高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣6 不等式講學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

回扣6不等式

IT基礎(chǔ)回歸

1.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步驟：一化（將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)）；二判（判斷4的符號）；三解（解

對應(yīng)的一元二次方程）；四寫（大于取兩邊，小于取中間）.

解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮:①二次項(xiàng)系數(shù),

它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式/,它決定根的情形，一般分/>0,/=0,/〈0

三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立問題

fa>0,

（1）病+6匠+0〉0（收0）恒成立的條件是1

ZK0.

水0,

(2)ax+bx+c<0(aW0)恒成立的條件是'

A<0.

3.分式不等式

■^4>0(<0)of(x)g(x)>0?0)；

俄x)

得03。）今4x)^x)20(W0),

&x)W0.

4.基本不等式

⑴三力迎（a,6G（0,+8））,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

（2）在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、

“定”、“等”的條件.

5.線性規(guī)劃

⑴可行域的確定，“線定界，點(diǎn)定域”.

（2）線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得.

（3）線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個.

易錯提醒

1.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，不討論這個數(shù)的正負(fù)，從而出錯.

2.解形如一元二次不等式a/+6x+c>0時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注

意分a>0,a〈0進(jìn)行討論.

3.應(yīng)注意求解分式不等式時正確進(jìn)行同解變形，不能把頭W0直接轉(zhuǎn)化為f（x）?g（x）WO,

而忽視g（x）#0.

4.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解，如求函

1O

數(shù)的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y=x+-（x〈0）

y/x+2x

時應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解.

5.解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)

解.

6.求解線性規(guī)劃問題時，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解，如三是指已知區(qū)

x十2

域內(nèi)的點(diǎn)（X,力與點(diǎn)（一2,2）連線的斜率，而（X—l）2+（y—1）2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,。

到點(diǎn)（1,1）的距離的平方等.

出回歸訓(xùn)練

1.(2016?全國I)若3>6>1,0<水1,貝!!()

A.成〈6，B.alj^ba

C.alogbC<blogacD.logaC〈logbC

答案C

解析對于A：由于OGG,?,?函數(shù)p=/在R上單調(diào)遞增，則3故A錯；

1c1

對于B：由于一1<0,???函數(shù)尸X’T在(1,+8)上單調(diào)遞減，：.a>b>l^a-<b-

=b對VaH,故B錯；

ITr十rLEtr,.S}.X\.JMilCr?-111C.111C廠R一

對于C：要比較alog/和方logaC,只需比較-j—和----，只需比較w—和j-----,只需比

InbIna,blnbalna

較

61nZ?和alna構(gòu)造函數(shù)F(x)=xlnx(x>l),則-(x)=lnx+l>l>0,f(x)在(1,+00)

上單調(diào)遞增，因此/*(〃)>_f(6)>00alna>61n6>00一^—<.,,又由得lnc<0,

~ainabinb

IncInca

A-；----->7；----7=^bLogc>aLogc,C正確；

alnaZ?lnbab

Inc]nc

對于D：要比較log/和log/,只需比較^—和「，

InaInb

而函數(shù)尸Inx在(1,+8)上單調(diào)遞增，故a>6>loln4〉ln6>0011J1?又由。〈水1，

InaIn力

得lnc<0,

IncIncr-3-3

--->；----<=^logc>log/；c,故D錯，故選C.

Inainba

2.若不等式2Af+Ax-6三0的解集為空集，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是()

O

A.(—3,0)B.(—8,—3)

C.(-3,0]D.(—8,-3)U(0,+8)

答案C

-3%<0,

解析由題意可知，2Ax"+而一6<0恒成立，當(dāng)A=0時成立，當(dāng)斤0時需滿足《

8〔4<0,

代入求得一3<A<0,所以實(shí)數(shù)A的取值范圍是(-3,0].

3.已知a>0,6>0,若不等式一7一之一[WO恒成立，則m的最大值為()

6a~\~bab

A.4B.16C.9D.3

答案B

解析依題意辰]3+J](3a+6)=10+包+與，

\abjab

363a

10+一+T216,故/W16,勿的最大值為16.

ab

4.已知向量a=(q2),6=(1,77-1),若aLb,則2"+4〃的最小值為()

A.2B.2yli

C.4D.8

答案C

解析因?yàn)橄蛄縜=(%2),b=(1,〃-1),aLb,

所以勿+2(7?—1)=0,即/+2刀=2.

所以2?+4"22尸7=2吸通=2狼=4

'[2"=4",\m=X，'

當(dāng)且僅當(dāng),即1時，等號成立，

[111+o2/1=2,o,n=~

\[27

所以2卯+4〃的最小值為4,故選C.

2x~\~y—5WO,

的解集記為Az=41,有下面四個命題:

5.不等式組《3x—y20,

、x—2y^0

Pi：V(x,力￡〃z21;加3(xo,jo)RD,z》l；

R：V(x,力￡〃zW2;A：3(xo,Jb)GD,Z<0.

其中為真命題是(

A.pi,RB.Pl,R

C.pi,P4D.s，pi

答案D

作出可行域如圖所示，因?yàn)?=事的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)/(T,T)連

解析

線的斜率，可知與。連線斜率最小，與8連線斜率最大，聯(lián)立方程可得C(2,1),8(1,3),

2

所以z的最小值為耳，最大值為2,所以選項(xiàng).R正確，故選D.

