備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷-（福建專用）（解析版）

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（福建專用）黃金卷02（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無(wú)效。4．回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無(wú)效。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。1．與?2023相加，和為0的數(shù)是（

）A．?12023 B．?2023 C．12023【答案】D【分析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，即可得解．【詳解】解：∵互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，∴與?2023的和為0的數(shù)是：2023；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)．熟練掌握互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關(guān)鍵．2．下列標(biāo)識(shí)圖案中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】A【分析】本題主要考查中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，如果一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能與本身重合，那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形．【詳解】解：A選項(xiàng)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°能與本身重合，故是中心對(duì)稱圖形，A符合題意，正確；B選項(xiàng)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°不能與本身重合，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C選項(xiàng)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°不能與本身重合，不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D選項(xiàng)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°不能與本身重合，不是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意；故選：A．3．黨的二十大報(bào)告指出，我國(guó)建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會(huì)保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實(shí)現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險(xiǎn)覆蓋1040000000人，基本醫(yī)療保險(xiǎn)參保率穩(wěn)定在百分之九十五．將數(shù)據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．104×1010 B．10.4×108 C．【答案】C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的定義，掌握表示一個(gè)a>10的數(shù)的方法：“從右往左數(shù)到最后一個(gè)非“0”數(shù)字，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)為n就是10【詳解】解：∵從右往左數(shù)到最后一個(gè)非“0”數(shù)字是1，小數(shù)點(diǎn)共移動(dòng)了9個(gè)位數(shù)，1040000000=1.04×10故選：C．4．已知一個(gè)幾何體如圖所示,則該幾何體的主視圖是()A．B．C． D．【答案】A【分析】主視圖是從物體正面看，所得到的圖形．【詳解】該幾何體的主視圖是：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體正面看到的圖，掌握定義是關(guān)鍵.5．如圖，將邊長(zhǎng)分別為1和2的長(zhǎng)方形剪開(kāi)，拼成一個(gè)正方形，則該正方形的邊長(zhǎng)最接近整數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用正方形的面積求出邊長(zhǎng)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵正方形的面積2，∴正方形的邊長(zhǎng)為2≈1.4故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的拼剪，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．6．下列計(jì)算正確的是（

）A．m8÷m4=m2 B．【答案】D【分析】本題考查了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，完全平方公式，同底數(shù)冪的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘；完全平方公式：a±b2【詳解】解：A、m8B、x2C、x?y2D、a3故選：D．7．不等式組2x?1≤3x+1>2的解集在數(shù)軸上表示為（

A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出各不等式的解集，再找到其解集，即可在數(shù)軸上表示．【詳解】解2x?1≤3①解不等式①得x≤2，解不等式②得x＞1故不等式的解集為1＜x≤2在數(shù)軸上表示如下：故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式組的求解，解題的關(guān)鍵是熟知不等式的性質(zhì)．8．下列說(shuō)法正確的是（

