矩陣分析 課件 第7章 矩陣的廣義逆

第7章矩陣的廣義逆7.1矩陣的{1}逆1矩陣的廣義逆定義7.1

設(shè)，若存在，使得下列

AGA=A;

GAG=G;(AG)H=AG;(GA)H=GA.的某幾個成立，則稱矩陣G為矩陣A的廣義逆。若4條均滿足，記為A+，簡記為M-P廣義逆或加號逆(Moore-Penrose)其他逆的記號注：定理7.1設(shè)且有和n階置換矩陣P，則對任意nm階矩陣屬于A的{1}逆，當(dāng)L=0時，屬于{1，2}逆注意維數(shù)2矩陣的{1}逆例7.1已知求解：A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形H和所用的變換矩陣S為取四階置換矩陣則：定理7.2設(shè)則推論

證

令直接驗證AGA=A即可。另一方面，若G為A的一個{1}逆，設(shè)帶入AGA=A即可定理7.33矩陣{1}逆的應(yīng)用定理7.4A，B，D的階數(shù)適當(dāng)，則通解為

(Y適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣)（7.2）推論1推論2

例7.2

用廣義逆矩陣求解線性方程組解

令例7.1已求得容易驗證所以線性方程組有解，且通解為本節(jié)小結(jié)010203矩陣的廣義逆矩陣的{1}逆{1}逆在方程組中的應(yīng)用P134

：1預(yù)習(xí)：7.2節(jié)本節(jié)作業(yè)第7章矩陣的廣義逆7.2矩陣的加號逆1矩陣的加號逆的計算定義設(shè)，若存在，使得

AGA=A;

GAG=G;(AG)H=AG;(GA)H=GA.則稱矩陣G為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆，記為A+，簡記為M-P廣義逆或加號逆。定理7.5

設(shè)則A的加號逆存在且唯一。若奇異值分解為則加號逆為證

設(shè)若r=0,則零矩陣為A的加號逆。若由定理4.16，存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得易驗證G滿足四個Penrose方程。再驗證唯一性。設(shè)滿足四個Penrose方程，則，定理7.6

求A的滿秩分解：求矩陣的M-P廣義逆的方法：A=FG則推論當(dāng)rankA=m當(dāng)rankA=n證：用定義即可例7.3

求矩陣的加號逆解：A的滿秩分解為則2矩陣加號逆的性質(zhì)定理7.7：設(shè)，則(1)(A+)+=A;(2)(A+)H=(AH)+;(3)(A)+=

+A+;(4-5)rankA=rankA+=rankA+A=rankAA+;(6)A+=(AHA)+AH=AH(AAH)+;(7)(AHA)+=A+(AH)+；(AAH)+=(AH)+A+(8)若UHU=Im，VHV=In，則(UAV)+=VHA+UH;(9)AA+=ImrankA=m.（10）A+A=InrankA=n.3矩陣加號逆的應(yīng)用在實際問題中，當(dāng)線性方程組有解時，常需求出線性方程組的無窮多個解中2-范數(shù)最小的解，即極小范數(shù)解。定理7.8設(shè)，若線性方程組Ax=b是相容的，則唯一極小范數(shù)解其通解是則當(dāng)且僅當(dāng)即rankA=n時解唯一。定理7.9設(shè)，則方程組Ax=b的全部最小二乘解是定義設(shè)，若存在，使得則稱是方程組Ax=b的最小二乘解。極小范數(shù)最小二乘解推論1

設(shè)，則是矛盾方程組的最小二乘解的充分必要條件是，是方程組的解。推論2

設(shè)，則是矛盾方程組的最小二乘解的充分必要條件是，是方程組