2025高考備考數(shù)學知識點突破　三角函數(shù)中有關ω問題的求解

突破三角函數(shù)中有關ω問題的求解學生用書P088命題點1利用三角函數(shù)對稱性求ω例1將函數(shù)y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的圖象分別向左、向右平移π6個單位長度后，所得的兩個圖象的對稱軸重合，則ω的最小值為（AA.3 B.2 C.4 D.6解析將函數(shù)y＝4sin（ωx＋π2）（ω＞0）的圖象分別向左、向右平移π6個單位長度后，得到y(tǒng)1＝4sin[ω（x＋π6）＋π2]，y2＝4sin[ω（x－π6）[ω（x＋π6）＋π2]－[ω（x－π6）＋π2]＝ω3π＝kπ（k∈Z），所以ω＝3k（k∈Z）.又ω＞方法技巧已知三角函數(shù)的對稱性求ω的思路：根據(jù)三角函數(shù)的對稱性與周期的關系，對稱軸與最值的關系，對稱中心與零點的關系求ω.訓練1[2023四川省名校聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0），若?x0∈[－π4，π3]，使得f（x）的圖象在點（x0，f（x0））處的切線與x軸平行，則ω的最小值是（AA.34 B.1 C.32 解析f（x）＝2sin（ωx＋π4）.f（x）的圖象在[－π4，π3f（x）的圖象在[－π4，π3]上存在對稱軸，所以－π4ω＋π4≤－π2或π3ω＋π4≥π2，解得所以ω的最小值為34，故選命題點2利用三角函數(shù)單調性求ω例2[全國卷Ⅰ]已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜≤π2），x＝－π4為f（x）的零點，x＝π4為y＝f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（π18，5π36）上單調，則A.11 B.9 C.7 D.5解析依題意，有ω·（－π4）＋φ＝mπ，ω解得ω=2（n－m）+1，φ＝2（m＋n）+14π.又｜φ｜由f（x）在（π18，5π36）上單調，得πω≥5π36－π當m＋n＝0時，ω＝4n＋1，φ＝π4取n＝2，得ω＝9，f（x）＝sin（9x＋π4），此時，當x∈（π18，5π36）時，9x＋π4∈（3π4，當m＋n＝－1時，φ＝－π4，ω＝4n＋3取n＝2，得ω＝11，f（x）＝sin（11x－π4），此時，當x∈（π18，5π36）時，11x－π4∈（13π36，23π18），方法技巧已知函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在[x1，x2]上單調遞增（或遞減），求ω的取值范圍的步驟：（1）根據(jù)題意可知區(qū)間[x1，x2]的長度不大于該函數(shù)最小正周期T的一半，即x2－x1≤12T＝πω，求得0＜ω≤（2）以單調遞增為例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]?[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z，解得（3）結合（1）中求出的ω的范圍對k進行賦值，從而求出ω的取值范圍.訓練2（1）[2023貴州省適應性測試]將函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0）的圖象向左平移π2個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象.若g（x）的圖象關于點（π4，0）對稱，且g（x）在[π3，5π6]上單調遞減，則ωA.13 B.23 C.1 解析由題意可得g（x）＝cos（ωx＋π2ω），因為g（x）的圖象關于點（π4，0）對稱，所以3πω4＝π2＋kπ，k∈Z，即ω＝23＋43k，k∈Z.