0

6.設(shè)f{x}=ln^0<a<b,則下列關(guān)系

式中正確的是()

A.q=r<pB.q=f>p

C.p=r〈qD.p=r>q

答案c

解析V0<a<6,,??空5

又?."(x)=lnx在(0,+8)上為增函數(shù),

a+6

故，即q>p.

]]]]1__

又r=-[f{a)+/(A)]=5(lna+lnZ?)=^].na+^lnb=In(aZ?)'=f(y[dti)=p.

故p=r<q,故選C.

x—y+520,

7.己知x,y滿足條件x+y\O，則z=y—51的最大值為（）

x十3

21

A.

3

C.2D.3

答案D

解析作出可行域如圖所示.

V-1V--1

因?yàn)閦=F=,八,經(jīng)過點(diǎn)（一3,1）的直線斜率最大的是直

線X—y+5=0與直線x+y=0的交點(diǎn)12，§與該點(diǎn)的連線，故

5

5T°….

痂ax=z=3,故選D.

5,

x+KO,

8.若x,y滿足約束條件＜x—y+22O,且目標(biāo)函數(shù)z=ax—y取得最大值的點(diǎn)有無數(shù)

、x+2y+22O,

個，則z的最小值等于（）

3

-2--

A.B.2

C.

1

1

-D.

2-

-

答案C2

解析由題意可知，因?yàn)閦=ax—p,所以z,故直線y=ax—z的截距為一z,作出

平面區(qū)域如圖陰影部分所示，故a=一看故直線尸一z,所以當(dāng)直線y=一z過點(diǎn)

（一1,1）時，目標(biāo)函數(shù)的最小值Zmin=—1）—1=一；，故選C.

9.（2016?山東）若變量x,y滿足<2x—3f9,則/+/的最大值是（）

A.4B.9C.10D.12

答案C

"x+Z2,

解析滿足條件?2x—3j<9,

x^O

的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示，/+/是可行域上的動點(diǎn)（x,。到原點(diǎn)（0,0）距離

的平方，顯然，當(dāng)x=3,尸一1時，/+/取得最大值，最大值為10.故選C.

/■/--I—9

10.若不等式不或〃?丁在方￡（0,2］上恒成立，則a的取值范圍是（）

11

R

6-6-

arl_2

D.—,1

6?kO

答案D

t1Q9913。

解析一,而在區(qū)間（0,2］上單調(diào)遞減，.?"+：22+5=丁，-7-T

?『+9

十

卷（當(dāng)且僅當(dāng)方=2時等號成立），又^^=:+W=2,+j2一5

??十%.2七十廿一）（當(dāng)且僅當(dāng)—2時等號成立），故d的取值范圍是1，1.

19

11.已知x>0,y>0,且［+］=1,若2x+y2以恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

當(dāng)卬取到最大值時，x=.

答案（一8,8］2

2、v

解析2x+y=（2x+y）-+-=—+-+4三8,

\xy）yx

由2x+y2以恒成立，得力W8；當(dāng)切取到最大值時滿足

ri2

一(+-=1

Xy

4x_y

x'

x=2.

12.二次不等式加+6x+cV0的解集為卜或>,則關(guān)于x的不等式eV—6x+a

>0的解集為.

答案{x[一3<x<一2}

1

ARC

---且a<O51

解析由已知，一36則Q―鏟，=-故不等式c-a>0可

a6ca)

化為x+5x+6V0,解得一3VxV—2.

12

13.已知圓/+7—2矛―49+3=0關(guān)于直線ax+6y—3=0(a>0,6>0)對稱，貝卜+彳的最

ab

小值為.

答案3

解析由題意圓f+產(chǎn)一2x—4y+3=0關(guān)于直線ax+6y—3=0(a>0,6>0)對稱，即圓心

(1,2)在直線ax+8一3=0(a>0,6>0)上，即a+26=3(a>0,6>0),

14154

19十^

-3-3-3-3-

所以六=31引3當(dāng)且僅當(dāng)二=7，即a=6=l時取

等號.

14.要制作一個容積為4m\高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是20元

/m2,側(cè)面造價是10元/m)則該容器的最低總造價是元.

答案160

解析由題意知，體積k=4m3,高分=1m,

4

所以底面積S=4m2,設(shè)底面矩形的一條邊長是xm,則另一條邊長是】m,又設(shè)總造價是y

元，則y=20X4+10X(2x+g三80+20\^2^[=160,當(dāng)且僅當(dāng)2x=p即x=2時取得

等號.

15.解關(guān)于x的不等式*+a：2wx+l.

x~\

解原不等式可化為丁廠一(x+1)WO,

1

即WO,

X~1

-1

當(dāng)a=0時，有---7^0,所以x>L

x—1

當(dāng)aWO時，

1

x——

「X?a11

①當(dāng)aVO時，有---7^0,且一VI,所以xW-或x>l；

x—1aa

1

Xa11

②當(dāng)OVdVl時，有一7<0,且一〉1,所以lVxW一；

x—1aa

③當(dāng)a=l時，有^~所以x60,

x—1

1

x—a11

④當(dāng)a>l時，有一-^0,且一<1,所以一Wx<L

x-1aa

綜上，

當(dāng)a<0時，原不等式的解集為(一8,1u(1,+8),

當(dāng)a=0時，原不等式的解集為(1,+8),

當(dāng)0<a<l時，原不等式的解集為[1,[,

當(dāng)a=l時，原不等式的解集為。，

當(dāng)a>l時，原不等式的解集為1).

16.提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車

流速度/(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到

200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,

車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)2