矩陣分析 課件全套 第1-7章 線性空間與線性變換 -矩陣的廣義逆

矩陣分析矩陣?yán)碚撌且婚T具有高度實用價值的數(shù)學(xué)理論。在現(xiàn)代工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。算法處理，系統(tǒng)工程，優(yōu)化方法，現(xiàn)代控制理論，自動化技術(shù)，穩(wěn)定性理論等，都與矩陣?yán)碚撚兄芮新?lián)系。矩陣?yán)碚撛趦?nèi)容上也在不斷更新和發(fā)展。本課程將介紹矩陣?yán)碚撝凶罱?jīng)典的一部分。它是線性代數(shù)課程的繼續(xù)和深化。為了學(xué)好這門課程，希望同學(xué)們好好復(fù)習(xí)一下線性代數(shù)，特別向量、矩陣、二次型的相關(guān)內(nèi)容。第1章線性空間與線性變換1.1線性空間1、線性空間的概念與性質(zhì)定義1.1

設(shè)是一個非空集合，是一個數(shù)域，在集合

中定義兩種運算：“加法”運算,“數(shù)乘”運算。如果對于這兩種運算封閉，且這兩種運算滿足下列八條運算律：實數(shù)域復(fù)數(shù)域運算的結(jié)果是V中的元素則稱為數(shù)域上的線性空間。(1)

加法交換律(2)

加法結(jié)合律

(3)

零元素

在中存在一個元素，使得對任意,都有(4)負(fù)元素

對于中任意元素都存在一個

元素使得(5)(6)數(shù)乘結(jié)合律(7)

數(shù)乘關(guān)于數(shù)分配率(8)數(shù)乘關(guān)于元素分配率例1

為實數(shù)域上的線性空間，為復(fù)數(shù)域上的線性空間。例2

復(fù)數(shù)域上的全體矩陣構(gòu)成的集合為上的線性空間。按向量的加法和數(shù)乘運算按矩陣的加法和數(shù)乘矩陣線性空間向量空間（復(fù)矩陣空間）

例3

實數(shù)域上次數(shù)不超過的一元多項式

全體

構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間。例5

全體正實數(shù)的集合，定義加法與數(shù)乘：構(gòu)成線性空間。

例4

閉區(qū)間上全體連續(xù)實函數(shù)組成的集合

構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間。按多項式的加法和數(shù)乘運算按函數(shù)的加法和數(shù)乘運算

例6

數(shù)域上全體維向量組成的集合，對于向量加法及如下定義的數(shù)乘運算不構(gòu)成線性空間。(5)性質(zhì)1：零元素是唯一的。性質(zhì)2：任意元素的負(fù)元素是唯一的。性質(zhì)3：性質(zhì)4：定義1.2

設(shè)是數(shù)域上的線性空間，為中的一組元素,如果存在中一組數(shù)

使得則稱可由線性表示，或是的線性組合。2、元素組的線性相關(guān)性定義1.3

如果存在中不全為零的數(shù)

使得則稱線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān)。定義1.4

設(shè)是數(shù)域上的線性空間，若(I)中每個元素都可由(II)中元素線性表示,則稱組(I)可由組(II)線性表示；若組(I)與組(II)可以互相線性表示，則稱組(I)與組(II)等價。

是中兩個元素組，元素組的極大無關(guān)組，秩等概念自行復(fù)習(xí)性質(zhì)

元素組（當(dāng)時）線性相關(guān)的充分必要條件是中至少有一個向量可由其余個元素線性表示。性質(zhì)極大（線性）無關(guān)組性質(zhì)：

含有零向量的向量組一定線性相關(guān)；整體無關(guān)部分無關(guān)；部分相關(guān)整體相關(guān)；如果含有向量多的向量組可以由含有向量少的向量組線性表出，那么含有向量多的向量組一定線性相關(guān)；向量組的秩是唯一的，但是其極大線性無關(guān)組并不唯一；如果向量組

(I)可以由向量組(II)線性表出，那么向量組(I)的秩向量組(II)的秩；等價的向量組秩相同。本節(jié)小結(jié)010203線性空間的概念線性空間的性質(zhì)元素組的線性相關(guān)性注意：復(fù)習(xí)線性代數(shù)課程中對應(yīng)的內(nèi)容線性空間與向量空間的關(guān)系P26

：1;2;3;4預(yù)習(xí)：1.2節(jié)；1.3節(jié)本節(jié)作業(yè)1.2線性空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)定義1.51、基、維數(shù)與坐標(biāo)零空間的維數(shù)規(guī)定為0；有限維線性空間無限維線性空間；線性空間的基不唯一。定義1.6方程解唯一在n維線性空間中，顯然是的一個基，且，向量在這個基下的坐標(biāo)就是它的分量。

例7

在線性空間中，求向量在基

下的坐標(biāo)。

例8

解設(shè)在所給基下的坐標(biāo)為則即于是解得,所以在所給基下的坐標(biāo)為

。在線性空間中,設(shè)是第i行第j列元素為1，其余元素都為0的矩陣，則是的一個基，且，矩陣在這個基下的坐標(biāo)就是它的元素()。

例9

*例10

取的簡單基則在該基下的坐標(biāo)分別為：可求得該向量組的秩為2，且是一個極大無關(guān)組。故矩陣組秩為2，且是一個極大無關(guān)組。求中矩陣組的秩和極大無關(guān)組。

