高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊)專題31指數(shù)冪及其運算(原卷版+解析)

專題31指數(shù)冪及其運算1．分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義溫馨提示：(1)分數(shù)指數(shù)冪aeq\s\up15(eq\f(m,n))不可以理解為eq\f(m,n)個a相乘．(2)對于正分數(shù)指數(shù)冪，規(guī)定其底數(shù)是正數(shù)．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．溫馨提示：(1)對于無理指數(shù)冪，只需了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．(2)a－b＝eq\f(1,ab)(a>0，b是正無理數(shù))．(3)定義了無理數(shù)指數(shù)冪后，冪的指數(shù)由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．題型一根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化1．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．式子的計算結(jié)果為（

）A． B． C． D．3．將表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是（

）A． B．C． D．4．已知，則化為（

）A． B． C．m D．15．將化成分數(shù)指數(shù)冪為（

）A． B．C． D．6．化簡(其中，)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．7．的分數(shù)指數(shù)冪表示為____________8．已知，則___________.9．化簡，將結(jié)果用有理指數(shù)冪的形式表示為______．10．用有理指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中）：（1）______；

（2）______．11．用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）.12．用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中，均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．題型二利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求解1．化簡結(jié)果為（

）A．a(chǎn) B．b C． D．2．計算：3．已知，，則（

）A． B． C． D．4．計算：=____________.5．計算=________________.6．(a>0，b>0)＝________.7．已知，則______.8．化簡．9．化簡下列各式：(1)；(2)．10．計算下列各式（式中字母均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．11．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)12．計算：(1)；(2)(a＞0，b＞0)．13．計算：(1)(2)；(3)(4)求值：題型三指數(shù)冪運算中的條件求值1．若則（

）A．10 B．15 C． D．2．設(shè)a，b為正實數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．273．設(shè)，，則（

）A． B．1 C．2 D．34．已知，，則______．5．設(shè)，則___________.6．已知,，則的值為______.7．，則_______．8．若為方程x2－3x＋a＝0的兩根，則________．9．已知，則___________.10．已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．11．已知，求的值．12．（1）已知，計算：；（2）設(shè)，，求的值．13．求解下列問題：(1)已知，且，求.(2)已知，求和的值.專題31指數(shù)冪及其運算1．分數(shù)指數(shù)冪的意義分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up5(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\s\up5(\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up5(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分數(shù)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義溫馨提示：(1)分數(shù)指數(shù)冪aeq\s\up15(eq\f(m,n))不可以理解為eq\f(m,n)個a相乘．(2)對于正分數(shù)指數(shù)冪，規(guī)定其底數(shù)是正數(shù)．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．溫馨提示：(1)對于無理指數(shù)冪，只需了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．(2)a－b＝eq\f(1,ab)(a>0，b是正無理數(shù))．(3)定義了無理數(shù)指數(shù)冪后，冪的指數(shù)由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．題型一根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化1．若有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．[解析]由負分數(shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.2．式子的計算結(jié)果為（

）A． B． C． D．[解析].故選：D.3．將表示成分數(shù)指數(shù)冪，其結(jié)果是（

）A． B．C． D．[解析].故選：C.4．已知，則化為（

）A． B． C．m D．1[解析]，.故選：C．5．將化成分數(shù)指數(shù)冪為（

）A． B．C． D．[解析]．故選：B.6．化簡(其中，)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．[解析]因，，所以.故選：C7．的分數(shù)指數(shù)冪表示為____________[解析]8．已知，則___________.[解析]，則，因此，.9．化簡，將結(jié)果用有理指數(shù)冪的形式表示為______．[解析]10．用有理指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中）：（1）______；

（2）______．[解析]（1）；（2）.11．用分數(shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）.[解析]（1）（2）；（3）；（4）解法一：從里向外化為分數(shù)指數(shù)冪=====解法二：從外向里化為分數(shù)指數(shù)冪.

=====12．用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（其中，均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．[解析](1)；(2)；(3).題型二利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡求解1．化簡結(jié)果為（

）A．a(chǎn) B．b C． D．[解析]根據(jù)實數(shù)指數(shù)冪的運算公式，可得：.故選：A.2．計算：[解析]2+22+1＝7．3．已知，，則（

）A． B． C． D．[解析]根據(jù)題意得，，因為，所以.故選：D.4．計算：=____________.[解析]5．計算=________________.[解析]由題得，，，原式=.6．(a>0，b>0)＝________.[解析]原式＝＝.7．已知，則______.[解析].8．化簡．[解析]9．化簡下列各式：(1)；(2)．[解析](1)．(2)．10．計算下列各式（式中字母均為正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．[解析](1)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(2)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(3)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(4)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(5)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(6)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(7)由指數(shù)冪的運算公式，可得.(8)由指數(shù)冪的運算公式，可得.11．求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)[解析](1)原式；(2)原式；(3)原式；(4)原式.12．計算：(1)；(2)(a＞0，b＞0)．[解析](1).(2).13．計算：(1)(2)；(3)(4)求值：[解析](1)(2)(3)原式.(4)題型三指數(shù)冪運算中的條件求值1．若則（

）A．10 B．15 C． D．[解析]因為兩邊平方得，即，所以原式，故選：C2．設(shè)a，b為正實數(shù)，，，則（

）A．1 B．3 C．9 D．27[解析]因為，所以，即，∴，，∴，故選：C．3．設(shè)，，則（

）A． B．1 C．2 D．3[解析]∵，，∴，∴，故選：B4．已知，，則______．[解析]因為，，所以．5．設(shè)，則___________.[解析]由.6．已知,，則的值為______.[解析]由，得，即，所以，則.7．，則_______．[解析]因為，且，所以.8．若為方程x2－3x＋a＝0的兩根，則________．[解析]因為為方程x2－3x＋a＝0的兩根，所以所以＝3×(32－3)＝18，x2＋x-2＝＝(32－2)2－2＝47，所以.9．已知，則___________.[解析].10．已知，且，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．[解析](1)因為，且，所以；(2)因為，所以，則，因為，所以舍去）；(3).11．已知，求的值．[解析]因為，故.12