理學(xué)恒定電流的磁場

電流強(qiáng)度大小：單位時(shí)間通過導(dǎo)體某一橫截面的電量。方向：正電荷運(yùn)動(dòng)的方向有方向的標(biāo)量。單位：安培（A）。dS電流密度矢量j:

空間任一點(diǎn)j的方向是該點(diǎn)上電流的方向，其大小等于在該點(diǎn)與j垂直的單位面積上的電流，即通過任意曲面S的電流：電流連續(xù)性方程S

考慮任意閉合曲面S，由于電荷守恒，單位時(shí)間內(nèi)從S內(nèi)流出的電荷量(i.e.流過S的電流)應(yīng)該等于閉曲面S所包圍的體積V內(nèi)的電荷減少量，即

q--電流連續(xù)性方程恒定電流：j不隨時(shí)間變，dq/dt=0表明，恒定電流場中通過任意閉曲面的電流為0.ISNSNSN

磁鐵同極相斥異極相吸天然磁石奧斯特（HansChristanOersted，1777-1851）丹麥物理學(xué)家，1820年發(fā)現(xiàn)了電流對(duì)磁針的作用§6.2磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度一、基本磁現(xiàn)象載流導(dǎo)線之間的磁相互作用IFF運(yùn)動(dòng)電荷受到的磁力作用電子束NS+安培(Ampére)分子環(huán)流假說天然磁性的產(chǎn)生是由于磁體內(nèi)部有電流流動(dòng)。分子電流等效環(huán)形電流說明：現(xiàn)代物理已經(jīng)證實(shí)，原子核外的電子繞核高速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)電子還有自旋運(yùn)動(dòng)。核外電子的這些運(yùn)動(dòng)在宏觀上的表現(xiàn)很象(等效于)分子環(huán)流，這是物質(zhì)磁性的真正起源。（宏觀物質(zhì)的磁性，來源于電子的自旋及運(yùn)動(dòng)的電荷）。產(chǎn)生產(chǎn)生作用作用運(yùn)動(dòng)電荷運(yùn)動(dòng)電荷磁場磁場二、運(yùn)動(dòng)電荷通過磁場而相互作用三、磁感應(yīng)強(qiáng)度

引入描述磁場的基本物理量—磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B。類似于電場強(qiáng)度的定義，磁場當(dāng)中任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B可用一個(gè)運(yùn)動(dòng)電荷q在該點(diǎn)所受磁場力來定義：(1)帶電粒子在磁場中沿某方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，若受力為0，則其運(yùn)動(dòng)方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向；(2)帶電粒子沿任意方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力與qvsin

成正比，兩者的比值定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。悍Q為洛倫茨力公式。運(yùn)動(dòng)電荷所受磁場力的大小F=qvBsin

。寫成矢量形式其中，為帶電粒子運(yùn)動(dòng)速度和B之間的夾角?！?.3畢奧-莎伐爾定理

載流導(dǎo)線中的電流為I，在線電流上取長為dl的定向線元，規(guī)定的方向與電流的方向相同，為電流元?？紤]恒定電流的磁場。

電流元在給定點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與Idl成正比，與到電流元的距離平方成反比，與電流元和矢徑夾角的正弦成正比。磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量式：Biot-Savart定律的微分形式Biot-Savart定律的積分形式其中

0=410-7N?A-2，稱為真空中的磁導(dǎo)率。畢奧-莎伐爾定理的應(yīng)用應(yīng)用畢-莎求解恒定電流磁場的解題步驟：1.將載流導(dǎo)線劃分為一段段的電流元，任選一段電流元Idl，標(biāo)出Idl到場點(diǎn)P的位矢r，確定兩者的夾角

；2.應(yīng)用畢-莎定理求出電流元Idl在P點(diǎn)的磁場dB的大小，并根據(jù)右手定則確定dB的方向；3.利用磁場的疊加原理計(jì)算總電流的磁場B；

電流元Idx在P點(diǎn)所產(chǎn)生的磁場為例題1

求直線電流的磁場。

解選坐標(biāo)如圖,

方向：垂直紙面向里(且所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同);所以直線電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為Pd.Ix

Idxrox

由圖可以看出:

x=dtg(-90)=-dctg

完成積分得

1

2P點(diǎn)磁場方向:垂直紙面向里。BIPd

.Ix

Idxrox注意：

1.上式中的d是直電流外一點(diǎn)P到直電流的垂直距離。

2.