例11

解定義1.7

設(shè)是數(shù)域上的n維線性空間，及是的兩個基，且表示為2、基變換與坐標(biāo)變換公式一個線性空間的基不是唯一的，線性空間中的元素在不同基下的坐標(biāo)一般也不相同。將上式矩陣化可以得到下面的關(guān)系式：其中稱上式為基變換公式，稱矩陣P為由基到基的過渡矩陣，過渡矩陣P顯然是可逆的。設(shè)由線性空間的基到基的過渡矩陣為P，中的元素在基下的坐標(biāo)為，在基下的坐標(biāo)為

，則有坐標(biāo)變換公式定理1.1或證設(shè)及是線性空間的兩個基，求

例12

解由即從而(1)由基到基的過渡矩陣；(2)已知向量x在基下的坐標(biāo)為，求x在基下的坐標(biāo)。(1)設(shè)及是線性空間的兩個基，求

例12

解向量x在基下的坐標(biāo)為(1)由基到基的過渡矩陣；(2)已知向量x在基下的坐標(biāo)為，求x在基下的坐標(biāo)。(2)在線性空間中，求在基下的坐標(biāo)。

例13

解取的簡單基，則在簡單基下坐標(biāo)為。設(shè)簡單基到基的過渡矩陣為P，則所以在基下的坐標(biāo)為在線性空間中取定兩個基(I)：

及(II)：求由基(I)到基(II)的過渡矩陣。

例14

解設(shè)，取的簡單基，則可求得其中于是故

*例15

本節(jié)小結(jié)0102線性空間的基、維數(shù)、坐標(biāo)的概念過渡矩陣、基變換、坐標(biāo)變換公式注意：復(fù)習(xí)向量在給定基下坐標(biāo)的含義理解過渡矩陣求法03利用公式求坐標(biāo)P27

：5;6;7;8預(yù)習(xí)：1.3節(jié)；1.4節(jié)本節(jié)作業(yè)定義1.8

設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的一個非空子集。如果對于中所定義的加法與數(shù)乘運算也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間，則稱為的線性子空間，簡稱子空間。1.3線性子空間1、子空間的概念平凡子空間(假子空間)

:非平凡子空間(真子空間)定理1.2

線性空間的非空子集是的子空間的充分必要

條件是：對于中定義的加法與數(shù)乘運算封閉，即(1)如果

則(2)如果

則證必要性是顯然的。下證充分性。已知W對于V的加法與數(shù)乘運算封閉。由于W中的元素均是V中的元素，所以線性空間定義中的運算律(1)、(2)、(5)~(8)均成立。又設(shè)，由于故運算律(3)與(4)也成立，故W是一個線性空間。證畢。例16

取線性空間的子集

，

證明是的子空間，并求其維數(shù)。證因為所以非空。對任意有從而即又對有即故是的子空間。取中的個矩陣容易證明該矩陣組線性無關(guān)，且對任意有故定理1.3

設(shè)是數(shù)域上的線性空間，在中任意取定m個元素，構(gòu)造子集則是的子空間，稱為由元素組生成的子空間，記為證由于所以非空。對任意，有由于故W是V的子空間。證畢。定理1.3

設(shè)是數(shù)域上的線性空間，在中任意取定m個元素，構(gòu)造子集則是的子空間，稱為由元素組生成的子空間，記為有限維線性空間是由它的基生成的子空間結(jié)論1

的維數(shù)等于元素組的秩，且的極大無關(guān)組是該生成子空間的基。結(jié)論2

設(shè)和是線性空間

V的兩組元素，若可由線性表示，則。若與等價，則例17

設(shè)求的基與維數(shù)。解將矩陣化為階梯形矩陣，即可知線性無關(guān)，且所以為的基，.例18

在線性空間中，求由矩陣

生成的子空間的基與維數(shù)。解例11中已求得矩陣組的秩為2，且是一個極大無關(guān)組,故的維數(shù)為2，且是它的一個基。定理1.4

（基的擴充定理）線性空間的m維子空間W

的任何一個基都可以擴充成V的一個基。證設(shè)是W的一個基，對維數(shù)差作歸納法。當(dāng)時，，此時已是V的一個基。假定時定理成立，考慮的情形。因為且線性無關(guān)，但又不是V的基，故有且不能由線性表示，因而線性無關(guān)。由于是V的m+1維子空間，且由歸納假設(shè)知可以擴充成V的基，故可以擴充成V的基。定義1.9

設(shè)是數(shù)域

上的線性空間，是的兩個子空間，記稱為與

的交空間。記稱為與的和空間。2、子空間的交與和、直和是的子空間是的子空間不一定是的子空間是的子空間證由得,所以非空。其次，對任意,有且，而是子空間，所以，，從而

；又對任意，有且從而，即構(gòu)成的子空間。同樣地，對任意，有即構(gòu)成的子空間。對任意,有，其中因為所以非空。是的子空間證從而；由于是子空間,所以不一定是的子空間令,因為設(shè)取使線性無關(guān)。反例即所以但對加法不封閉，不是子空間。例19

