線性代數(shù)-普卷

線性代數(shù)普通用卷

學(xué)習(xí)方式：時(shí)間：無(wú)限制

考試科目：《線性代數(shù)》（總分）57分

特別提醒：

1、所有答案均須填寫在答題卷上，否則無(wú)效。

2、每份答卷上均須準(zhǔn)確填寫專業(yè)、身份證號(hào)碼、

所屬學(xué)習(xí)中心名稱、學(xué)號(hào)、姓名等。

一單選題（共32題，總分值32分）

1.設(shè)隨機(jī)變量其物的記

—4烏=尸｛?之"+5則（）.（1

分）

A,對(duì)任意實(shí)數(shù)出Pl=P?

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)出P'<P】；

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)5Pi>P?

D.Pl4的大小不能確定.

2.圓x2+y2-2y-l=0關(guān)于直線x-2y-3=0對(duì)稱的圓方程

是()(1分)

A.(x—2p+(y+3)2=

B.(x—2)2+(y+3)2=2

C.(x+2)2+(y-3)2=

D.(x+2)2+(y-3)2=2

y=Zc(x—4)]

3.若直線與直線“關(guān)于點(diǎn)

Q1),對(duì)稱，則直線b恒過(guò)定點(diǎn)()(1分)

A.(0,4)

B.(0,2)

C.(-2,4)

D.(4,-2)

fli-n2

設(shè)-211x=3,則刀=

16

4.°11、（1分）

3

A.

0

B.

D.

1111

-1111

-1-111=

5.TT1(1分)

A.2

B.4

C.8

D.16

6.設(shè)SM*…W為總體k~N(O」)的一個(gè)

樣本，，了：為樣本均值，S.為樣本方差，則有

().(1分)

X~N(Q,r)i

A.;

nX~N(Q,Y)

B.;

D(〃-必京尸(1,1

7.直線2x_y+3=0：關(guān)于直線y-y+2=對(duì)稱的

直線方程是（）（1分）

A.工一2y+3=0

cx+2y+1=0

x+2v-l=0

D.一

a

0nau%n出

如果%]。23=3）4。33那么D]=（）

a3\a31%々23

（1分）

A.4

B.-4

C.3

D.-3

9.在等腰三角形AOB中，AO=AB,點(diǎn)0（0,0）,A（l,

3）,點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為（）

（1分）

A.y—l=3(x—3)

B.y-l=-3(x-3)

C.y—3=3(x—1)

D.y-3=-3(x-l)

r011-12)

02220

矩陣的秩為

0-1-111

10.18100f()(1

分）

A.2

B.3

C.4

D.5

11.下述結(jié)論中不正確的有（）。（1分）

A.

若向量a與2正交，則對(duì)任意實(shí)數(shù)與66也正交

B若43是同階矩陣，貝昨謝=|川外

若貝或。.

C.AB=0,ij/4=03=

D若向量a與任意同維向量正交，則a是零向量

fo11-1-r

02220

矩陣的秩為

0-1-111

U100T

12.（1分）

A.2

B.3

C.4

D.5

13.若直線-1=0'與直線

（3aT）x+】-l=0,平行，貝IJ實(shí)數(shù)a等于（）（1分）

2

A.

1

1

c.§

D.3

14.

設(shè)%=(L0,4),%=(3,0,2),￡=()時(shí),月不是外,%的線也

(1分)

(o,0,o)

AA.

(O,0,4)

DR.

C(I,2,0)

八(1,0,0)

fcc+y+z=O

如果齊次線性方程組,x+b=z=o有非零解，k應(yīng)取

2x-j+z=0

（1分）

16.下列〃（〃>2）階行列式的值不為零的有（）o（1

分）

A.三角形行列式主對(duì)角線上的元素全不為零

B.三角形行列式主對(duì)角線上有一個(gè)元素為零。

C.行列式零元素的個(gè)數(shù)多于n個(gè)。

D.行列式非零元素的個(gè)數(shù)等于n個(gè)。

17.

fio4-n

A.14-3-J

門28]

B.1612）

flO53）

c1-218）

口;）

18.對(duì)任意階方陣A,B總有（）（1分）

A.ATi-JiA'\

B.網(wǎng)=如|；；

CClB）r=ArBr-,

D.（，四）2=/爐.