令2k1π≤ωx＋π2ω≤π＋2k1π，k1∈Z，得g（x）的單調遞減區(qū)間為[2k1πω－π2，π+2k1πω－π2]，k1∈Z，因為g（x）在[π3，5π6]上單調遞減，所以π3≥2k1πω－π2，5π6≤π+2k1πω－π2，5π6－π3≤12·2πω（2）[2023四川省遂寧市三診]已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx（ω＞0），f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－x2｜的最小值為π，則ω的最小值為12解析f（x）＝sin（ωx＋π6）＋cosωx＝32sinωx＋12cosωx＋cosωx＝32sinωx＋32cosωx＝3sin（ωx＋π3），因為f（x1）＝0，f（x2）＝3，且｜x1－f（x）的最小正周期T的最大值為4π，ω的最小值為12命題點3利用三角函數(shù)最值求ω例3將函數(shù)f（x）＝sin（2ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)g（x）的部分圖象如圖所示，且g（x）在[0，2π]上恰有一個最大值和一個最小值（其中最大值為1，最小值為－1），則ω的取值范圍是（C）A.（712，1312] B.[712，1312） C.[1112，1712） 解析由已知得函數(shù)g（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜2π），由g（x）的圖象經(jīng)過點（0，32）以及點在圖象上的位置，得sinφ＝32，φ＝2π3，∵0≤x≤2π，∴2π3≤ωx＋2π3≤2πω＋2π3，由g（x）在[0，2π]上恰有一個最大值和一個最小值，∴5π2≤2πω方法技巧若已知三角函數(shù)的最值，則利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關系，列出關于ω的不等式（組），進而求出ω的取值范圍.訓練3[2023烏魯木齊市質監(jiān)]已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的圖象過點（0，1），且在區(qū)間（π，2π）內不存在最值，則ω的取值范圍是（DA.（0，16] B.[14，C.（0，16]∪[14，712] D.（0，16]∪[解析因為f（x）＝2sin（ωx＋φ）的圖象過點（0，1），所以f（0）＝2sinφ＝1，即sinφ＝12又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，于是f（x）＝2sin（ωx＋π因為f（x）在區(qū)間（π，2π）內不存在最值，所以π≤T2＝πω（T為f（x）的最小正周期），得ω當x∈（π，2π）時，ωx＋π6∈（πω＋π6，2πω＋π6），其中π6＜πω＋所以有兩種情況：①π6＜πω＋π6②π2≤πω＋π6≤7命題點4利用三角函數(shù)零點、極值點求ω例4[2023新高考卷Ⅰ]已知函數(shù)f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是[2，3）.解析函數(shù)f（x）＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，因為ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，則由余弦函數(shù)的圖象可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范圍是[2，3）.方法技巧三角函數(shù)圖象上兩個相鄰零點間和兩個相鄰極值點間的距離均為T2（T為最小正周期），根據(jù)三角函數(shù)的零點個數(shù)或極值點個數(shù)，可確定區(qū)間長度范圍，進而研究ω的取值訓練4（1）[2022全國卷甲]設函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋π3）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是（CA.[53，136） B.[53，196） C.（136，83] 解析結合4個選項可設ω＞0.由x∈（0，π），得ωx＋π3∈（π3，πω＋π3f（x）在區(qū)間（0，π）恰有三個極值點和兩個零點，知5π2＜πω＋π3≤3π，得136＜ω≤83，即ω的取值范圍為13（2）[2022全國卷乙]記函數(shù)f（x）＝cos（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T.若f（T）＝32，x＝π9為f（x）的零點，則ω的最小值為3解析因為T＝2πω，f（2πω）＝32，所以cos（2π＋φ）＝32，即cosφ＝32.又0＜φ＜π，所以φ＝π6.因為x＝π9為f（x）的零點，所以π9ω＋π6＝π2＋kπ（k∈Z），解得ω＝9k＋3（k∈Z）.1.