預備知識02 集合間的基本關系（原卷版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學習提升）

專題02預備知識二：集合間的基本關系1、理解集合之間的包含與相等的含義；2、能識別給定集合的子集，了解空集含義3、能進行自然語言、圖形語言(Venn圖)、符號語言間的轉換1、子集、空集與Venn圖1.1子集的定義：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn圖：在數(shù)學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為圖。則上述集合和集合的包含關系，可以用如下圖表示：要點說明：①子集的定義可以理解為：若任意的，都有，則.這可以作為證明的方法；②規(guī)定：空集是任何集合的子集；③任何一個集合是它本身的子集，記作AA；④包含關系具有傳遞性，即若AB，且BC，則AC；⑤集合是集合的子集不能理解為集合是由集合中的“部分元素”組成的，因為集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符號“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作。要點說明：①若且，則；反之，如果，則且。這就給出了我們證明兩個集合全等的方法，即預證，只需證且都成立即可；②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關；③要判斷兩個集合是否相等，對于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩個集合的元素是否完全相同；若是無限集，應依據(jù)“互為子集”從兩個方向入手進行判斷。④同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在；⑤集合中的關系與實數(shù)中的結論類比實數(shù)集合包含兩層含義：，或AB包含兩層含義：，或若，且，則若AB，且AB，則A＝B若，，則若AB，BC，則AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.要點說明：理解真子集的定義要注意一下幾點：①空集是任何非空集合的真子集；②對于集合A，B，C，如果，，那么；③若，則與有兩種可能的關系：即或；4、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；要點說明：空集的性質：①空集只有一個子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，則，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無限集；對點特訓一：判斷集合子集（真子集）個數(shù)典型例題例題1．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習）集合的子集的個數(shù)是（

）A．16 B．8 C．7 D．4例題2．（23-24高一上·山東·階段練習）滿足的集合M的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6精練1．（2020·廣東梅州·模擬預測）已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．22．（23-24高一上·廣東中山·階段練習）集合的子集個數(shù)為．對點特訓二：求集合子集（真子集） 典型例題例題1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（

）A． B． C． D．例題2．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項中，滿足的集合有（

）A． B． C． D．精練1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（

）A． B． C． D．2．（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知集合M滿足?，則這樣的集合M可能為（

）A． B． C． D． 對點特訓三：判斷集合的包含關系典型例題例題1．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，，則（

）A． B．?C．? D．例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，，則正確表示與的關系的示意圖是（

）A． B．C． D．精練1．（2024·廣東·一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知集合，則有（

）A． B． C． D．對點特訓四：根據(jù)集合的包含關系求參數(shù)典型例題例題1．（2024·青海西寧·二模）設集合,若,則（

）A． B． C．1 D．3例題2．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．精練1．（23-24高三下·重慶·階段練習）集合，，若，則實數(shù)（

）A． B．0 C． D．12．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實數(shù)的取值集合為．對點特訓五：判斷兩個集合是否相等典型例題例題1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，例題2．（23-24高一上·上海·期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號是.精練1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，2．（多選）（23-24高一上·新疆伊犁·階段練習）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．對點特訓六：根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)典型例題例題1．（2024·云南大理·模擬預測）已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．例題2．（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數(shù)．精練1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，則實數(shù)（

）A． B． C． D．2【答案】C2．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，若，則c的值為.對點特訓七：空集典型例題例題1．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習）有下列關系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正確的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④例題2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是實數(shù)，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是.精練1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四個關系式中正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高一上·四川廣安·期中）若集合，則實數(shù)a的值的集合為．一、單選題1．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）設集合，則下列表述正確的是（）A． B．C． D．2．（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東廣州·一模）設集合，，若，則（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）下列能正確表示集合和關系的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（

）A．? B．? C． D．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設全集，集合，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．88．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）若集合有15個真子集，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·河北保定·階段練習）若集合恰有兩個子集，則的值可能是（

）A．0 B． C．1 D．0或1三、填空題11．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎?，，且．則實數(shù)的取值范圍為．12．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，，