）A．甲、乙兩人跳遠(yuǎn)成績(jī)的方差分別為s甲2＝3，s乙2＝4，說(shuō)明乙的跳遠(yuǎn)成績(jī)比甲穩(wěn)定B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調(diào)查C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生【答案】C【分析】方差的意義，抽樣調(diào)查的意義，總數(shù)和中位數(shù)的定義，概率的定義，根據(jù)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A．因?yàn)閟甲2＞s乙2，所以甲的跳遠(yuǎn)成績(jī)比乙穩(wěn)定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．了解某市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調(diào)查，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2+32D．可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中有可能會(huì)發(fā)生，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差的意義，抽樣調(diào)查的意義，總數(shù)和中位數(shù)的定義，概率的定義，熟練掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)：①全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確，但一般花費(fèi)多、耗時(shí)長(zhǎng)，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查．②抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省時(shí)的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，處于正中間位置的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；方差越小，該組數(shù)越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵．9．在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃制作一個(gè)款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計(jì)中，兩條側(cè)翼的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)AB=AC=50cm，風(fēng)箏頂角∠BAC的度數(shù)為110°，在AB，AC上取D，E兩處，使得AD=AE，并作一條骨架AF⊥DE．在制作風(fēng)箏面時(shí)，需覆蓋整個(gè)骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，CA．41cm B．57cm C．82cm D．143cm【答案】C【分析】設(shè)AF與DE交于點(diǎn)G，連接BC，交AF于點(diǎn)H，根據(jù)已知易證△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠ADE=∠ABC，從而可得DE∥BC，進(jìn)而可得BC⊥AF，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BC=2BH，∠BAH=12∠BAC=55°【詳解】解：設(shè)AF與DE交于點(diǎn)G，連接BC，交AF于點(diǎn)H，∵AD=AE，AB=AC，∴ADAB∵∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥∵AF⊥DE，∴BC⊥AF，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BC=2BH，∠BAH=1在Rt△BAH中，AB=50∴BH=AB?sin∴BC=2BH=82cm∴B，C兩點(diǎn)間的距離大約是82cm故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．已知關(guān)于x的一元二次方程a+1x2+2x+A．1一定不是關(guān)于x的方程x2B．0一定不是關(guān)于x的方程x2C．1和-1不都是關(guān)于x的方程x2D．1和-1都是關(guān)于x的方程x2【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，計(jì)算得a≠?1，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)，計(jì)算得a=0或a=?2；將a=0或a=?2代入x2+x+a=0，通過(guò)因式分解法求解一元二次方程，計(jì)算得【詳解】∵一元二次方程a+1x∴a+1≠0∴a≠?1∵一元二次方程a+1x∴Δ∴a+1=±1∴a=0或a=?2∴x2+x+a=0為x當(dāng)x2+x+a=0為提取公因式，得x∴x=0，或x=?1當(dāng)x2+x+a=0為因式分解，得：x+2x?1∴x=?2，或x=1∴x2+x+a=0的解為：x=0，或x=?1，或x=?2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程判別式、因式分解法求解一元二次方程的性質(zhì)，從而完成求解．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是°．【答案】1440【分析】由多邊形外角的性質(zhì)可求解多邊形的邊數(shù)，再利用多邊形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：360°÷36°=10，10?2×180°=1440°即這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，故答案為：1440．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角與外角，求解多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE∥AB交AD于點(diǎn)E．若OA=1，△AOE的周長(zhǎng)等于5，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)等于【答案】16【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，證明OE是△ABD的中位線，則AB=2OE，AD=2AE，求得AE+OE=4，則AB+AD=2AE+2OE=8，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，AO=OC，∵OE∥∴AE=DE，∴OE是△ABD的中位線，∴AB=2OE，AD=2AE，∵△AOE的周長(zhǎng)等于5，∴OA+AE+OE=5，∴AE+OE=5?OA=5?1=4，∴AB+AD=2AE+2OE=2×4=8，∴C?ABCD故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，求出AB+AD=8是解題的關(guān)鍵．