1211

-1111

-1-211

（1分）

A.2

B.4

C.8

D.12

Ti-n廣、

設(shè)-211X=-7,則*=

1111L

20.1()(1

分）

fP

3

a

(0、

6

p-21、

(6-42

19-63,

A.、

fl-20、

0-11

、30-1

B.、

C.2

D.10

22.設(shè)R工是AX=O的解，如怯是

=b的解，貝!］（）.（1分）

A.〃1一小是，四=。的解；

B.7+〃，為XX=6的解；；

C.芻+〃1是，四=。的解；

D.?1+5是AX=b的解.

23.

向量組%,（s>2）線性相關(guān)的充分必要條件是（）。

（1分）

A.%，生中至少有一個(gè)零向量

B中至少有兩個(gè)向量成比例

C.

中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示

D.%，42「1鬼中至少有一部分組線性相關(guān)

24.

若n階矩陣A及單位矩陣I滿足幺?+4H+2/=。，A+I的逆陣

()(1分)

A+I

A.

A-3I

Do.

D.A~!

出

1a12a14’002、

設(shè)4='a21a010

a2224A=

1。31afl34>J0o>

25.32

()(1分)

A.

26.已知點(diǎn)P（XJ）在直線x+2j=3上移動(dòng)，當(dāng)

2‘+4’取得最小值時(shí)，過(guò)點(diǎn)「（”）引圓

242的切線，則此切線段的長(zhǎng)度

為（）（1分）

3

P(^)=P(B)=P(C)=

一,P(ABC)=—>

27.若A,B,C兩兩獨(dú)立，且25,則

1

A.40

1

B.20.

1

10.

1

4

D.

卜斗

28.卜451

（）（1分）

A.-2

B.4

C.-7

D.9

29.

00、

10A=

02,

（1分）

24

A.

Dkfl31032a33fl34>

30.己知直線mx+ny+l=0平行于直線4x+3y+5=0,且在y

軸上的截距為，則m,n的值分別為（1分）

A.4和3

B.-4和3

C.-4和-3

D.4和-3

31.

Ax+y+z=O

如果齊次線性方程組＜x+y-z=O有非零解，k應(yīng)取

x-y+kz=Q

（）（1分）

A.-2

B.4

C.-1

D.3

32.

設(shè)X為五階矩陣，|同=-3,則其伴隨矩陣的行列式,[=（）.

（1分）

A._3

B.9

C.-27

D.81

二填空題（共8題，總分值8分）

33.設(shè)A,B為互不相容的兩個(gè)事件，，

P(A)=0.2,|

尸(5)=0.3,則，則p(j[J5)=

0.5___.(1分)

T-11

A=24-1

34.設(shè)3階方陣'一3一3「相似于矩陣

‘1-10、

5=1220

°.則常數(shù)x=1_.(1

分)

35.設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，

且P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A-B)=0.3,則

.(1分)答案：

36.設(shè)隨機(jī)變量X~B(L0.8)，則隨機(jī)變量x的分布

函數(shù)為

__________________________.(1分)答案：

4T................'Z.......*............................?

0x<0

F(x)=<020<x<b

1x>l

■'■“

37.1產(chǎn)出+|尸8|y=x8(3,5)已知點(diǎn)，

點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)一的

坐標(biāo)是?(1

38.x+y'=4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓上

有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)

C的取值范圍是_________________________________

(-13,13)

（1分）答案:

2-12

121=

122

39.

____________________________________.(］分)

答案：5

|j|=|2,

40.若A,B都是3階方陣，且，8=3瓦則

（1分）答案：54

三問(wèn)答題（共6題，總分值6分）

41.

求下列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性

%=(LLQ0)&=(L0,0J),%=(LLL0),a4=(32LD,%=(L0「

(1分)答案：

極大無(wú)關(guān)組%,外,%；。4=%+%+%，-%

42.