1和

2是直電流與(直電流端點(diǎn)與場點(diǎn)P的)連線的夾角。

應(yīng)取同一方位的角。

2PI

1a

討論:(1)對(duì)無限長直導(dǎo)線,

IB

1=0,

2=

,則有

2PI

1d

(2)如果P點(diǎn)位于直導(dǎo)線上或其延長線上,

證：若P點(diǎn)位于直導(dǎo)線上或其延長線上，則

=0或

=

，于是

則P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度必然為零。Pd.Ix

Idxrox求均勻載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。解：例題2：建立坐標(biāo)系ox大小分析對(duì)稱性、坐標(biāo)軸向投影方向由決定（如圖）任取電流元P點(diǎn)的元磁場①載流圓環(huán)環(huán)心的磁場：(因?yàn)?討論②閉合回路電流的磁偶極矩：§6.4磁場的高斯定理一、磁感應(yīng)線1．磁感應(yīng)線：用來描述磁場分布的曲線。磁感應(yīng)線上任一點(diǎn)切線的方向——B的方向。B的大小可用磁感應(yīng)線的疏密程度表示。磁感應(yīng)線密度：在與磁感應(yīng)線垂直的單位面積上的穿過的磁感應(yīng)線的數(shù)目（即B的大?。?。2、幾種典型的磁感應(yīng)線載流長直導(dǎo)線圓電流

載流長螺線管3、磁感應(yīng)線特性[根據(jù)實(shí)驗(yàn)]磁感應(yīng)線總是形成閉合曲線(或起/止于無窮遠(yuǎn))；磁感應(yīng)線不會(huì)相交；磁感應(yīng)線與電流之間互相套連，服從右手螺旋定則。IIBI↑載流螺線管的磁感應(yīng)線←載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)線2、磁通量定義：3、磁通量的計(jì)算:(示例)二、磁通量

(MagneticFlux)1、定性表述：通過磁場中某曲面的磁感應(yīng)線的數(shù)目稱為該曲面的磁通量

m1、內(nèi)容：

通過任意閉合曲面的磁通量總為零。2、解釋：磁感應(yīng)線總是閉合的，因此有多少條磁感應(yīng)線進(jìn)入閉合曲面，就一定有多少條磁感應(yīng)線穿出該曲面。

［磁極成對(duì)出現(xiàn)，磁單極不存在］S三、磁場的高斯定理

1.

Ii—是閉合路徑L所包圍的電流的代數(shù)和。B的環(huán)流完全由閉合路徑L所包圍的電流確定，而與未包圍的電流無關(guān)。包圍

—以閉合路徑L為邊界的任一曲面上流過的電流。

電流的正負(fù)規(guī)律是:當(dāng)閉合路徑L的方向與電流方向呈右手螺旋關(guān)系時(shí)，電流I就取正號(hào);反之,取負(fù)號(hào)。

真空中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任何閉合路徑l的線積分(亦稱B的環(huán)流)等于該閉合路徑l所包圍的電流強(qiáng)度的代數(shù)和的

o倍，其數(shù)學(xué)形式§6.5安培環(huán)路定理

即：右手拇指伸直,彎曲四指與閉合路徑l的方向一致時(shí),拇指的指向即為電流的正方向。lI1I2I3lII3.適用條件：穩(wěn)恒電流(閉合電路)。

2.應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出,安培環(huán)路定理表達(dá)式中右端的

Ii雖然只包括閉合路徑L所包圍的電流的代數(shù)和,但在式左端的B卻是空間所有電流(閉合路徑L內(nèi)外的電流)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和。4.安培環(huán)路定理反映磁場的性質(zhì)——

磁場是非保守場，是渦旋場。選取安培環(huán)路的原則：目的是將:或(1)環(huán)路要經(jīng)過所研究的場點(diǎn)。

利用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)鍵：根據(jù)磁場分布的對(duì)稱性，選取合適的閉合環(huán)路。

安培環(huán)路定理為我們提供了求磁感應(yīng)強(qiáng)度的另一種方法。但利用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強(qiáng)度要求磁場具有一定的特點(diǎn)（高度的對(duì)稱性）。(2)環(huán)路的長度便于計(jì)算；(3)要求環(huán)路上各點(diǎn)

大小相等，

的方向與環(huán)路方向一致，的方向在環(huán)路上某些部位與環(huán)路方向垂直，寫成安培環(huán)路定理的應(yīng)用舉例

例題3長直密繞螺線管，單位長度上電流匝數(shù)為n

，求螺線管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布。

解：1)對(duì)稱性分析：螺線管內(nèi)磁感線平行于軸線，且在同一條磁感線上各點(diǎn)的大小相等，外部磁感強(qiáng)度趨于零，即。

選擇安培環(huán)路如圖：沿閉合回路的環(huán)流為：得：長直載流螺線管內(nèi)的磁場：

無限長載流螺線管內(nèi)部磁場處處相等,外部磁場為零。例題4.

