弦值解析

設平面xOz的法向量為n=(0,1,0),AB=(1,3,

√6),練

習

鞏

固5.如圖，在正方體ABEF-DCE′F′

中，