設(shè)與是數(shù)域

上線性空間V的兩個元素組，則證由子空間和的定義，有例20

設(shè)的兩個子空間為解將表示為生成子空間。容易求得方程試將表示為生成子空間，并求它的一個基與維數(shù)。的基礎(chǔ)解系為：解它們對應(yīng)著的一個基于是，根據(jù)例19，有對應(yīng)的向量為容易求得的一個極大無關(guān)組為所以矩陣的極大無關(guān)組為，它們即的一個基，且。定理1.5

（維數(shù)定理）設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的兩個子空間，則

證設(shè)只需證明如果取的一個基，它可以擴充為的一個基也可以擴充成的一個基即所以由上式第一個等號知，由第二個等號知，于是，故可令定理1.5

（維數(shù)定理）設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的兩個子空間，則

證因此，只需證明線性無關(guān)即可。設(shè)令因此定理1.5

（維數(shù)定理）設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的兩個子空間，則

證即由于線性無關(guān)，所以因而，從而由于線性無關(guān)，又可得這就證明了線性無關(guān)，定理1.5

（維數(shù)定理）設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的兩個子空間，則

證因而它是的一個基，的維數(shù)是如果，即，取的基和的基，同樣可證是的基。即證明了維數(shù)公式。證畢。定義1.10

設(shè)是線性空間的兩個子空間，若

，則稱的和空間是直和，記為。定理1.6

設(shè)是線性空間的兩個子空間，下列命題等價(1)是直和;(2)中每個元素分解為

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，則

是的基；(4)定理1.6

設(shè)是線性空間的兩個子空間，下列命題等價(1)是直和;(2)中每個元素分解為

的方法是唯一的；證設(shè)是直和，則。若的分解式不唯一，于是有其中，從而。但所以這與矛盾，故(2)成立。令則假設(shè)它們線性相關(guān)，則內(nèi)存在不全為零的數(shù)定理1.6

設(shè)是線性空間的兩個子空間，下列命題等價(2)中每個元素分解為

的方法是唯一的；若

是的基，

是的基，則

是的基；證顯然只需證元素組線性無關(guān)。使得因此有兩種不同的分解式，此與(2)矛盾，故(3)成立。定理1.6

設(shè)是線性空間的兩個子空間，下列命題等價(1)是直和;若

是的基，

是的基，則

是的基；(4)證由(3)可知于是有(4)成立。由維數(shù)定理可得因此。證畢。例

三維線性空間的三個子空間：則不是直和，因為中有向量分解式不唯一：但是直和，因為當(dāng)有若還有另一種表示方法易知，故中每個向量分解式唯一，從而是直和。交與和、直和等概念可以推廣到多個子空間的情形。若一個線性空間可分解成若干個子空間的直和，那么對整個線性空間的研究可以歸結(jié)為對若干個較簡單的子空間的研究。本節(jié)小結(jié)010203子空間的概念與判定方法子空間的判定方法子空間的交、和、直和的概念注意：理解基的擴充定理含義理解維數(shù)定理P27

：10;11;13預(yù)習(xí)：1.4節(jié)本節(jié)作業(yè)定義1.11

設(shè)與是任意兩個非空集合，如果按某一規(guī)則，使對于每個，都有一個確定的元素與之對應(yīng)，則稱為集合到的一個映射，記為。與的對應(yīng)記為，稱為在映射下的像，而稱為在映射下的一個原像。如果對任意，當(dāng)時，有，則稱是單射（或一對一的）；如果對任意

都有使得，則稱是滿射（或映上的）；如果既是單射又是滿射，則稱是雙射（或一一對應(yīng)的）。由集合

S到

S自身的映射稱為S上的一個變換。1.4線性變換1、線性映射的概念函數(shù)是映射的一個特殊情形.例21

是全體整數(shù)的集合，是全體偶數(shù)的集合，定義

則是

到的一個映射，它是一一對應(yīng)的。例22

對任意，定義，因為不同的矩陣行列式可以相等，所以不是到的單射；對于任意實數(shù)，一定存在一個對角陣使所以是到的一個滿射。例23

記是數(shù)域

上的次數(shù)不超過n的多項式全體，設(shè)映射，對任意是線性映射，即多項式求導(dǎo)運算是線性映射。定義1.12

設(shè)是與的一個映射，如果對任意和

，都有則稱是到的一個線性映射。定義1.13

線性空間到自身的線性映射稱為的線性變換。即：是數(shù)域

上的線性空間，是

到自身的一個映射，如果對任意和，都有

則稱是

的一個線性變換。2、線性變換的概念與性質(zhì)例24

線性空間的恒等變換（或單位變換）和零變換：

都是線性變換。例25

設(shè)是數(shù)域

上的線性空間,變換即不難驗證，是的一個線性變換，稱此變換為倍數(shù)變換（或放大變換）。例26

由關(guān)系式

確定的變換是坐標(biāo)系繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換，不難驗證，旋轉(zhuǎn)變換是線性變換。例27

在線性空間中，求證微分的變換

是一個線性變換。例28

在線性空間中，求證積分的變換

是一個線性變換。例29

取定矩陣定義的變換

由于對任意

有可見，當(dāng)時,不是線性變換；當(dāng)時,是線性變換。性質(zhì)(1);若

則

(3)線性相關(guān)的元素組經(jīng)過線性變換后，仍保持線性相關(guān)；

若線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)