13．一輛汽車經(jīng)過(guò)某十字路口，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性大小相同，則直行經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口的概率為．【答案】1【分析】利用概率公式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知，共有三種等可能情況：直行，左轉(zhuǎn)，右轉(zhuǎn)，其中直行經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口有一種可能，∴直行經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口的概率為：13故答案為：13【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件A的概率PA=事件14．若反比例函數(shù)y=kx的圖像在每一個(gè)象限內(nèi)從左到右上升，則實(shí)數(shù)k的值可以是【答案】?4（不唯一）【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性得出k的取值范圍，取一個(gè)符合題意的值即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=k∴k＜0∴實(shí)數(shù)k的值可以是?4，故答案為：?4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)y=kx(k≠0)，若k15．將一組數(shù)2，2，6，22，．．．，42，2，6，2210，23，14，4…………若2的位置記為1,2，14的位置記為2,3，則210的位置記為【答案】5,4【分析】先找出被開(kāi)方數(shù)的規(guī)律，再求出210【詳解】解：原來(lái)的一組數(shù)即為2，4，6，8；10，12，14，16；……所以，規(guī)律為：被開(kāi)方數(shù)為從2開(kāi)始的偶數(shù)，每行4個(gè)數(shù)，∵210=40∴210的位置為5,4故答案為：5,4．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，找準(zhǔn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．16．如圖，四邊形ABCD中，連接AC、BD，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，若∠ADB＝∠ACB＝①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③∠BCD+∠BAD＝④點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等．【答案】②③④【分析】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)F，連接OC、OD，先根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得OD=OC=OA=OB=12AB，可判斷④正確；由等腰三角形的性質(zhì)可證明∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=12×360°=180°，可判斷③正確；由∠AFD=∠BFC根據(jù)等角的余角相等可證明∠DAC=∠DBC，可判斷③正確；由△ODC與△BOC不全等，得DC≠【詳解】解∶如圖1，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)F，連接OC、OD，∵∠ADB=∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OD=OC=OA=OB=12AB∴點(diǎn)A、C、D到點(diǎn)O的距離相等，故④正確；∵OD=OC=OA=OB=12AB∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=12×360°=180°∵∠ADB=∠ACB=90°，∴∠DAC+∠AFD=90°，∠DBC+∠BFC=90°，∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正確；在四邊形ABCD中，∠ADB=∠ACB=90°，AB中點(diǎn)O，連接OD、OC，則OD=OC=OA=OB=12AB若AD=BD，則OD⊥AB，∴∠BOD=90°，若∠ABC=60°，則△BOC是等邊三角形，∴∠BOC=60°，∠COD=30°，但是△ODC與△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正確的是②③④，故答案為∶②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共9小題，共86分。17．（8分）計(jì)算：327【答案】7【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算：先化簡(jiǎn)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與零指數(shù)冪，再求出立方根以及乘方運(yùn)算，最后進(jìn)行加減混合運(yùn)算，即可作答．【詳解】解：3==3+4?=3+4+1?1=7．18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AF=CE，連接BE，DF，求證：BE∥DF．【答案】見(jiàn)解析【分析】證明：根據(jù)平行四邊形ABCD，可以證明△ADF≌△CBE，從而得∠AFD=∠CEB，所以∠DFC=∠BEA，由平行線的性質(zhì)，即可得到DF∥BE．【詳解】證明：∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠BCE在△ADF和△BCE中，{AD=CB∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD=∠CEB∴∠DFC=∠BEA，∴DF∥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用以上性質(zhì)解題．19．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：(a?3+9a+3)÷aa【答案】a2?3a【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，再計(jì)算除法，然后把a(bǔ)＝3代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式＝(a+3)(a?3)+9a+3×＝a2a+3＝a(a－3)=a當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝32?3【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（8分）某校為了落實(shí)《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見(jiàn)》，培養(yǎng)學(xué)生的勞動(dòng)意識(shí)，開(kāi)展了系列宣講活動(dòng)．