矩陣分析 課件 4.1 矩陣的三角分解

矩陣分析教材：矩陣分析王博等編授課教師：時(shí)間：2021.9.11第四章矩陣分解4.1矩陣的三角分解4.2矩陣的QR分解4.3的滿秩分解4.4矩陣的奇異值分解4.1矩陣的三角分解

4.1.1三角分解的存在性與唯一性定義4.1如果

n階矩陣

A能夠分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，則稱其為三角分解或LU分解。將矩陣A分解為一個(gè)單位下三角矩陣與一個(gè)上三角矩陣的乘積的分解法叫做Doolittle分解。將矩陣A分解為一個(gè)下三角矩陣與一個(gè)單位上三角矩陣的乘積的分解法叫做Crout分解。將矩陣A

分解為A=LDU，其中L為單位下三角矩陣，D為對(duì)角矩陣，

U為單位上三角矩陣，則稱之為L(zhǎng)DU分解。定理4.1設(shè)

，則

A可以作三角分解的證

（必要性）若矩陣A可以作三角分解，即A=LU，其中L為下三角形，U為上三角形。由于A可逆，則

L和U均可逆。若設(shè)根據(jù)可逆性可知，將矩陣

A，L和U分塊，充分必要條件是，其中為A的k

階順序主子式。其中和分別是A，L和U的k階順序主子陣，且和分別是下三角矩陣和上三角矩陣。由矩陣的分塊乘法運(yùn)算，得兩側(cè)同時(shí)求行列式，得到（充分性）對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)對(duì)結(jié)論成立，即當(dāng)A為k階可逆方陣時(shí)，A有三角分解。則當(dāng)時(shí)，將A寫成分塊矩陣，同時(shí)考慮到k階可逆方陣有三角分解的假設(shè)，得到我們令，則取即可。即即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。注：從上面的證明過(guò)程可知，n階矩陣A的三角分解不唯一。同時(shí)該定理?xiàng)l件說(shuō)明，并不是每個(gè)可逆矩陣都可以做三角分解，如矩陣就不能作三角分解。定理4.2矩陣

的LDU分解式唯一的充分必要條件為A的順序主子式。其中對(duì)角矩陣，元素證（必要性）矩陣有LDU分解，即A有三角分解。由定理4.1,A的順序主子式

（充分性）由于可逆矩陣A的順序主子式，根據(jù)定理4.1，A

有三角分解，設(shè)。記則為矩陣A的LDU分解。下證唯一性。若矩陣A有兩個(gè)LDU分解：則，該等式的左邊是單位下三角矩陣，右邊是上三角矩陣，所以，。因此，該等式的左邊是對(duì)角矩陣，右邊是單位上三角矩陣，所以。唯一性得證。下面計(jì)算。類似于定理4.1的證明過(guò)程，將矩陣A，L

，D和U分塊，可得，注意到，L為單位下三角形，U為單位上三角形，D為對(duì)角陣，得到。定理4.3矩陣

有唯一Doolittle分解或Crout分解的充分必要條件為

A的順序主子式

。證

我們只證明矩陣有唯一Doolittle分解的情況。矩陣有唯一的Crout分解的情況可類似證明。（必要性）若矩陣有Doolittle分解，則A有三角分解，由定理4.1，A的順序主子式。（充分性）可逆矩陣A的順序主子式，根據(jù)定理4.2，A有唯一的LDU分解式，則為A的一個(gè)Doolittle分解。設(shè)為A

的另一個(gè)Doolittle分解形式，則，即，該等式的左邊是單位下三角矩陣，右邊是上三角矩陣，所以，即。唯一性得證。4.1.2三角分解的計(jì)算

設(shè)的順序主子矩陣為非奇異矩陣，且，。對(duì)于Doolittle分解：因?yàn)?/p>

，即由矩陣乘法可知，，具體計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)矩陣乘法，觀察矩陣乘積的第一行，得到U的第一行元素；再觀察矩陣乘積的第一列，可得到L的第一列元素；接下來(lái)，依次觀察矩陣乘積的第二行和第二列，可分別得到U的第二行元素和L的第二列元素；以此類推。對(duì)于Crout分解：與上面的推倒類似。，；對(duì)于，計(jì)算在具體計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)矩陣乘法，觀察矩陣乘積的第一列，得到L的第一列元素，再觀察矩陣乘積的第一行，可得到U的第一行元素；接下來(lái)，依次觀察矩陣乘積的第二列和第二行，可分別得到L的第二列元素和U的第二行元素；以此類推對(duì)于LDU分解：在求出了A的Doolittle分解

之后，

的LDU分解為

；同理也可根據(jù)

A的Crout分解，此時(shí)

A的LDU分解為

。例4.1求矩陣的Doolittle分解與Crout分解。解由Doolittle分解的遞推公式有所以Doolittle分解為再由Crout分解的遞推公式有所以Crout分解為4.1.3對(duì)稱三角分解

定理4.4Hermite正定矩陣A存在下三角矩陣

G，使得

，稱之為A

的對(duì)稱三角分解（也叫做平方根分解，或Cholesky分解）。類似于矩陣A的Doolittle分解的計(jì)算格式的推導(dǎo)過(guò)程，我們可以得到A的Cholesky分解的計(jì)算格式：例4.2求矩陣的Cholesky分解。解易于驗(yàn)證矩陣A是實(shí)對(duì)稱正定矩陣，由Cholesky分解的遞推公式有所以Cholesky分解為注，該定理的條件僅是充分的，如矩陣的秩為1，且不滿足定理4.5的條件，但都是A的三角分解。定理4.6矩陣

的LDU分解式唯一的充分必要條件為A的順序主子式

，其中L是單位下三角矩陣，

U是單位上三角矩陣。三角分解在求解線性方程組中的應(yīng)用對(duì)于線性方程組而言，如果其系數(shù)矩陣A為非奇異矩陣，并且，則存在三角分解。這時(shí)，就與方程組等價(jià)，而方程組