使于是故也線性相關(guān)。線性變換能將線性無關(guān)的元素組變成線性相關(guān)的元素組。零變換(4)如果線性變換是一個單射（或一對一的），線性無關(guān)的元素組經(jīng)過線性變換后，仍保持線性無關(guān)。若線性無關(guān)，設(shè)則有，由于是單射，從而由線性無關(guān)知，故也線性無關(guān)。(3)線性相關(guān)的元素組經(jīng)過線性變換后，仍保持線性相關(guān)；

性質(zhì)(1);若

則

定義1.14

設(shè)是數(shù)域上的

n維線性空間，是的一個基，是的線性變換，基的像可以唯一地由基線性表示為

稱矩陣

為在基下的矩陣。3、線性變換的矩陣?yán)ɡ?.7

設(shè)線性空間的線性變換

T在基下的矩陣為A，如果中元素在基下的坐標(biāo)為

在基下的坐標(biāo)為則證根據(jù)定理的假設(shè)，有所以定理1.7

設(shè)線性空間的線性變換

T在基下的矩陣為A，如果中元素在基下的坐標(biāo)為

在基下的坐標(biāo)為則證由元素坐標(biāo)的唯一性，得證畢。例30

在中線性變換T將基變?yōu)榍螅?1)

T在基下的矩陣；(2)向量及在基下的坐標(biāo)。解設(shè)T在基下的矩陣為A，即又故從而(1)

解設(shè)，即解得所以在基下的坐標(biāo)為設(shè)在基下的坐標(biāo)為，則

(2)

例30

在中線性變換T將基變?yōu)榍螅?1)

T在基下的矩陣；(2)向量及在基下的坐標(biāo)。例31

設(shè)的線性變換為取的基則

T在此基下的矩陣為

如果取的基則有

T

在基下的矩陣為線性變換所對應(yīng)的矩陣與所取的基有關(guān)定理1.8

設(shè)和為線性空間的兩個基，且由基到基的過渡矩陣為P，中的線性變換

T在這兩個基下的矩陣分別為A和B，則即同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的，且相似變換矩陣就是兩個基之間的過渡矩陣。證根據(jù)定理的假設(shè)，有于是證畢。由于線性變換T在這個基下的矩陣是唯一的，故。例32

在中,線性變換為微分運算D,求D在基

下的矩陣。解取的簡單基則設(shè)D在簡單基下的矩陣為A,由得

設(shè)由簡單基到基的過渡矩陣為P，由得，例32

在中,線性變換為微分運算D,求D在基

下的矩陣。解取的簡單基則設(shè)D在簡單基下的矩陣為A,由得

設(shè)由簡單基到基的過渡矩陣為P，由得，所以D在此基下的矩陣為例33

設(shè)的線性變換

T把基變?yōu)榛?/p>

分別求T在兩個基下的矩陣。解取的簡單基則有

其中

于是其中即T在基下的矩陣為P，又有

故T在基下的矩陣也是P。例33

設(shè)的線性變換

T把基變?yōu)榛?/p>

分別求T在兩個基下的矩陣。解由假設(shè)有，從而例34

給定的一個基及線性變換其中

求

T在基下的矩陣。解設(shè)即

解得，即為在基下的坐標(biāo)。法(1)

解同理在基下的坐標(biāo)分別為

于是T在基下的矩陣法(1)

例34

給定的一個基及線性變換其中

求

T在基下的矩陣。解取的簡單基設(shè)由基到基的過渡矩陣為

P

則即得法(2)

例34

給定的一個基及線性變換其中

求

T在基下的矩陣。解而同理可得則T在簡單基下的矩陣為

法(2)

例34

給定的一個基及線性變換其中

求

T在基下的矩陣。解而同理可得則T在簡單基下的矩陣為于是T在基下的矩陣為法(2)

例34

給定的一個基及線性變換其中

求

T在基下的矩陣。例35

密碼學(xué)以研究秘密通信為目的。密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是使用線性變換的方法。先在不同字母與數(shù)字間建立一一對應(yīng)關(guān)系，例如如要發(fā)信息“design”，使用上述代碼，則明碼為4,5,19,9,7,14，它可以寫成向量現(xiàn)選取一可逆矩陣

