歷年考研高數(shù)一真題

1995

填空題

(2)機(jī)，xcosdd￡=

(3)設(shè)(axb)>c=2,則［(以+b)xR+c)］(c+以)=

21

(4)察級(jí)數(shù)￡―---x"-的收斂半徑R=

x-l2*+(-3?

(5)設(shè)三階方陣4.6滿足關(guān)系式：41歷4=必+&4,且/=0；0，則6=.

00-

.7_

二、選擇題

x4-3y+2z+1=0

(1)設(shè)有直線及平面開(kāi):4x-2_y+z-2=0,則直線L

2x-^-10z+3=0

(A)平行于九(B)在開(kāi)上.

(C)垂直于兀(D)與開(kāi)斜交.

(2)設(shè)在［0,1］上〃x)>0,則〃0)、/(I),〃1"〃0)或〃0)-〃1)的大小

順序是

(A)/(1)>/(O)>/(1)-/(O).(B)/(1)>/(1)-/(0)>/(0).

(C)/(l)-/(0)>/(l)>/(0).(D)/(l)>/(0)-/(l)>/(0).

(3)設(shè)〃x)可導(dǎo)，尸(刀)=/5)(1+而也則〃0)=0是尸⑶在r=0處可導(dǎo)的

(A)充分必要條件.(B)充分條件但非必要條件.

(C)必要條件但非充分條件.(D)既非充分條件又非必要條件.

(4)設(shè)4=(-l)"ln(1+9),則級(jí)數(shù)

(A)￡%與都收斂.(B)Z4與Z/，都發(fā)散.

JU-I?8-1x-1Z

coz%收斂而發(fā)歌?(D)Z%發(fā)散而收斂

?-1

的1a21以22010

(5)設(shè)/=,B=an以12，4=100

電1_a3l+，1%2+aU001

100'

B=010,則必有

101

(A)AP^=B①),弓=5

(C)RP2A=B(D)P2P1A=B

三、⑴設(shè)。=/(冗》2),。(#］,2)=0)=血耳其中/、典都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

d(p八以

—0,求一.

dzdx

(2)設(shè)函數(shù)〃x)在區(qū)間血1］上連續(xù)，并設(shè)［〃碎反=4求，否，〃4/(切力.

四、(1)計(jì)算曲面積分JJzdS,其中N為錐面z=J7+7在柱體/+1/W2x內(nèi)的部分.

￡

(2)將函數(shù)/(x)=x-l(0<x<2)展開(kāi)成周期為4的余弦級(jí)數(shù).

五、設(shè)曲線L位于xQy平面的第一象限內(nèi)，L上任一點(diǎn)河處的切線與1y軸總相交，焦點(diǎn)記為

月已知阿=阿且L過(guò)點(diǎn)仔3求L的方程.

六、設(shè)函數(shù)Q(xj)在X。平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分(2初々x+Q(x,_y)的與

路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意Z恒有

然2歹心+Q(x)2=喘2?dx+Q("也

求Q(").

七、假設(shè)函數(shù)〃x)和g(x)在［%可上存在二階導(dǎo)致，并且

g'(x"O,〃a)=〃B)=g(a)=g@),試證：

(1)在開(kāi)區(qū)間g,8)內(nèi)g(x)ho；

(2)在開(kāi)區(qū)間g,5)內(nèi)至少存在一點(diǎn)△使4$=」典.

g?g?

八、設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣/的特征值為4=-1，4=4=L對(duì)應(yīng)于4的特征向量為

g=(o,Li)r,求a

九、設(shè)/是"階矩陣，滿足=E是萬(wàn)階單位陣，是/的轉(zhuǎn)置矩陣，|/|<0,求

十、填空題

(1)設(shè)星表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為04則X?的數(shù)

學(xué)期望5(尤2)=.

(2)設(shè)x和y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且

產(chǎn)｛尤之0,y20｝=［,產(chǎn)｛X20｝=產(chǎn)｛y之,則尸｛max(X,P)之0)=.

一X、C

十一、設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為4(弓=<；：［o,求隨機(jī)變量y=/的概率密度

力&)?