求解下列線性方程組

々+毛—x4—3X5=-2

jq+2x2—x-x=1

<35

4再+6々一2當(dāng)一4%+3毛=7

2』-2xj+4西-7X4+4X5=1

(1分)答案：

A?

^=C1(-LL130S0)+C2(6-^S033S1)+(-45-S05-230)

43.

'

22

fl

12

12

中/=

陣，其

角矩

為對(duì)

使。

陣2,

交矩

求正

,

21

12

1

1「

耳"羽

1

萬(wàn)2

0=

76二

1

五T正

V6

：

)答案

(1分

將其余

，并

關(guān)組

大無(wú)

個(gè)極

的一

量組

列向

求下

44.

示。

性表

組線

無(wú)關(guān)

極大

用此

向量

-5-

3-1

=(-

.6)

-23

=(4

5)a

(l,33,

,%=

LU)

=(L-

23),七

=(LL

s4

5

：

答案

3a,

a+

a=

-0,,

20,

a,=

,%；

組名

無(wú)關(guān)

極大

2

l

4

求解下列線性方程組

再一2々+毛+%=-1

2再+與-x一匕=1

<3

%+7巧—5X3—5X4=5

3再一巧=0

（1分）41

X=c?0,TD+（0,0,-L0）

分）答案：

’-110、

求矩陣-430的特征值及特征向量.

46.

分）答案：

特征值2,1,b特征向量對(duì)應(yīng)為%=（。兒I）7■及%=qQ2—l）T;

四計(jì)算題（共11題，總分值11分）

47.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問(wèn)是否存在斜率是1

的直線使/被圓C截得的弦AB,以AB為直徑的圓經(jīng)

過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫出直線/的方程；若不存在，說(shuō)明

理由.(1分)答案：

解假設(shè)存在直線I滿足題設(shè)條件，設(shè)I的方程為y=逑圓C化為，

(x-l)a+(y+2)*=9,圓心C(1,-2),則AB中點(diǎn)N是兩直線x-y-hn=O與y+2=-(x-l

的交點(diǎn)即N：'-竽，竽'；，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，

AN=ON,又CN1AB,CN"

J?

；.AN甘-耍.?

又ON二閆二畫(huà)“

由AN二ON,解得m=-4或m=L“

存在直線I,其方程為y=x-4或y=x+l.“

48.如圖所示，過(guò)點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線

若11交X軸于A,交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)M的

軌跡方程.

（1分）

答案：解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y）,

,,,M是線段AB的中點(diǎn)，

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2x,0）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,2y）.

-2（2x-2）-4（2y-4）=0,

即x+2y-5=0.

-??線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.

49.設(shè)隨機(jī)向量（《口的概率密度為

,6x

/（X.J）=to.

求關(guān)于X,丫的邊緣概率密度.（I分）

答案：解先求fx(x),

19當(dāng)X<0或X21時(shí)，

A-(X)=「/(XQ2=「0辦，=0

..........................2分

A(X)=匚Hx,y)辦'=1J'6號(hào)4

29當(dāng)0女VI時(shí),

..........................2分

于是得X的邊緣概率密度為

2

fl2x(l-x),0<x<l:

A0,其它

..........................1分

類似地

19當(dāng)y<o或瘦2時(shí)，

fi3)=U%y油=U0dbe=。|

2分

于是得y的邊緣概率密度為

￡<>')=<

[0,其它

50.

設(shè)隨機(jī)變量X~N(3?熟3時(shí)肺變量丫=1;當(dāng)X>3時(shí)腳變

Y=0o求E(Y)?