為了解本次宣講活動(dòng)效果，現(xiàn)從九年級(jí)隨機(jī)抽取若干名學(xué)生，調(diào)查他們宣講前后平均每周勞動(dòng)時(shí)間情況，以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表：宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表組別頻數(shù)頻率A30≤t<60100.2B60≤t<90160.32C90≤t<120110.22D120≤t<15060.12E150≤t<180a0.1F180≤t<21020.04合計(jì)n1宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間頻數(shù)分布直方圖請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題(1)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表中a=_______，宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)落在_______組；(2)求宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)（每組中各個(gè)數(shù)據(jù)用該組的中間值代替，如90~120的中間值為105）；(3)教育部規(guī)定中學(xué)生每周勞動(dòng)時(shí)間不低于3小時(shí)，若該校九年級(jí)共有600名學(xué)生，則宣講后有多少名學(xué)生達(dá)到要求？【答案】(1)5，B(2)宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)是189min(3)宣講后該校有384名初三學(xué)生達(dá)到要求【分析】（1）先求解總數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，再利用總數(shù)乘以E組的頻率可得答案，再根據(jù)中位數(shù)的含義可得中位數(shù)落在的小組；（2）利用平均數(shù)的估算進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由總?cè)藬?shù)乘以每周勞動(dòng)時(shí)間不低于3小時(shí)的占比即可得到答案．【詳解】（1）解：由10÷0.2=50，∴a=50×0.1=5，由50個(gè)數(shù)據(jù)排在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是第25個(gè)，第26個(gè)數(shù)據(jù)，而10+∴宣講前平均每周勞動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)落在B組．（2）x=答：宣講后平均每周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)是189min．（3）600×16+14+2答：宣講后該校有384名初三學(xué)生達(dá)到要求．【點(diǎn)睛】本題考查的是頻數(shù)分布表與頻數(shù)直方圖，中位數(shù)，平均數(shù)的含義，利用樣本估計(jì)總體，掌握以上基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，以菱形ABCD的邊AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，連接DB，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，且BF=BE，連接DF．(1)當(dāng)∠A=60°，AD=2時(shí)，求DE的長(zhǎng)．(2)求證：DF是⊙O的切線．【答案】(1)3(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接DE，根據(jù)AD是⊙O的直徑，得出∠AED=90°，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出AE=1，根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）連接DE，根據(jù)AD是直徑，得出∠AED=90°，求出∠DEB=180°?90°=90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DBE=∠DBF，AD∥BC，證明△DBE≌△DBFSAS，得出∠DFB=∠DEB=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF=∠DFB=90°【詳解】（1）解：連接DE，如圖所示，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AED=90°，∵∠A=60°，AD=2∴∠ADE=30°，則AE=1∴DE=（2）證明：連接DE，如圖所示：∵AD是直徑，∴∠AED=90°，∴∠DEB=180°?90°=90°，∵四邊形ABCD為菱形，∴∠DBE=∠DBF，AD∥∵BE=BF，DB=DB，∴△DBE≌△DBFSAS∴∠DFB=∠DEB=90°，∵AD∥∴∠ADF=∠DFB=90°，∴AD⊥DF，∵AD為直徑，∴DF是⊙O的切線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握切線的判定方法．22．（10分）某學(xué)習(xí)用品商店銷售某種黑色簽字筆和某種文具盒，進(jìn)價(jià)和售價(jià)保持不變．其中黑色簽字筆的進(jìn)價(jià)為2元/個(gè)，文具盒的進(jìn)價(jià)為12元/個(gè)，下表是前兩個(gè)月黑色簽字筆和文具盒的銷售情況：時(shí)間銷售數(shù)量(個(gè))銷售收入(元)（銷售收入=售價(jià)×銷售數(shù)量）黑色簽字筆文具盒第一個(gè)月2401202520第二個(gè)月3501503300（1）求黑色簽字筆和文具盒的售價(jià)．（2）第三個(gè)月該學(xué)習(xí)用品商店想再購(gòu)進(jìn)黑色簽字筆、文具盒共650個(gè)，但預(yù)算成本不超過(guò)2700元，且黑色簽字筆最多購(gòu)進(jìn)550個(gè)．在購(gòu)進(jìn)的黑色簽字筆和文具盒全部售完的情況下，設(shè)購(gòu)進(jìn)黑色簽字a個(gè)，利潤(rùn)為w元，寫出w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第三個(gè)月所能獲得的最大利潤(rùn)．