1996

填空題

x+2aY

(1)設(shè)lim=8則。=

XT9x-a7

（2）設(shè)一平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)（6,-3,2）,且與平面4矛-?/+22=8垂直，則此平面方程為

（3）微分方程y-2y+2y=e*的通解為_(kāi)____

（4）函數(shù)〃=Ink+77+?）在幺（L0,1）點(diǎn)處沿上點(diǎn)指向的方向?qū)е聻?/p>

'102-

⑸設(shè)N是4x3矩陣，且N的秩r（/）=2,而3=02。，則r（池）=

-103_

二、選擇題

（1）已知（x+了）與1力為某函數(shù)的全微分，則a等于

G+刃

(A)-1.(B)0.(C)l,(D)2.

（2）設(shè)〃x）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/⑼=0,1身背1=1,則

（A）〃0）是〃x）的極大值.

（B）/（0）是了門）的極小值.

（C）（0,〃0））是曲線y=〃x）的拐點(diǎn).

（D）〃0）不是〃x）的極值，（0,〃0））也不是曲線丁=〃x）的拐點(diǎn)

⑶設(shè)仆＞0（閥=1,2,…），且收斂，常數(shù)斗則級(jí)數(shù)之（-1）*（附由二|町*

?-i\2/?_i\nJ

（A）絕對(duì)收斂.（B）條件收斂.

（C）發(fā)散.（D）斂散性與;1有關(guān).

（4）設(shè)〃x）有連續(xù)的導(dǎo)致，〃0）=0,/（0”0,9（弓=,卜2-￡2?0比,且當(dāng)工―0

時(shí)，尸'（X）是與/是同階無(wú)窮小，則上等于

00瓦

0%為0

（5）四階行列式3的值等于

0%以30

400以4

（A）4］以2弓A一4打蟒4（B）aTa2a3a4+隊(duì)娓電

（C）（以1以2-32）（以3以4一妙4）.（D）（以2以3-34）（以104一帖4）.

三、（1）求心形線r=a（1+cos6）的全長(zhǎng)，其中以＞0是常數(shù).

（2）設(shè)々=10,4+1=月三（附=1,2「）,試證數(shù)列｛與｝的極限存在，并求此極限.

四、⑴計(jì)算曲面積分JJ(2x+zHy由+zdx的，其中S為有向曲面z=/+/(OWz41),

其法向量與z軸正向的夾角為銳角.

(2)設(shè)變換?二'-2"可把方程6密+普一尊=o化簡(jiǎn)為《三=0,求常數(shù)a

v=x+aydx2dxdydydudv

五、求級(jí)數(shù)□盲京1加7的和，

六、設(shè)時(shí)任意x>0,曲線1y=〃x)上點(diǎn)(x,〃x))處切線在￥軸上得截距等于;「〃。山,求

〃力的一般表達(dá)式.

七、設(shè)〃x)在［0,1］上具有二階導(dǎo)致，且滿足條件到4。,|/'(力仁8其中以力都是非負(fù)

常數(shù)，。是(0,1)內(nèi)任意一點(diǎn)，證明

|/(c)|《2a+/

八、設(shè)金其中總是"階單位矩陣，4是萬(wàn)維非列向量，F(xiàn)是^的轉(zhuǎn)置，證明：

(1)/2=幺的充要條件是^4=1；

(2)當(dāng)F4=l時(shí)，金是不可逆矩陣.

2

九、已知二次型〃電程與)=5x「+5X2+咨2-2X/2+6內(nèi)與-6X2X3的秩為2.

(1)求參數(shù)c及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；

(2)指出方程/(芯1，兀2，尤3)=1表示何種二次曲面.

十、填空題

(1)設(shè)工廠幺和工廠3的產(chǎn)品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由j和8的產(chǎn)品分別占60%和40

%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬總產(chǎn)品的概率是

(2)設(shè)&冉是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布N的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量歸-加

的數(shù)學(xué)期望下(歸一切)=_____

十一、設(shè)統(tǒng)乃是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知《的分布律為

產(chǎn)｛4="=；"=1,2,3,又設(shè)萬(wàn)=111就僮，7),￥=min(^，7)

(1)寫(xiě)出二維隨機(jī)變量(星了)的分布律；

3

12

1

2

3

(2)求隨機(jī)變量巨的數(shù)學(xué)期望E(X).