[命題點2/2023綿陽市一診]若存在實數(shù)φ∈（－π2，0），使得函數(shù)y＝sin（ωx＋π6）（ω＞0）的圖象的一個對稱中心為（φ，0），則ω的取值范圍為（CA.[13，＋∞） B.（13，C.（13，＋∞） D.[1，4解析由題意可知，y＝sin（ωx＋π6）的圖象在（－π2，0）內有一個零點.由y＝sin（ωx＋π6）＝sin[ω（x＋π6ω）]，得y＝sin（ωx＋π6）的圖象是由y象向左平移π6ω個單位長度得到的，所以π6ω＜π2，所以ω＞13，即ω∈（12.[命題點4/2023廣西南寧高三摸底]已知函數(shù)f（x）＝cosωx－3sinωx（ω＞0），若f（x）在區(qū)間[0，2π）上有且僅有4個零點和1個極大值點，則ω的取值范圍是（D）A.[53，2312] B.[1912，136） C.[53，136） 解析f（x）＝cosωx－3sinωx＝2cos（ωx＋π3當x∈[0，2π）時，因為ω＞0，所以ωx＋π3∈[π3，2πω＋π因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2π）上有且僅有4個零點和1個極大值點，所以7π2≤2πω＋π3≤4π，解得ω∈[19123.[多選/2023湖南長沙模擬]已知函數(shù)f（x）＝cosωπx（ω＞0），將f（x）的圖象向右平移13ω個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象，點A，B，C是f（x）與g（x）圖象的連續(xù)的三個交點，若△ABC是銳角三角形，則ω的值可能為（ADA.23 B.14 C.33 解析f（x）＝cosωπx（ω＞0）的圖象向右平移13ω個單位長度后得到函數(shù)g（x）＝cos[ωπ（x－13ω）]＝cos（ωπx－π3設f（x）的最小正周期為T，如圖所示，AC＝T＝2πωπ＝2ω，令cosωπx＝cos（ωπx－π3）＝12cosωπx＋32sinωπx，得cosωπx＝3sinωπx，則所以yA＝y(tǒng)C＝32，yB＝－32，取AC的中點D，連接BD，則BD＝2｜yB｜＝3，因為△ABC是銳角三角形，所以∠ABC＜90°，即∠DBC＜45°，∠DCB＞所以tan∠DCB＝BDDC＝3ω1＞1，則ω＞學生用書·練習幫P3001.函數(shù)f（x）＝2cos2ωx－sin2ωx＋2（ω＞0）的最小正周期為π，則ω＝（C）A.32 B.2 C.1 D.解析∵f（x）＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝32cos2ωx＋52（ω＞0），∴f（x）的最小正周期T＝2π2ω＝π，2.[2024福州市一檢]若定義在R上的函數(shù)f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）的圖象在區(qū)間[0，π]上恰有5條對稱軸，則ω的取值范圍為（A）A.[174，214） B.（174C.[174，254） D.[334解析由已知得，f（x）＝2sin（ωx＋π4），令ωx＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝（4k+1）π4ω，k∈Z，依題意知，滿足0≤（4k+1）π4ω≤π，即0≤4k＋1≤4ω的整數(shù)k有5個，所以k＝0，1，2，3，4，則4×4＋1≤4ω＜4×5＋3.[2024山東菏澤一中模擬]已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0）的周期為T，且滿足T＞2π，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（π6，π4）不單調，則ω的取值范圍是（A.（34，1） B.（12，C.（23，1） D.（45，解析已知f（x）＝sin（ωx＋π3）（ω＞0），令ωx＋π3＝kπ＋π2（k∈Z），解得x＝kπ＋π6ω（k∈Z），則函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程為x＝kπ＋π6ω（π6，π4）不單調，∴令π6＜kπ＋π6ω＜π4（k∈Z），解得4k＋23＜ω＜6k＋1，k∈Z，又由T＞2π，且ω＞0，得0＜ω＜1，故僅當k＝0時，4.