【答案】（1）黑色簽字筆、文具盒的售價(jià)分別為3元/個(gè)、15元/個(gè)；（2）第三個(gè)月所能獲得的最大利潤(rùn)為930元．【分析】（1）設(shè)黑色簽字筆、文具盒的售價(jià)分別為x元/個(gè)，y元/個(gè)，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）根據(jù)題意求得a的范圍以及w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性，即可求解．【詳解】1設(shè)黑色簽字筆、文具盒的售價(jià)分別為x元/個(gè)，y元/個(gè)．由題意，得240x+120y=2520350x+150y=3300解得x=3y=15答：黑色簽字筆、文具盒的售價(jià)分別為3元/個(gè)、15元/個(gè)．2由題意，可得2a+12650?a解得a≥510又∵a≤550，∴510≤a≤550，由題意，可知w==?2a+1950，∵?2<0，且w是關(guān)于a的一次函數(shù)，∴w隨a的增大而減小，∴當(dāng)a=510時(shí)，w有最大值，最大值為930．∴第三個(gè)月所能獲得的最大利潤(rùn)為930元．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)和二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程、函數(shù)關(guān)系式以及不等式是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，將△CDB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CEP的位置，點(diǎn)F在AC上，連接DE交AC于點(diǎn)O．（1）求證：OE=OD；（2）若2AD=3BD，BC=3．求DE【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠DCB=∠DCA=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，得出∠COD=90°，則可得出答案；（2）證明ΔADO∽ΔABC，由相似三角形的性質(zhì)得出DOBC=AD【詳解】解：證明：（1）∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴∠DCB=∠DCA=45°，∵將ΔCDB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ΔCEF的位置，∴∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，∴∠CDE=45°，∴∠COD=90°，∴OC⊥DE，∴OE=OD；（2）由（1）OC⊥DE，BC⊥AC，∴DE//BC，∴ΔADO∽ΔABC，∴DOBC∵2AD=3BD，∴AD=3∴DO3∴DO=3∴DE=2DO=6【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明ΔADO∽ΔABC是本題的關(guān)鍵．24．（12分）如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°．(1)如圖1，若D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連AD,BE，求證：AD=BE；(2)如圖2，若D是△ABC外一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，且AE=AB，求證：BD=2(3)如圖，若O是斜邊AB的中點(diǎn)，M為BC下方一點(diǎn)，且OM=1322，CM=7，∠BMC=45°【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CE,∠DCE=90°，從而得到∠ACD=∠BCE，可證明△ACD≌△BCE，即可；（2）連接AD,BE交于點(diǎn)O，連接DE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=2CD，再證明△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，從而得到∠AOB=∠ACB=90°，進(jìn)而得到OB=OE，可得到（3）過(guò)點(diǎn)O作OP⊥OM于點(diǎn)O，使OP=OM，連接CO,PM,PC，并延長(zhǎng)PC交BM于點(diǎn)Q，交OM于點(diǎn)N，先證明△POC≌△MOB，可得PC=BM，∠CPO=∠BMO，從而得到∠PQM=∠POM=90°，再由∠BMC=45°，以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得CQ=MQ=722，PM=13【詳解】（1）證明∶∵將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE,∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB?∠BCD=∠DCE?∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE；（2）證明：如圖，連接AD,BE交于點(diǎn)O，連接DE，∵將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE,∠DCE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE=C∵∠ACB=90°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ABC=∠ACB=45°，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠ABC+∠CBE=∠BAO+∠ABC+∠CAD=∠ABC+∠BAC=90°，∴∠AOB=∠ACB=90°，∵AE=AB，∴OB=OE，∴DE=BD=2（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥OM于點(diǎn)O，使OP=OM，連接CO,PM,PC，并延長(zhǎng)PC交BM于點(diǎn)Q，交OM于點(diǎn)N，∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜邊AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC=OB，∴∠BOC=∠POM=90°，∴∠POC=∠BOM，∴△POC≌△MOB，∴PC=BM，∠CPO=∠BMO，∵∠PNO=∠MNQ，∴∠PQM=∠POM=90°，在Rt△CMQ中，∠BMC=45°∴△CMQ為等腰直角三角形，∴CQ=MQ，∴CM=C∵CM=7，∴CQ=MQ=7