1997

一、填空題

3sinx+/cos—

2。(1+COSx)ln(1+X)

⑵設(shè)察級(jí)數(shù)￡軟犬的收斂半徑為3,則幕級(jí)數(shù)￡>.(矛-1)Z的收斂區(qū)間為

(3)對(duì)數(shù)螺線。=/在點(diǎn)處切線的直角坐標(biāo)方程為

'12-2

(4)設(shè)工=4t3,B為三階非零矩陣，且3=0,則1=.

3-11

(5)袋中有50個(gè)乒乓球，其中20個(gè)是黃球，30個(gè)是白球，今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一

球，取后不放回，則第二個(gè)人取得黃球的概率是

二、選擇題

⑴二元函數(shù)〃XJ)={x2+/'>''，在點(diǎn)(0,0)處

(xj)=(0,0)

(A)連續(xù)，偏導(dǎo)致存在.(B)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

(C)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在.(D)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在.

(2)設(shè)在區(qū)間⑶可上>0,/(x)<0,/,(x)>0,令S]=

S2=/0)0—a)，S3=,〃a)+/9)[9—a)，則

(A)S]<聞的.(B)&<$1<^3

(C)&VS1嗎.(P)S2<用<久

(3)設(shè)F(x)=『"%加sin團(tuán)，則尸(x)

(A)為正常數(shù).(B)為負(fù)常數(shù).

(C)恒為零.(D)不為常數(shù).

/隊(duì)%

⑷設(shè)%=a2,a2=b2,<2^=巧，則三條直線

_，3_

ayx+b^+c1-0,a2x+b2y+c2=O,a^+b^y+c3=0(其中a：+8；w0,i=1,2,3)交于一

點(diǎn)的充要條件是

(A)%,生,％線性相關(guān).(B)%，的,生線性無(wú)關(guān).

(C)秩色)=秩廠(%,%)(D)%,%，的線性相關(guān)，%,火線性無(wú)關(guān).

(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量￡和￥的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2￥的方差是

(A)8.(B)16.(C)28.(D)44.

三、(1)計(jì)算/=_[“12+尸2)4/,其中口為平面曲線,"：22繞2軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面

QIX=。

與平面z=8所圍成的區(qū)域.

(2)計(jì)算曲線積分0(z-yA+(x-z)的+("回曲其中C是曲線['+/=1,

c[x-y+z=2

從z軸正向往z軸負(fù)向看，C的方向是順時(shí)針的.

(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為兇,在

￡=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為兩,在任意時(shí)刻Z已掌握新技術(shù)的人數(shù)為武。(將武。視為

連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)

k>0,求x(z).

四、(1)設(shè)直線[:<，+'+'二°八在平面不上，而平面不與曲面z=/+_/相切于點(diǎn)

x+ay-z-3=0

(1,-2,5),求a、&之值

d2z,d2z2*i-

(2)設(shè)函數(shù)/也)具有二階連續(xù)導(dǎo)致，而2=滿足方程hX2求

〃口)

五、設(shè)〃X)連續(xù)，0(x)=J：〃xZ)丸且1摟叢“=力(/為常數(shù)：)，求g(X)并討論而⑶

在x=0處的連續(xù)性.

六、設(shè)生=2,4+1=((11、

%H---，(v=1,2,…),證明:

\aJt)

(1)lim,存在;

(a1

(2)級(jí)數(shù)工收斂.

七、⑴設(shè)B是秩為2的5x4矩陣，％=(LL2,3)r,%=(-l,l,4,-l)r,%=(5T,—8,9)r

是齊次方程組Bx=0的解向量，求=0的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

■1]12-12-

(2)已知，=1是矩陣工=5a3的一個(gè)特征向量.

-1Jb-2

(I)試確定參數(shù)a,5及特征向量，所對(duì)應(yīng)的特征值；

QD間A能否相似于對(duì)角陣？說(shuō)明理由.

八、設(shè)總是萬(wàn)階可逆方陣，將工的第I行和第7行對(duì)換后得到的矩陣為8

(1)證明8可逆；

(2)求工歹)

九、從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)再各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是象話

2

獨(dú)立的，并且概率都是設(shè)星為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)

和數(shù)學(xué)期望.

十、設(shè)總體X的概率密度為

（6+1）/,0<x<1

〃力=

0,其他

其中8>-1是未知參數(shù)，西鵬2,…，'是來(lái)自總體X的一個(gè)容量為萬(wàn)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，分別

用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求8的估計(jì)值.