(1分)答案：先求出來(lái)y的概率，3是X的期望.根

據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì).P(XW3)=P(X>3)=0.5.所以Y

取1和0的概率都是0.5,E(Y)=0*0.5+1*0.5=0.5

51.設(shè)二維隨機(jī)向量（X」'）的聯(lián)合概率密度為

e《+F）,

9其它

⑴求邊緣概率密度；（2）判斷X,Y是否相互獨(dú)立，并說(shuō)

明理由.（1分）答案：

解：(1)邊緣概率密度：當(dāng)X。時(shí),

A-(X)=t/(Xy)dy=]Je~(x+y\

卻

|e~x,x>0

A(x)=l廿………a

Io,其它

當(dāng)y>0時(shí)，

40)=1~=/(%N)改=/cY+*d

」一ODJ0

P

和I

\e-y,y>0

7r(>')=I甘4

[0A,具匕

.............4分e

由于〃“卜啟⑴/山，)，所以

x,y相互獨(dú)立。，

fl234、

0123

A=.Q012

52.設(shè)I

001，，求.（1分）答案:

解：

'1234100。

01230100

（'㈤=00120010

、00010001

..................2分+'

.....2分

’10-1-21-2

012301

001200

、000100

fl0-1-21-2

,010-101

^^,001200

；000100

01-21

001-：

0001

1000

10、

-21

1-2

01?

53.已知直線1]:ax+2y+6=0和直線

：x+(a-1)y+a2-l=0,

(1)試判斷k與b是否平行;

(2)11^2時(shí)，求a的值.(I分)答案:

解(1)當(dāng)a=l時(shí)，11:x-*-2y-^6=0,

l；：x=O,h不平行于I：;

當(dāng)a=0時(shí)，h：y=-3,

l：：x-y-l=O,h不平行于1:;

當(dāng)a盧1且a*0時(shí)，兩直線可化為

；a_1

=

l.//lsof21^.解得a=-l,

!-3*-(a+l)

綜上可知，a=-i時(shí)，IRI：,否則L與I：不平行.

(2)方法二當(dāng)a=l時(shí),I：x+2y+6=0Qjj2s二。，

li與I：不垂直，故a=l不成立.

當(dāng)a乎1時(shí)，li：y=-Jx-3,

L：y=7^-x-(a+D,

1-a

由:-目?

，、2J1-a3

方法—由AA+BiBkO,得a+2(ar)=0na=三.

fl01、

A=020

54.設(shè)'1101），矩陣X滿足方程

.4X-X=^-E，求矩陣x.（1分）答案:

解：,4X-X=A2-E,貝?

(4—E)X=(4—+E)3

.......................3分e

由于

fl-101\<0

A—E=!02-10=0

!101-1JII

,|/一同=一1,則d—E可逆。

.......................3分2

(J-E)-1(A-E)X=(A-E)-\A

.......................2分。

則

(201、

X=A+E=030

1102,

.......................2分二

55.設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布為

125

00.10.20.27

20.080.150.2

求⑴X與Y的邊緣分布列；（2）判斷X,Y是否獨(dú)立?（3）P

{X=Y}.（1分）

答案：解：（1）X與Y的邊緣分布列分別為

X01

Pi.0.570.43

Y-101

尸」0.180.350.47

.........................5分

(2)由于尸{x=o1=i}w

p{x=-i}P{，=i}=L

8

所以X和Y不獨(dú)立............................3分

(3)P{X=Y}=P{X=2,Y=2}=0.15

56.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，下表列出了隨機(jī)向

量（X,Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布的部分?jǐn)?shù)值.（1）

將其余數(shù)值填入表中空白處；（2）求概率P{X=Y}.

—102Pi

—11/8

11/8

pj1/61

（1分）答案：解：（1）利用獨(dú)立性及聯(lián)合分布與邊緣

分布的關(guān)系得：

-102Pi.

-11/241/81/121/4

11/83/81/43/4

Pj1/61/21/31

..............................................8分

(2)P{X=Y}=

尸{*=-13y=-i}*卜

(2)24

57.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；

(2)若(1)中的圓與直線x+2y-4=0相交于M.N兩點(diǎn)，

且OMJ_ON(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m；

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.

(1分)

答案：

解(1)(乂-1)"+(丫-2)"二5-01,.."

(2)設(shè)M(x“y)N(xs,y2),“

貝UXnN—2y：,Xs=4-2y=〃

則XiXj=16-8(y：+ys)+4y：y*

V0M10N,x^+y^O^

16-8(y：+ys)+5丫沙30①/

由匕"了”

卜、尸-2x-4y+m=0

得5y:-16y-m-j-8=0^

.?.y,+y廣?，yw號(hào),代入①得，吟一

(3)以MN為直徑的圓的方程為，

(x-xs)(x-xs)+(y-y：)(y-y2)二0?