定義線性變換則

在此變換下原明碼就變成了密碼31,14,13,51,21,25,收到此信息后利用逆變換進行解碼，即可以得到原信息。abcdefghijkl

mnopqrstuvwxyz123456789101112

13141516171819202122232425264、線性變換矩陣的化簡例36

已知的線性變換求的一個基，使

T在該基下的矩陣為對角矩陣。解由于所以T在基下的矩陣為可求得使由得的基且

T在基下的矩陣為對角陣。注：對于任一線性變換

T，并不是總能找到線性空間的一個基，使得

T在該基下的矩陣為對角矩陣。

為了使得線性變換在基下的矩陣盡可能簡單，可考慮線性變換在某個基下的矩陣為Jordan矩陣的問題，這是第三章將要介紹的內(nèi)容。本節(jié)小結(jié)010203線性映射、線性變換的概念與判定線性變換的性質(zhì)線性變換的矩陣及其化簡注意：熟練線性變換的判定方法同一線性變換在不同基下的矩陣的關(guān)系P28：14;15;17復(fù)習(xí)本章本節(jié)作業(yè)第2章內(nèi)積空間線性空間中，元素間的運算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱線性運算。上的內(nèi)積空間（即酉空間）以及酉變換等也給出簡單介紹。但是，三維幾何空間作為一個線性空間，長度、向量夾角等度量概念在線性空間的理論中都未得到反映，而這些度量性質(zhì)在很多實際問題中是很關(guān)鍵的。因此有必要在一般的線性空間中引進內(nèi)積運算，從而導(dǎo)出內(nèi)積空間的概念。中諸如向量本章重點討論實數(shù)域上的內(nèi)積空間（即歐氏空間），以及幾種重要的線性變換，包括正交變換、對稱變換等。同時，對復(fù)數(shù)域2.1歐氏空間1、歐氏空間的概念與性質(zhì)定義2.1

設(shè)V是實數(shù)域R

上的線性空間，如果對于V中任意則稱，當(dāng)且僅當(dāng)兩個元素都有一個實數(shù)與之對應(yīng)，記為，且滿足下列條件：（1）（2）（3）（4）時等號成立，的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的實線性空間V為與稱為歐幾里得空間（簡稱歐氏空間），也稱為實內(nèi)積空間。例2.1

實向量空間定義容易驗證，它滿足內(nèi)積的四個條件，稱為在同一個線性空間中引入不同的內(nèi)積，則認(rèn)為構(gòu)成了不同的歐氏空間。例如，在實

n維向量構(gòu)成的集合V中，定義或則它們都是V的內(nèi)積。（A是n階正定矩陣）中的向量在引入上述內(nèi)積后，向量空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。就是一個歐氏空間。

例2.2實矩陣空間

例2.3實連續(xù)函數(shù)線性空間定義

按此內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間，定義按此內(nèi)積構(gòu)成歐氏空間，稱為中的矩陣為矩陣對角線所有元素之和，稱為的跡的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。稱為中的函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。歐氏空間的內(nèi)積基本性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）當(dāng)且僅當(dāng)柯西-施瓦茲（Cauchy-Schwarz）不等式中，中，線性相關(guān)時等號成立。定義2.2設(shè)V是

n維歐氏空間，2、度量矩陣稱

n階方陣是V的一個基，（其中）為基的度量矩陣或Gram矩陣。任取

n維歐氏空間V中兩個元素，設(shè)在V的下的坐標(biāo)分別為和，則由內(nèi)積的性質(zhì)得基（2.4）度量矩陣性質(zhì)：性質(zhì)1度量矩陣是正定的。證

設(shè)是

n維歐氏空間V的一個基，由于所以度量矩陣是實對稱矩陣。，它在基下的坐標(biāo)為由式（2.4）得，故度量矩陣是正定的。又對任意非零元素性質(zhì)2設(shè)和是歐氏空間V的的度量矩陣為

A，基的度量矩陣為

B，又設(shè)則兩個基，且基證

設(shè)得故于是，由例2.4設(shè)歐氏空間中的內(nèi)積為（1）求基的度量矩陣；（2）求與的內(nèi)積。解

（1）設(shè)基的度量矩陣為所以基的度量矩陣（2）在基下的坐標(biāo)分別為由式（2.4）知，本節(jié)小結(jié)0102歐氏空間的概念與性質(zhì)度量矩陣注意：幾個常用歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積歐氏空間與線性空間的關(guān)系P43：1;2預(yù)習(xí)：2.2節(jié)本節(jié)作業(yè)2.2標(biāo)準(zhǔn)正交基1、元素的長度與夾角定義2.3

設(shè)V是歐氏空間，對任意，稱非負(fù)實數(shù)為的長度（或范數(shù)，模），記作如果，則稱為單位元素。，則元素是一個單位元素。

單位化例如，中的向量，其長度為中的矩陣其長度為中的函數(shù)，其長度為如果定理2.1設(shè)V是歐氏空間，對任意和，有（1）非負(fù)性

，當(dāng)且僅當(dāng)時，（2）齊次性

（3）三角不等式（4）Cauchy-Schwarz不等式當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號成立。證（4）由Cauchy-Schwarz不等式即得；（3）根據(jù)Cauchy-Schwarz不等式，于是定義2.4設(shè)為歐氏空間V的兩個非零元素，與的夾角定義為對任意，如果，則稱與正交（或垂直），記為例2.5在中，試證明三角函數(shù)組是兩兩正交的，但它們不是單位元素。證

可求得因此函數(shù)組兩兩正交。又有所以它們不是單位元素。2、標(biāo)準(zhǔn)正交基定理2.2設(shè)是歐氏空間V中兩兩正交的證

設(shè)有一組實數(shù)，使得兩邊與作內(nèi)積，有利用，得又因非零，所以，故有即線性無關(guān)。非零元素組，則它線性無關(guān)。定義2.5在

n維歐氏空間中，由

n個兩兩正交的元素組成的中，是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基；中，n維單位坐標(biāo)向量是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基；中，是一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。基稱為正交基，由單位元素組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基。Gram-Schmidt正交化設(shè)是

n

維歐氏空間V的一個基，（1）正交化（2）單位化即為

n維歐氏空間V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。試由的基出發(fā)構(gòu)造一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解