1998

一、填空題

Jl+=+Jl-x-2

(1)hm

XTO

1

⑵設(shè)z=▲」(9)+yo(x+y),」,*具有二階連續(xù)導(dǎo)致，貝iRJ=1-=

xoxqy

22

⑶設(shè)/為桶扇5+1=1,其周長(zhǎng)記為a,則42?+3/+4_/沖=.

(4)設(shè)工是"階矩陣，。0,力?為工的伴隨矩陣，￡為萬(wàn)階單位矩陣若幺有特征值凡則

(4)2+￡必有特征值_____.

(5)設(shè)平面區(qū)域刀由曲線及直線丁=0,工=次=/所圍成，二維隨機(jī)變量(X1)在

X

區(qū)域少上服從均勻分布，貝ii(x,y)關(guān)于牙的邊緣概率密度在x=2處的值為

二、

(1)設(shè)〃X)連續(xù)，則，?等于

(A)^卜2)(C)2爐(一)(D)~2xf(x2)

(2)函數(shù)〃x)=(一一x-2)卜3一x|不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.

(3)已知函數(shù)1y=1y(x)在任意點(diǎn)x處的噌壁A_y=2鳥(niǎo)+冬且當(dāng)AX70時(shí)，a是“的高

14-x

階無(wú)窮小，y(O)=開(kāi)，則y(l)等于

aa

(A)2萬(wàn).(B)7T.(C)eT.(D)短

的自q

(4)設(shè)矩陣的b25是滿秩的，則直線二衛(wèi)=5w=三論與直線

%-。2%一%

?3C3

x-ax_y-i\_z-q

與一心瓦一月c2-c3

(A)相交于一點(diǎn).(B)重合.

(C)平行但不重合.(C)異面.

⑸設(shè)4B是兩個(gè)隨機(jī)事件,且。〈尸⑷<1,尸⑶>0,尸(司上)=戶修|司,則必有

(A)P{A\B}=P{A\B^(B)尸尸(工同

(C)尸(3)=尸(⑷尸(8).(D)尸(力F(⑷尸(8).

三、求直線/：==m=弓在平面開(kāi):x-y+2z-l=0上投彩直線"的方程，并求與繞1y

軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.

四、確定常數(shù)N,使在右半平面x>0上的向量j(xj)=2?(/+_/)'i-x2(/+J)為

某二元函數(shù)u(xj)的梯度，并求“(xj).

五、從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求，需確定儀器的下沉深度1y(從海平面算

起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開(kāi)始鉛直下沉，在

下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為網(wǎng)體積為反海水比重為Q,儀器所受

的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為尢(上>0).試建立》與丫所滿足的微分方程，并求出函

數(shù)關(guān)系式1y=^(v).

六、計(jì)算JJ竺此3華土其中工為下半球面z=—值不7的上側(cè)，。為大

工(/+/+巧5

于零的常數(shù).

.開(kāi).2開(kāi)

sin一sin—?_

%visin刀"

七、求lim[+…+]

%+1%加+——

2n_

八、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛%｝單調(diào)減少，且發(fā)散，試間級(jí)數(shù)之一是否收斂？并說(shuō)

X-1114+1/

明理由.

九、設(shè)y=/(x)是區(qū)間［0,1］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).

(1)試證存在而40,1),使得再區(qū)間［0,而］上以〃/)為高的矩形面積，等于再區(qū)間瓦』

上以1y=/卜)為曲邊的梯形面積.

(2)又設(shè)〃x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且/(x)>-2△衛(wèi)，證明(D中的而試唯一的.

十、已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以經(jīng)過(guò)正交變換

丫=FT)

z\

化為橢圓柱面方程r+4F=4,求。上的值和正交矩陣P.

十一、設(shè)幺是〃階矩陣，若存在正整數(shù)匕使線性方程組H*a=0有解向量且#TawO,

證明：向量組。，工。，…是線性無(wú)關(guān)的.