[2024安徽合肥一中模擬]已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx－φ）的圖象關于原點對稱，其中ω＞0，φ∈（－π，0），而且在區(qū)間[－π4，π3]上有且只有一個最大值和一個最小值，則ω的取值范圍是（BA.32≤ω＜92 B.2≤ωC.32≤ω≤92 D.2≤ω解析因為函數(shù)f（x）＝cos（ωx－φ）的圖象關于原點對稱，且x∈R，φ∈（－π，0），所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）＝0?cos（－φ）＝0?φ＝－π2，故f（x）cos（ωx＋π2）＝－sinωx，當x∈[－π4，π3]時，ωx∈[－π4ω，π3ω]，此時f（x）有且只有一個最大值和一個最小值，由正弦函數(shù)的圖象與性質可得－3π2＜－π5.[2024廣東珠海第二中學模擬]已知函數(shù)f（x）＝3cos（ωx＋φ）（ω＞0），若f（－π4）＝3，f（π2）＝0，在區(qū)間（－π3，－π6）上沒有零點，則ω的取值共有（A.4個 B.5個 C.6個 D.7個解析由題知f（x）＝3cos（ωx＋φ）（ω＞0），f（－π4）＝3，f（π2）＝所以3cos（－所以－π4ω＋φ=2k1π，兩式相減得3π4ω＝（k2－2k1）π＋π2，所以ω＝43（k2－2k1）＋23，即ω＝4n3＋因為x∈（－π3，－π6），ω＞0，所以ωx＋φ∈（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ），令ωx＋φ＝t，t∈（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ），由題意知y＝3cost在（－π3ω＋φ故（－π3ω＋φ，－π6ω＋φ）?（－π2＋kπ，π2＋kπ），所以－π3兩式相加得－π6ω≥－π，所以0＜ω≤6，又ω＝4n3＋23，所以，當n＝0時，ω＝23；當n＝1時，ω＝2；當n＝2時，ω＝103；當n＝3時，ω＝143；當n＝4時，ω＝6.所以ω6.[2023河南部分重點中學聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋π6）＋3sin（ωx－π3）（ω＞0）在區(qū)間[π6，π3]上單調，且當x1－x2＝π2時，｜f（x1）－f（x2）｜≥4，則ωA.2 B.4 C.6 D.8解析f（x）＝sin（ωx＋π6）＋3sin（ωx－π3）＝sin（ωx＋π6）－3cos（ωx＋2sin（ωx＋π6－π3）＝2sin（ωx－π6），所以f（x）max＝2，f（x）min＝－2，所以｜f（xf（x2）｜≤4.記f（x）的最小正周期為T，因為｜f（x1）－f（x2）｜≥4，所以｜f（x1）－f（x2）｜＝4，x1－x2＝12T＋kT＝π2（k∈Z），則T＝π2k+1（k∈Z），則ω＝4k＋2（k∈Z）.當x∈[π6，π3]時，ωx－π6∈[ωπ6－π6，ωπ3－π6]，因為f（x）在[π6，π3]上單調，所以ωπ6－π6≥k1π－π2，ωπ3－π6≤k1π＋π2，k1∈Z，解得6k1－2≤ω≤3k1＋2（k1∈Z），則6k1－2≤3k1+2，3k1+2>0，k1∈Z，得－7.[2023綿陽南山中學模擬]設函數(shù)f（x）＝sinωx＋sin（ωx＋π3）（ω＞0），已知f（x）在[0，π]上有且僅有2023個極值點，則ω的取值范圍是[60673解析f（x）＝sinωx＋sin（ωx＋π3）＝32sinωx＋32cosωx＝3（32sinωx＋12cosωx）＝3sin（ωx＋π6），當x∈[0，π]時，ωx＋π6∈[π6，ωπ＋π6]，因為函數(shù)f（x）在[0，π]上有且僅有2023個極值點，所以2022π＋π2≤ωπ＋π68.[2024浙江麗水統(tǒng)考]已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），f（x）滿足f（x＋π3）＝f（π3－x），f（－π3）＝0，且在區(qū)間（π18，π6）上有且僅有一個x0使f（x0）＝1，則ω解析因為f（x）滿足f（x＋π3）＝f（π3－x），f（－π3）＝0，所以x＝π3為f（x）圖象的一條對稱軸，－π3ω＋φ＝k1π，且π3ω＋φ＝k2π＋π2，k1，k2∈Z，則ω＝3（2k+1）4，φ＝k'π2＋π4，其中k＝k2－k1，k'＝k2＋k1＝k＋2k1，且k，k'同為奇數(shù)或偶數(shù).又f（x）在區(qū)間（π18，