即x2+ya-(Xi+xjx-(yj+y?)y=0^

所求圓的方程為x2+ys-y=0.d

一單選題（共32題，總分值32分）

1.答案：A

解析過(guò)程：

2.答案：B

解析過(guò)程：

3.答案：B

解析過(guò)程：

4.答案：A

解析過(guò)程：

5.答案：C

解析過(guò)程：

6.答案：D

解析過(guò)程:

7.答案：A

解析過(guò)程：

8.答案：D

解析過(guò)程：

9.答案：D

解析過(guò)程：

10.答案：C

解析過(guò)程：

11.答案：C

解析過(guò)程：

12.答案：B

解析過(guò)程：

13.答案:C

解析過(guò)程：

14.答案：C

解析過(guò)程：

15.答案:B

解析過(guò)程：

16.答案：A

解析過(guò)程：

17.答案：A

解析過(guò)程：

18.答案：B

解析過(guò)程：

19.答案：D

解析過(guò)程：

20.答案：C

解析過(guò)程：

21.答案：A

解析過(guò)程:

22.答案:A

解析過(guò)程：

23.答案：C

解析過(guò)程：

24.答案:C

解析過(guò)程：

25.答案：A

解析過(guò)程：

26.答案：A

解析過(guò)程：

27.答案:B

解析過(guò)程：

28.答案：A

解析過(guò)程：

29.答案：B

解析過(guò)程：

30.答案：C

解析過(guò)程：

31.答案：D

解析過(guò)程：

32.答案：D

解析過(guò)程：

二填空題（共8題，總分值8分）

33.答案：0.5

解析過(guò)程：

34.答案：1

解析過(guò)程：

2,

35.答案：4“

解析過(guò)程：

fo'i<d

F(x)=?0.20<x<h

\1■x>l■

36.答案:

解析過(guò)程:

(2,2)

37.答案:

解析過(guò)程:

(-13,13)

38.答案:

解析過(guò)程：

39.答案：5

解析過(guò)程：

40.答案：54

解析過(guò)程:

三問(wèn)答題(共6題，總分值6分)

41.答案：

極大無(wú)關(guān)組四,?,%；。4=%+%+%，%=%+%—03

解析過(guò)程：

42.答案：

X=q(-LLL0,0)+c2(6,—jA031)+(-4,不50,-2,0)

解析過(guò)程：

1

rl-O

f存

2萬(wàn)

12

。

=羽

76

二

二

應(yīng)V6

黑

43.答

解析過(guò)程:

44.答案：

極大無(wú)關(guān)組％,%；%=2%-%，&4=%+3%,

解析過(guò)程：

X=q(O,OTl)+(O,OTO)

45.答案：

解析過(guò)程：

46.答案：

特征值2,1,1;特征向量對(duì)應(yīng)為%=。0,1)7及%=qQ2T)7;

解析過(guò)程：

四計(jì)算題(共11題，總分值11分)

47.答案:

解假設(shè)存在直線I滿足題設(shè)條件，設(shè)I的方程為y=E圓C化為e

(x-l),+(y+2)*=9,圓心C(1,-2),則AB中點(diǎn)N是兩直線式毋妒0與y+2=-(x-l

的交點(diǎn)即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，

122J

：.AN=ON,又CN1AB,CN.=￡F!，"

AN二產(chǎn)手

又ON二后天再“

由AN=ON,解得m=-4或m=l.，

，存在直線I,其方程為y=x-4或y=x+l.*>

解析過(guò)程：

48.答案：解設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),

,.1M是線段AB的中點(diǎn)，

，A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2y).

-2(2x-2)-4(2y-4)=0,

即x+2y-5=0.

線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程為x+2y-5=0.

解析過(guò)程：

49.答案：解先求fx(x),

當(dāng)x<0或貶1時(shí)，

Zr(x)=/也/(x,?沁二jp04，=0

.................................................2分