十二、已知線性方程組

/丙4卜電維電I=°

,.、以2丙+以22亦2^^2,2xX2M=°

(I)<

、%1々+//2+…+43/0=0

的一個(gè)基礎(chǔ)解系為伍n也,…為敘)二闖也，…也二了，…，同也2,…,心了，試寫(xiě)出線

性方程組

41再+可方-0

r、瓦1再+%X2卜b2備/弱=。

(II)<

、4丙+B/2卜公記K~。

的通解，并說(shuō)明理由.

十三、設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量x,y相互獨(dú)立，且都服從均值為o,方差為q的正態(tài)分布，求隨機(jī)變

量區(qū)-4的方差.

十四、從正態(tài)總體從(3,4,6)中抽取容量為〃的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間

(1.4,5,4)內(nèi)的概率不小于0.95,同樣本容量〃至少應(yīng)取多大？

附表：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表

Z1.281.6451.962.33

①⑶0.9000.9500.9750.990

十五、設(shè)某次考試的學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽取36位考生地成績(jī)，算得平均成

績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分，間在顯著性水平0.05下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生得

平均成績(jī)?yōu)?0分？并給出檢嗡過(guò)程.

附表：t分布表

P(t^<tr(n)}=p

0.950.975

351.68962.0301

361.68832.0281

1999

一、填空題

(1)limf-X-------(2)――[sin(xT)%Z

\xxtanx-----小」。')

(3)y'—4j=/x的通解為.

(4)設(shè)冏階矩陣/的元素全為1,則/的冏個(gè)特征值是_____.

(5)設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件49和C滿足條件：幺SC=。,產(chǎn)(/)=尸(m)=P(C)<；,

9

且產(chǎn)(月?，則產(chǎn)(力)=

16

二、

(1)設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是其原函數(shù)，則

(A)當(dāng)/(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù).

(B)當(dāng)/(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù).

(C)當(dāng)了(X)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)*'是周期函數(shù).

(D)當(dāng)了(X)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)噌函數(shù).

1-COSXX>0

石‘大其中g(shù)(x)是有界函數(shù),則〃x)在x=0處

{x2g(x),x<0

(A)極限不存在.(B)極限存在，但不連續(xù)

(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo).

x,O<x<-

2

⑶設(shè)〃x)=<S5)=?+之名C0S?7TX,-00<X<-K?,

2-2x,—<x<1ZH-l

2

其中ax=2j^/(x)cosnTTxdx,(?=0,1,2,…)，則S]-目等于

⑹g⑸―g(C);P)~

(4)設(shè)幺是酒x%矩陣，3是XXM矩陣，則

(A)當(dāng)?《>抬時(shí)，必有行列式,8卜0(B)當(dāng)制〉閥時(shí)，必有行列式|上同=0

(O)當(dāng)萬(wàn)〉加時(shí)，必有行列式,8卜0(D)當(dāng)”加時(shí)，必有行列式|幺叫=0

(5)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和F分別服從正態(tài)分布從(0,1)和V。1)，則

(A)p(^+r<0)=1(B)P(^+K<1)=1.

(C)p(z-y<o}=1.(D)p{^-r<1}=1.

三、設(shè)y=y(x),z=z(x)是由方程2=爐(x+y)和F(x,y,z)=0所確定的函數(shù)，其中/和

產(chǎn)分別具有一階連續(xù)導(dǎo)致和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求竺.

dx

四、求2=1(dsin_y-/x+_y))dx+ecos1y-ax?,其中a,3為正常數(shù)，Z1為從點(diǎn)

幺(2a,0)沿曲線y=yjax-x2到點(diǎn)0(0,0)的弧.

五、設(shè)函數(shù)1y(耳。之0)二階可導(dǎo)且成⑶>0/(0)=1,過(guò)曲線y=_y(x)上任意一點(diǎn)

產(chǎn)(xj)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為凡,區(qū)

間［0,x］上以1y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為$2,并設(shè)2S「S2恒為1，求此曲線

1y=y(x)的方程.

六、試證：當(dāng)x>0時(shí)，-l)lnxN(x-l)2.