已知：I、R，電流沿軸向在截面上均勻分布，求“無限長”載流圓柱導(dǎo)體內(nèi)外磁場的分布。解：IR首先分析對(duì)稱性電流分布——軸對(duì)稱磁場分布——軸對(duì)稱電流及其產(chǎn)生的磁場具有軸對(duì)稱分布.方向?作積分回路如圖，根據(jù)安培環(huán)路定理：得：則沿該閉合回路的環(huán)流為：IRr>R時(shí)如圖示，對(duì)處作積分回路如圖，根據(jù)安培環(huán)路定理：得：則沿該閉合回路的環(huán)流為：IR§6.6磁場對(duì)載流導(dǎo)線的作用

磁場對(duì)電荷的作用——洛侖茲力磁場對(duì)載流導(dǎo)線的作用——安培力安培力的本質(zhì)源于洛侖茲力

它是關(guān)于電流元在磁場中受力的基本規(guī)律，是從實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來的。

安培定律：一個(gè)電流元在磁場中所受磁場力為電流元與磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量積，即：一、安培定律大?。悍较颍簭挠倚?/p>

，大拇指的指向。

垂直由和構(gòu)成的平面。

計(jì)算一段有限長載流導(dǎo)線在磁場中受到的安培力時(shí)，應(yīng)先將其分割成無限多電流元，將所有電流元受到的安培力矢量求和—矢量積分。二、有限長載流導(dǎo)線在磁場中受力L例題5：均勻磁場中載流直導(dǎo)線所受安培力。解：

受力大?。菏芰Ψ较蚍e分，得任取電流元作圖分析討論解：例題6：

求：均勻磁場中半圓形載流導(dǎo)線所受的作用力（已知：I、

、R）?！痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢两⒆鴺?biāo)系任取電流元電流元受力大小方向如圖所示由對(duì)稱性投影方向:沿y

軸正向×××××××××××××××××××××

一N匝的剛性矩形平面載流線圈處于勻強(qiáng)磁場中，如圖所示，求它受的力和力矩。f1f2f2′由F=IlBsin

，

可知：ab:f1=bc：f2=NIl2B,方向垂直紙面向外;da：f2′=NIl2B,方向垂直紙面向內(nèi)。

可見，ab和cd邊受的力大小相等而方向相反,所以合力為零,也不產(chǎn)生力矩。cd：f1′=NIl1Bsin

,方向向下。

顯然，bc和da邊受的合力也為零。但這對(duì)力偶對(duì)中心軸要產(chǎn)生力矩。f1′Il1Bsin

,方向向上；NabcdIl1l2B

三、磁場對(duì)平面載流線圈的作用M=f22.

但m=NIl1l2，所以磁場對(duì)線圈力矩的大小可表示為M=mBsin

用矢量式來表達(dá)，就是M=m×B力矩M的方向：沿中心軸線向上。

上式對(duì)任意形狀的平面線圈也都適用。Mf2f2′abcdIl1l2B

l1

Ba(d)b(c)f2f2

一個(gè)電荷q在磁場B中以速度

運(yùn)動(dòng)時(shí)，該電荷所受的磁場力(也稱為洛侖茲力)為§6.7帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)

洛侖茲力的大小

f=q

Bsin

式中:

為電荷的運(yùn)動(dòng)方向與所在點(diǎn)磁場B的方向之間的夾角。

洛侖茲力f的方向垂直于

和B

組成的平面。

若q>0,則f的方向與

B的方向相同;

若q<0,則f的方向與

B

的方向相反。+q

fB

1.由于洛侖茲力的方向總是與電荷的運(yùn)動(dòng)方向垂直,所以洛侖茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不作功。2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)

因?yàn)槁鍋銎澚=q

Bsin

=0，所以帶電粒子在磁場中作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

帶電粒子作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期分別為

BB

^

與B有一夾角

此