首先利用Gram-Schmidt方法將正交化，即例2.6在中定義內(nèi)積再將單位化，得則為的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。例2.7線性空間，對V中任意，定義內(nèi)積試寫出線性空間V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解

取線性空間V的一個簡單基根據(jù)所定義的內(nèi)積，易知它們兩兩正交，再將其單位化得即為V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。矩陣這是因為充分必要條件是它的Gram矩陣，也就是度量矩陣

A是單位矩陣。定理2.3n維歐氏空間V

中的基是標(biāo)準(zhǔn)正交基中元素的坐標(biāo)可以通過內(nèi)積表示。事實上，設(shè)，用即得的坐標(biāo)事實上，設(shè)則與等式兩邊作內(nèi)積，是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐氏空間在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，n

維歐氏空間的內(nèi)積等于對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和。定理2.4在歐氏空間中，（1）兩個標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣是正交矩陣，即過渡矩陣

A滿足證（1）設(shè)及是標(biāo)準(zhǔn)正交基，且有其中，則有即的坐標(biāo)恰為

A的第

i

列，于是即的兩個（2.5）一個基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則另一個也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。（2）如果兩個基之間的過渡矩陣是正交矩陣，且其中證

設(shè)及是且式（2.5）成立，其中

A是正交矩陣。如果的兩個基，是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則即是標(biāo)準(zhǔn)正交基。反之，若是標(biāo)準(zhǔn)正交基，由于且仍是正交矩陣，同前可證得也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。（3）矩陣

A為正交矩陣的充分必要條件為列向量組為單位正交向量組。證

由（1）的證明過程即知。本節(jié)小結(jié)0102元素的長度與夾角標(biāo)準(zhǔn)正交基P43：3;4;5;6;7預(yù)習(xí)：2.3節(jié)本節(jié)作業(yè)2.3

正交變換與對稱變換1、正交變換定義2.6如果歐氏空間V的線性變換

T保持內(nèi)積不變，即對，都有，則稱

T為正交變換。例2.8平面旋轉(zhuǎn)變換（平面圍繞坐標(biāo)原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角）就是歐氏空間的一個正交變換。這是因為，對中任意向量和，有所以

T是正交變換。任意例2.9

設(shè)

A是

n階正交矩陣，的線性變換是正交變換。這是因為，對任意，有定理2.5

設(shè)

T是

n維歐氏空間V的線性變換，則下列命題等價：（1）T是正交變換；（2）T保持元素的長度不變，即對任意，有（3）T把V的標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正交基；（4）T在V的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為正交矩陣。證

（1）（2），有（2）（1），有將上式兩邊展開，得由于代入上式得即

T是正交變換。T是正交變換，對任意T保持內(nèi)積不變，則對任意（1）（3）T是正交變換，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，則有于是是標(biāo)準(zhǔn)正交基。（3）（1）如果和都是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，任取，有于是即

T是正交變換。（3）（4）及（4）（3）由定理2.4即得。是V的例2.10

設(shè)T是歐氏空間的線性變換，對任意恒等變換是一個正交變換。事實上，即由定理2.5知

T是一個正交變換。2、對稱變換定義2.7設(shè)

T是歐氏空間V的線性變換，如果對任意都有，則稱

T為對稱變換。定理2.6n維歐氏空間V的線性變換

T是對稱變換充分必要證

設(shè)是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且其中，則有于是條件是它在

V的任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣。如果

T是對稱變換，則有于是對任意，有從而

A是實對稱矩陣。反之，若

A是實對稱矩陣，則有且即

T為對稱變換。推論

設(shè)

T

是

n

維歐氏空間V的對稱變換，則存在V的證

取V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且設(shè)其中

A是實對稱矩陣。由于存在正交矩陣

Q，使得其中是對角矩陣，令則由定理2.4知，是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基，且

T在該基下的矩陣為標(biāo)準(zhǔn)正交基，使

T在該基下的矩陣為對角矩陣。

例2.10

設(shè)是歐氏空間V中一個單位元素，定義證明：（1）T是線性變換；（2）T是正交變換；（3）T是對稱變換。證

（1）對任意，有故

T是線性變換。對任意（2）對任意，有故

T是正交變換。（3）對任意，有因此故

T是對稱變換。本節(jié)小結(jié)0102正交變換對稱變換P44：8;9預(yù)習(xí)：2.4節(jié)本節(jié)作業(yè)2.4酉空間1、酉空間與酉矩陣定義2.8如果設(shè)復(fù)數(shù)域

C，復(fù)矩陣歐氏空間針對實數(shù)域上的線性空間討論，而酉空間是歐氏空間在復(fù)數(shù)域上的推廣。定義其共軛矩陣為，其中是定義矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣為，即的共軛復(fù)數(shù)。復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)：（A

，B是復(fù)矩陣，）（1）（2）（3）（4）（5）

當(dāng)

A可逆時，定義2.9如果方陣

A滿足如果方陣

A滿足，則稱

A為反Hermite矩陣。例如，為一個二階Hermite矩陣；為一個二階反Hermite矩陣。，則稱

A為一個Hermite矩陣。定義2.10方陣

A滿足，稱

A為一個酉矩陣。當(dāng)