七、為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m抓斗

自重400N,纜繩每米重500曾，抓斗抓起的污泥重2000V,提升速度為3m/s,在提升過(guò)程中，

污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問(wèn)克服重力需作

多少焦耳的功？(說(shuō)明：①lNxb?=lJ；見(jiàn)N,s,J分別表示米，牛頓，秒，隹耳；②抓斗的

高度位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì))

八、設(shè)S為桶球面;+［+z2=l的上半部分，點(diǎn)尸(xj,z)eS,開(kāi)為S在點(diǎn)尸處的切平面，

Q(x,yz)為點(diǎn)0(0,0,0)到平面開(kāi)的距離，求fj~曹

九、設(shè)%=Jjtan，dx,

⑴求深％+%)的值；

(2)試證：對(duì)任意的常數(shù)4>0,級(jí)數(shù)與會(huì)收斂

ac

十.設(shè)矩陣力=5b3，其行列式Ml=-1,又金的伴隨矩陣4有一個(gè)特征值4,

1-c0-a

71

屬于4的一個(gè)特征向量為a=(-，求a,8,c和4的值.

十一、設(shè)工為網(wǎng)階實(shí)對(duì)稱矩陣且正定，B為wx〃實(shí)矩陣，8］為8的轉(zhuǎn)直矩陣，試證：

BTAB為正定矩陣的充分必要條件是8的秩r(B)=/

十二、設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（x,y）聯(lián)合分布律及關(guān)于星和

關(guān)于y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處.

為乃P(X=xi)=pi

1

8

今2

8

J

產(chǎn){y=x}=Pj1

~6

十三、設(shè)總體￡的概率密度為

&-x),0<x<&

0,其他

工1，星2,…，凡是取自總體星的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

（1）求6的矩估計(jì)量6

（2）求6的方差

2000

一、填空題

⑴J?2x-x2dx=——（2）曲面/+2/+3Z?=21在點(diǎn)（1,-2,2）的法線方程為

（3）微分方程到+3y=0的通解為.

1

（4）已知方程組3無(wú)解，貝ija=.

0_

設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件幺和B都不發(fā)生的概率為:，工發(fā)生6不發(fā)生的概率與6發(fā)生兌不

9

發(fā)生的概率相等，則產(chǎn)（金）=

二、

⑴設(shè)〃x）,g（x）是恒大于零得可導(dǎo)函數(shù),且/（x）g（x）-〃x）g'（x）<0,則當(dāng)以<X

時(shí)，有

(A)/(x)g(i)>/(2>)g(z)⑻/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>fg[b}(0)/(x)g(x)>/(dt)g(a)

(2)設(shè)S:f+/+22=。24之0),瓦為6在第一卦限中的部分,則有

(A)JJxdS=40xdS(B)JJydS=40xdS

6slS§

(C)[[zdS=4][MS(D)JJ*dS=4“*dS

S'S'

(3)設(shè)級(jí)數(shù)3/收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為

?^L

（A）￡（-葉"（B）

（C）Z（以-1一與J（D）Z（%+%+1）

（4）設(shè)附維列向壁組%加〈用線性無(wú)關(guān)，則M維列向壁組序…，色線性無(wú)關(guān)的充

分必要條件為

（A）向量組％…,％可由向量組力，…,凡線性表示.

（B）向量組母,…，息可由向量組％,線性表不.

（C）向量組%，…,4與向量組月，…，禽等價(jià).

（D）矩陣力=4）與矩陣8=（注…其）等價(jià).

（5）設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量q=x+y與7=星-/不相關(guān)

的充分必要條件為

(A)=￡(?).

(B)5(^a)-[￡(x)]2=￡(r2)-[￡(r)]2.

?E(X)=秋y)

但那國(guó))+回x)J=E(y2)+[￡(r)]2.

(i)

一+-2+統(tǒng)sinx

二、水hm----丁+I」.

2°」4x

1+?—II

lx/

四、設(shè)z=_/(?,三]+其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求W-

ky)\y)dxdy

五.計(jì)算曲線積分I=d嗎一號(hào)其中L是以點(diǎn)（1,0）為中心，R為半徑的圓周（木＞1）,

4x+y

取逆時(shí)針?lè)较?

六、設(shè)對(duì)于半空間x＞0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面工都有

竹爐（xyfydz-jyj（x）dzdx-/zdxdy=0,

s

其中函數(shù)/（X）在（0,+8）內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且9=1,求/（X）.

七、求察級(jí)數(shù)Z-i-7三的收斂區(qū)域，并討論該區(qū)間斷電處的收斂性.

占3*+（-2）”?

