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4.3矩陣矩陣的滿秩分解

定義4.5設(shè)，如果存在列滿秩矩陣和行滿秩矩陣，使得A=FG

，則稱之為A的滿秩分解。定理4.13設(shè)

，則

A一定有滿秩分解。證

當(dāng)r=m時(shí)，是A的一個(gè)滿秩分解；而當(dāng)r=n

時(shí)，是A的一個(gè)滿秩分解。下面設(shè)因?yàn)椋瑢?duì)A施行初等行變換，可得到階梯形矩陣其中G為矩陣，并且；則一定存在m階可逆矩陣P（有限個(gè)初等矩陣的乘積），使得PA=B，即將矩陣分塊為，且由于P可逆，有，。則其中F是列滿秩矩陣，G是行滿秩矩陣。注：矩陣A的滿秩分解不唯一。這是因?yàn)槿羧∪我庖粋€(gè)r

階非奇異矩陣D，則有例4.6求矩陣

的滿秩分解。解

對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換可見(jiàn)而

，其中所以有定義4.6若

滿足以下條件：（1）矩陣H的前r行中的每一行至少含有一個(gè)非零元素，并且第一個(gè)非零元素是1，而后m-r行元素均為零；（2）如果矩陣H

的第i行的第一個(gè)非零元素1在第列則；（3）矩陣H的列是單位矩陣的前r列；則稱矩陣H為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形（或行最簡(jiǎn)型）。Hermite標(biāo)準(zhǔn)形有如下形式定義4.7以n階單位矩陣I的n個(gè)列向量為列構(gòu)成的n

階矩陣叫做置換矩陣。其中是的一個(gè)全排列。對(duì)于任意一個(gè)秩為r的矩陣A

，均可以經(jīng)過(guò)初等行變換將其化為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形H，而且矩陣H的前r

行元素組成的行向量組線性無(wú)關(guān)。若為一個(gè)n階置換矩陣，則AP是將A的列按的順序重新排列，是將A

的行按的順序重新排列，是將A

的行和列同時(shí)按

的順序重新排列?？梢?jiàn)Hermite標(biāo)準(zhǔn)形一定可以通過(guò)右乘置換矩陣變成的形式。下面我們將借助Hermite標(biāo)準(zhǔn)形給出另一種計(jì)算滿秩分解的方法。定理4.14設(shè)的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形為H

，則在矩陣A的滿秩分解A=FG中，可以取矩陣F為A的列構(gòu)成的階矩陣，G為H

的前R行構(gòu)成的階矩陣。例4.7

求矩陣

的滿秩分解解先求出矩陣A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形可見(jiàn)，。因此F為A的第1列與第2列構(gòu)成的矩陣，G為H的前2行構(gòu)成的矩陣，

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