A為實矩陣時，酉矩陣

A也就是正交矩陣。例如，為一個三階酉矩陣。定義2.11設(shè)V是復(fù)數(shù)域

C上的線性空間，如果對于V中，都有一復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，記為且它滿足下列條件:（1）（2）（3）（4），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則稱為與的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的復(fù)線性空間V稱為酉空間，也稱為復(fù)內(nèi)積空間。任意兩個元素

對復(fù)線性空間中的向量定義則它是內(nèi)積，按此內(nèi)積構(gòu)成酉空間。對復(fù)線性空間中的矩陣規(guī)定則它是內(nèi)積，按此內(nèi)積構(gòu)成酉空間。稱為的共軛轉(zhuǎn)置酉空間的內(nèi)積有如下基本性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）

Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即這是因為，或當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號成立。與歐氏空間一樣，定義元素的長度為滿足的元素為單位元素。酉空間中的內(nèi)積一般是復(fù)數(shù)，元素間不易定義夾角，滿足時，與正交（或垂直）。在

n維酉空間中，同樣可以定義正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基。定理2.7任意一組線性無關(guān)的元素可以用Gram-Schmidt定理2.8兩個標(biāo)準(zhǔn)正交基間的過渡矩陣是酉矩陣。但仍可引入正交等概念，即當(dāng)正交化方法將其正交化，并擴充成標(biāo)準(zhǔn)正交基。稱2、酉變換與Hermite變換定義2.12設(shè)

T是酉空間V上的線性變換，如果對于V中任意，都有則稱

T為V上的酉變換。如果線性變換

T滿足則稱

T為V上的Hermite變換。的矩陣是Hermite矩陣。定理2.10設(shè)

T是

n維酉空間V的Hermite變換，則存在V的元素定理2.9設(shè)

T是

n維酉空間V的線性變換，則

T是酉變換充分必要條件是，T在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣；T是Hermite變換的充分必要條件是，T在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基下標(biāo)準(zhǔn)正交基，使

T在該基下的矩陣為實對角矩陣。本節(jié)小結(jié)0102酉空間與酉矩陣酉變換與Hermite變換復(fù)習(xí)：

第2章預(yù)習(xí)：3.1節(jié)本節(jié)作業(yè)第3章矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形可以將對角矩陣看作是與可對角化矩陣相似的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣及其相關(guān)的一些性質(zhì)。在線性代數(shù)中，討論了矩陣相似于對角矩陣的條件，本章引入Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的概念，得到不可對角化的但是，那些不可對角化的矩陣相似于什么樣的標(biāo)準(zhǔn)形呢？矩陣相似于Jordan矩陣即Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。首先討論3.1不變因子、初等因子與行列式因子1、不變因子與初等因子定義3.1若矩陣

A的元素為的復(fù)系數(shù)多項式，矩陣，記作例如，一般的數(shù)字矩陣也可以視為矩陣。定義3.2以下三類變換稱為矩陣的初等變換：（1）互換兩行（列）；（2）某行（列）乘非零常復(fù)數(shù)

k；（3）某行（列）乘多項式后加到另一行（列）。則該矩陣就稱為定義3.3如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換后可變成則稱與等價，記為定理3.1若矩陣與等價，則，但反之不然。定義3.4秩為

r的矩陣是首項系數(shù)為1（首一）的多項式，并且則稱矩陣是一個Smith標(biāo)準(zhǔn)形。定理3.2如果矩陣，并且那么矩陣一定與一個Smith標(biāo)準(zhǔn)形等價。定義3.5如果與Smith標(biāo)準(zhǔn)形等價，則稱的對角線元素為的不變因子（或不變因式）。記的分解形式（其中互不相同，）中所有指數(shù)大于0的因子稱為的初等因子。定理3.3若矩陣證

將的所有初等因子按不同的一次因子分類，此表中共有

r列（每列中的因子個數(shù)可能不同，空白處可以用就是的第

i個不變因子的不變因子確定，的初等因子被唯一確定；反過來，若的秩與所有的初等因子則不變因子也被唯一確定。則確定，并按各因子的冪從小到大排列：數(shù)1補上）。在第

i列上的各式之積例3.1將矩陣并求不變因子和初等因子。解即得的Smith標(biāo)準(zhǔn)形，初等因子化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形，不變因子定義3.6設(shè)2、行列式因子矩陣的秩為

r，對任意必存在非零的

k階子式，稱的全部非零

k階子式為的

k階行列式因子。定理3.4等價的矩陣具有相同的秩和相同的各階行列式因子。推論設(shè)是秩為

r的階矩陣，則的行列式因子其中是的不變因子。的首一最大公因式于是定理3.5矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。證

由定理3.4和推論可知，的不變因子由行列式因子唯一確定，因此，的Smith標(biāo)準(zhǔn)形唯一。

例3.2將矩陣化為Smith標(biāo)準(zhǔn)形。的解的各階行列式因子為：的不變因子為：的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為定理3.6兩個矩陣等價的充分必要條件為它們證