八、設(shè)有一半徑為R的球體，片是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到%

距離的平方成正比（比例常數(shù)上＞0）,求球體的重心位置.

九、設(shè)函數(shù)/（X）在［0,開(kāi)］上連續(xù)，且c」（xVxuOjj/^cosxdxM0,試證：在（0,開(kāi)）內(nèi)

至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)芻，使〃域）=」（備）=°?

十、（本朋滿分6分）

1000

01001,

設(shè)矩陣W的伴隨矩陣/0，且上胡-1=員4-1+3瓦其中5為4階單位矩陣,

101

0-308

求矩陣8

十一、某試臉性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工得人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將!熟練工支援

其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊，新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及之間實(shí)踐至年

2

終考核有不成為熟練工.設(shè)第總年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為4和片，

記為向量(;)

⑴求仆，與e］的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式：=力4+4

?+i/\y?+i/?+1)

(2)驗(yàn)證為=：),%=是工的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值;

十二、某流水生產(chǎn)線上每一個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為尸(0<p<1),各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立,

當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開(kāi)機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了產(chǎn)品的個(gè)數(shù)為X,求X

的數(shù)學(xué)期望W(X)和方差Q(X).

十三、設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為

2e-2(j),x>6

/(x,8)=<

0,x<0

其中6>0為未知參數(shù)，又設(shè)西,電,…，/是X的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)6的最大似然估計(jì)

值.

2001

一、填空題

⑴設(shè)y=e*(qsinx+c2cos力(qg為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的同

解，則該方程為.

(2)設(shè)r=^]x2+y2+z2,則div{gradr)\^分=.

(3)交換二次積分的積分次序：J：dy[~y/(x,.

(4)設(shè)矩陣幺滿足/+工一4￡=O,其中&為單位矩陣，則伊-與t=.

(5)設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有估計(jì)產(chǎn){|X-￡(X)|22)W.

二.

(1)設(shè)函數(shù)/5)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，1y=/卜)的圖形如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)1y=/(弓的圖

(2)設(shè)函數(shù)〃x,刃在點(diǎn)(0,0)附近有定義,且/式0,0)=3,/<0,0)=1,則

(A)dz\=3dx+dy.

(B)曲面z=j)在點(diǎn)(0,0J(0,0))的法向量為{3,1,1}

z=〃X'刃在點(diǎn)(0,0J(0,0))的切向量為［1,0,3}

(C)曲繚

.y=o

(D)曲線，z=/，'刃在點(diǎn)(0,0,〃0,0))的切向量為{3,0,1}

、y-

(3)設(shè)/(0)=0,則/(x)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為

(A)氏,/(l-cosh)存在.(B)氏存在.

(C)配和q-sinh)存在.(D)晚如(2h)__/⑻]存在

-1111''4000

11110000

（4）設(shè)金=,B=,則力與8

11110000

1111_0000

（A）合同且相似（B）合同但不相似

（C）不合同但相似（D）不合同且不相似

（5）將一枚硬幣重復(fù)擲若欠，以x和y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則x和y的相關(guān)

系數(shù)等于

（A）-1（B）0（C）-（D）1

2

.,,farctane",

二、求J春必

四、設(shè)函數(shù)z=〃xj）在點(diǎn)（1,1）處可微，且

〃L1）=1，乳）=2,/）=3e（x）=/（xJ（x,x））.

求力（嘰

1+K,2

—arctanx,XH0

五、設(shè)〃x）=《X，試將/（x）展開(kāi)成x的察級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的

1,x=0?-1

和.

六、計(jì)算/=’（/-22）以+（222-*2）方+（3/->2）由，其中七是平面x+y+z=2與

柱面|x|+M=l的交線，從z軸正向看去，Z為逆時(shí)針?lè)较?

七、設(shè)V=〃x）在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且/'（X）w0,試證:

⑴對(duì)于內(nèi)的任意XN0,存在唯一的0（x）€（0,1），使/（X）=〃0）+爐'網(wǎng)x）x］成

立；

（2）lim0（x）=—.

zo、'2

八、設(shè)有一高度為&⑷（Z為時(shí)間）得雪堆再融化過(guò)程中，其側(cè)面積滿足方程

2（?+/）

z=h（t}-一、/一（設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米，時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)面

咐

積成正比（比例系數(shù)0.9），間高度為130厘米）的雪堆全部融化需多少小時(shí)？

九、設(shè)%，生，…烏為線性方程組Ax=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，

自=4%+4%同=4%+與生,…，月=￡巡,+￡2%其中為實(shí)常數(shù)試間4也滿足什么

關(guān)系時(shí)，練月，…,網(wǎng)也為2x=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

十、已知3階矩陣工與三維向量x,使得向量組九出線性無(wú)關(guān)，且滿足

A3X=3AX-2A2X

（1）記尸=卜,工求2階矩陣尻使工=尸6/1;

（2）計(jì)算行列式M+囚.

十一、設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)度服從參數(shù)4（4>0）的泊松分布，每位乘客在中途下車的概

率為尸（0〈尸<1）,且途中下車與否相互獨(dú)立，以丫表示在中途下車的人數(shù)，求：

（1）在發(fā)車時(shí)有萬(wàn)個(gè)乘客的條件下，中途有冽人下車的概率；

（2）二維隨機(jī)變量（￡,￥）的概率分布.

十二、設(shè)總體乃服從證態(tài)分布以區(qū)〃/b>0）,從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

_12x?_2

出,與「，氏*522）其樣本均值為工=」-￡;冗，求統(tǒng)計(jì)量/=￡區(qū)+區(qū)3一2^）的

數(shù)學(xué)期望月（y）.

2002

一、填空題

⑴，、1產(chǎn)71c/^x7"——，

（2）已知函數(shù)？=?（x）由方程夕+6到+/-1=。確定，則？"（0）=

（3）微分方程W+/=0滿足初始條件兒_。=1,1yL=1的特解是.

（4）已知實(shí)二次型_/（亞,々,馬）=a（x/+電2+芯3?）+4尤1々+4X1*3+4X/3經(jīng)正文變換

x=Py,可化標(biāo)準(zhǔn)形了=6y：,則《=.

（5）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"（區(qū)"）（b>0）；且二次方程/+4y+X=0無(wú)實(shí)根的

概率為（，則〃=.

二、

（1）考慮二元函數(shù)_/（xj）的下面4條性質(zhì)：

①/（x,y）在點(diǎn)（瓦J。）處連續(xù)；③f（XJ）在點(diǎn)（X。,y0）處可微；

②〃xj）在點(diǎn)（加沖）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)；④〃xj）在點(diǎn)（曲,必）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.

若用“尸=>Q”表示可由性質(zhì)尸推出Q,則有

(A)②=③n①(B)③0②二①

(O③n④n①(D)③二①二④

戶0(〃=123,…)且黝￡=1,則級(jí)唁(-1廣g11

（2）設(shè)以一+

發(fā)散.

（A）發(fā)散（B）絕對(duì)收斂

（C）條件收斂（D）收斂性根據(jù)所給條件不能判定.

（3）設(shè)函數(shù)y=_/（x）在（0,48）內(nèi)有界且可導(dǎo)，則

（A）當(dāng)lim〃x）=0時(shí)，必有Hm/（x）=O

JT->-kOXT4D0

（B）lim/（x）存在時(shí)，必有l(wèi)im/（x）=0

XT+coX）Ico

（C）當(dāng)h*/（x）=O時(shí)，必有1號(hào)+/（x）=0

（D）h*〃x）=O存在時(shí)，必有l(wèi)i*/（x）=0

（4）設(shè)有三張不同平面的方程4]X+%++%3Z=4，i=1,2,3,它們所組成的線性方程組的系

數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為

(A)(B)(C)(D)

（5）設(shè)笈和耳是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為工（力和

力（x）,分布函數(shù)分別為我/x）和瑪（X），則

（A）工（x）+《（x）必為某一隨機(jī)變壁的概率密度.

（B）[（x）右⑺必為某一隨機(jī)變量的概率密度.

（C）片（x）+瑪（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)

（D）耳（x）瑪（x）必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).

三、設(shè)函數(shù)〃x）在x=0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)致，且〃O）HOJ'（O"。，若

af㈤+”（23-/⑼在/70時(shí)是比h高階的無(wú)窮小，試確定以出的值.

四、已知兩曲線J=F（X）,J=JO在點(diǎn)（0,0）處的切線相同，寫(xiě)出此切線方程，并求

極限lim*'-

…