由定理3.4推論，不變因子與行列式因子是相互確定的。必要性即為定理3.4的內(nèi)容；再由定理3.5，若矩陣與有相同的不變因子，和同一個Smith標(biāo)準(zhǔn)形等價，所以與等價。定理3.7設(shè)矩陣為分塊對角矩陣，與的初等因子的全體構(gòu)成初等因子。具有相同的行列式因子，或具有相同的不變因子。則所以則的全體例3.3求的初等因子和不變因子。解法一的不變因子為初等因子為：解法二

因為對角線上各元素的初等因子就是的初等因子，不變因子為：的行列式因子是一個對角矩陣，根據(jù)定理3.7，即本節(jié)小結(jié)0102不變因子與初等因子行列式因子P66：1;2;3預(yù)習(xí)：3.2節(jié)本節(jié)作業(yè)3.1Jordan標(biāo)準(zhǔn)形1、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的定義定義3.7形如的方陣叫作階Jordan塊。特別的，一階方陣叫作一階Jordan塊。定義3.8由若干個Jordan塊組成的分塊對角矩陣其中為階Jordan塊，時，這個矩陣叫作n階Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，記為

J或當(dāng)定理3.8如果任意若不計

J中的Jordan塊的排列順序，則

J由A唯一確定。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，則Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J的對角元素就是

A的特征值。對角矩陣也是一個Jordan矩陣，它的每個Jordan塊是一階的。Jordan矩陣特征值恰是對角線元素，對角線上方的次對角線的的元素可能為1或0。在Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J中，不同Jordan塊的對角元素Jordan塊本身就是一個Jordan矩陣。可能相同也可能不同。因為相似矩陣有相同的特征值，因此，若矩陣

A與一個都與一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，（ⅰ）特征向量法2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計算Step1求特征值及其代數(shù)重數(shù)，Step2對每個特征值，確定其對應(yīng)的Jordan塊。是

A的單特征值，則只對應(yīng)一個一階Jordan塊如果是

A的重特征值，計算的幾何重數(shù)則共對應(yīng)個以的Jordan塊，這些Jordan塊的階數(shù)Step3A的所有特征值對應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣設(shè)

A的互不相同的特征值為

代數(shù)重數(shù)指特征值的重數(shù)如果之和等于即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

幾何重數(shù)指特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù)。為對角元素例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解

可求得

A特征值為特征值只有一個線性無關(guān)的特征向量故

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）A的特征值為由可知以為特征值的Jordan塊有階數(shù)之和為3。注：當(dāng)矩陣

A的某一特征值重數(shù)較高時，對應(yīng)的Jordan塊的解個，這兩個Jordan塊中，一個一階塊，一個二階塊，故階數(shù)可能無法確定。例3.4如果求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅱ）初等變換法Step1

求出的全部初等因子為Step2對每個初等因子，確定其對應(yīng)的Jordan塊

Step3

A的所有初等因子對應(yīng)的所有Jordan塊構(gòu)成的Jordan矩陣注：上述Step1中，可能有相同的。且當(dāng)任意一個

n階復(fù)矩陣

A可以對角化的充分必要條件為的初等因子全是一次的。即為

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。時，例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（1）解初等因子為則

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（2）因此的初等因子為所以

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解例3.5求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（ⅲ）行列式因子法求

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。Step1

求的

n個行列式因子Step2

根據(jù)定理3.4推論，求的不變因子；Step3

求

A的全部初等因子和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。行列式因子法是利用行列式因子與初等因子的關(guān)系例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：解選取計算得的一個三階子式由于，所以從而于是

A的不變因子為即

A的初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為（1）例3.6求下列矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形：（2）解不變因子為初等因子為故A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為A的行列式因子為3、相似變換矩陣

A與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J相似，即存在一個可逆矩陣

P，那么如何求矩陣

P呢？通過求解線性方程組就可以求出

P.Step1

將

P按列分塊寫成，則有Step2

由于J的對角線元素為

A的特征值，對角線上方平行線可化為如下方程組的形式：即其中或1Step3

依次求解這些方程即可求得使得上元素為0或1，因此例3.7求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即分別求解三個方程可得，可選取所以，使得例3.8求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

J，并求出可逆矩陣

P，使得解可求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為令，由可得即即為特征值的兩個線性無關(guān)的特征向量，的通解為若令，方程無解。若令，方程依然無解。由于方程組設(shè)再代入由可知時方程有解。不妨取，即可求得的解為可取，故所用的相似變換矩陣為注：從例3.7和例3.8可知，相似變換

P不是唯一的。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪設(shè)其中則計算的關(guān)鍵是計算定理3.9階Jordan塊的

k次冪，其中多項式特別的，當(dāng)為2階Jordan塊時，設(shè)多項式，則當(dāng)為3階Jordan塊時，由定理3.9，例3.9已知解在例3.4中，已求得

A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形通過求解方程組，可得相似變換矩陣于是求本節(jié)小結(jié)0102Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的定義Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計算P66：4;5預(yù)習(xí)：3.3節(jié)本節(jié)作業(yè)03相似變換3.3Cayley-Hamilton定理與最小多項式1、Cayley-Hamilton定理設(shè)是復(fù)數(shù)域

C上關(guān)于的多項式對稱為矩陣

A

的多項式。定理3.10設(shè)為一多項式，為對應(yīng)的特征向量為則為的特征值，對應(yīng)的特征向量仍為并且，如果，則的任意特征值，定理3.