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2024年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.根據(jù)有理數(shù)加法法則,計(jì)算過程正確的是()A. B. C. D.2.南湖公園是長春市著名旅游景點(diǎn)之一,圖①是公園中“四角亭”景觀的照片,圖②是其航拍照片,則圖③是“四角亭”景觀的().A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖3.在剪紙活動(dòng)中,小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形,其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合,如圖所示,則的大小為()A. B. C. D.4.下列運(yùn)算一定正確的是()A. B. C. D.5.不等關(guān)系在生活中廣泛存在.如圖,,分別表示兩位同學(xué)的身高,表示臺(tái)階的高度.圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是()A.若,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則6.2024年5月29日16時(shí)12分,“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射.當(dāng)火箭上升到點(diǎn)時(shí),位于海平面處的雷達(dá)測得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為千米,仰角為,則此時(shí)火箭距海平面的高度為()A.千米 B.千米 C.千米 D.千米7.如圖,在中,是邊的中點(diǎn).按下列要求作圖:①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧,交線段于點(diǎn),交于點(diǎn);②以點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧,交線段于點(diǎn);③以點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧,交前一條弧于點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè);④作直線,交于點(diǎn).下列結(jié)論不一定成立的是()A. B.C. D.8.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.將直線沿軸向上平移,平移后的直線與軸交于點(diǎn),與函數(shù)的圖象交于點(diǎn).若,則點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共6小題,每小題3分,共18分.9.單項(xiàng)式的次數(shù)是_____.10.計(jì)算:____.11.若拋物線(是常數(shù))與軸沒有交點(diǎn),則的取值范圍是________.12.已知直線(,是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn),且隨的增大而減小,則的值可以是________.(寫出一個(gè)即可)13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放,邊與直線重合,.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上,則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為________.(結(jié)果保留)14.如圖,是半圓的直徑,是一條弦,是的中點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),交于點(diǎn),連結(jié).給出下面四個(gè)結(jié)論:①;②;③當(dāng),時(shí),;④當(dāng),時(shí),的面積是.上述結(jié)論中,正確結(jié)論的序號有________.三、解答題:本題共10小題,共78分.15.先化簡,再求值:,其中.16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式,此模式有若干種學(xué)科組合,每位高中生可根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一種.一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合,該校要將所有選報(bào)這種組合的學(xué)生分成,,三個(gè)班,其中每位學(xué)生被分到這三個(gè)班的機(jī)會(huì)均等.用畫樹狀圖(或列表)的方法,求這對雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率.17.《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”.下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個(gè)問題:今有共買金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.問人數(shù)、金價(jià)各幾何?這段話的意思是:今有人合伙買金,每人出400錢,會(huì)剩余3400錢;每人出300錢,會(huì)剩余100錢.合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少?請解決上述問題.18.如圖,在四邊形中,,是邊的中點(diǎn),.求證:四邊形是矩形.19.某校為調(diào)研學(xué)生對本校食堂的滿意度,從初中部和高中部各隨機(jī)抽取名學(xué)生對食堂進(jìn)行滿意度評分(滿分分),將收集到的評分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息:a.高中部名學(xué)生所評分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖:(數(shù)據(jù)分成4組:,,,)b.高中部名學(xué)生所評分?jǐn)?shù)在這一組的是:c.初中部、高中部各名學(xué)生所評分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:平均數(shù)中位數(shù)初中部高中部根據(jù)以上信息,回答下列問題:(1)表中的值為________;(2)根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級劃分標(biāo)準(zhǔn),評分不低于分為“非常滿意”.①在被調(diào)查的學(xué)生中,設(shè)初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為,,則________;(填“>”“<”或“=”)②高中部共有名學(xué)生在食堂就餐,估計(jì)其中對食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù).
20.圖①,圖②,圖③均是的正方形網(wǎng)格,每個(gè)小正方形的邊長均為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)A,均在格點(diǎn)上,只用無刻度的直尺,分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形,使其是軸對稱圖形且點(diǎn),均在格點(diǎn)上.(1)在圖①中,四邊形面積為2;(2)在圖②中,四邊形面積為3;(3)在圖③中,四邊形面積為4.21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn),根據(jù)車輛通過兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度.小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛,其間經(jīng)過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段,從該路段起點(diǎn)開始,他先勻速行駛小時(shí),再立即減速以另一速度勻速行駛(減速時(shí)間忽略不計(jì)),當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí),測速裝置測得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí).汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程(千米)與在此路段行駛的時(shí)間(時(shí))之間的函數(shù)圖象如圖所示.(1)的值為________;(2)當(dāng)時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)通過計(jì)算說明在此區(qū)間測速路段內(nèi),該輛汽車減速前是否超速.(此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時(shí))
22.【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問題:如圖①,在等邊中,,點(diǎn),分別在邊,上,且,試探究線段長度的最小值.【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形,將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題,再通過定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑,進(jìn)而解決上述幾何問題.【問題解決】如圖②,過點(diǎn),分別作,的平行線,并交于點(diǎn),作射線.在【問題呈現(xiàn)】的條件下,完成下列問題:(1)證明:;(2)的大小為________度,線段長度的最小值為________.【方法應(yīng)用】某種簡易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理,如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù),并畫出了示意圖,如圖④,是等腰三角形,四邊形是矩形,米,.是一條兩端點(diǎn)位置和長度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上.在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí),其長度也隨之改變,但需始終保持.鋼絲繩長度的最小值為多少米.
23.如圖,在中,,.點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn),重合),作射線,在射線上取點(diǎn),使,以為邊作正方形,使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè).(1)當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí),求的長;(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)到直線的距離為________;(3)連結(jié),當(dāng)時(shí),求正方形的邊長;(4)若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍,則的長為________.(寫出一個(gè)即可)
24.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線(是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn).點(diǎn),是該拋物線上不重合的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)分別為,,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,連結(jié),.(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)求證:當(dāng)取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí),的值始終為2;(3)作的垂直平分線交直線于點(diǎn),以為邊,為對角線作菱形,連結(jié).①當(dāng)與此拋物線的對稱軸重合時(shí),求菱形的面積;②當(dāng)此拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時(shí),直接寫出的取值范圍.
2024年吉林省長春市中考數(shù)學(xué)真題試卷一、選擇題.1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】B【解析】解:如圖,過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)D,則軸∵∴,∴.∵在反比例函數(shù)的圖象上∴.∴將直線向上平移若干個(gè)單位長度后得到直線∴∴∵軸∴∴∴∴,解得:,即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2將代入,得∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為∴,∴∴∴故選:B.二、填空題.9.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】2(答案不唯一)13.【答案】14.【答案】①②③【解析】解:如圖:連接∵是的中點(diǎn)∴∴,即①正確;∵是直徑∴∴∵∴∵∴∴∵,∴∵∴∴∴,即②正確;在和∴∴,即∴,即∴∵∴,即③正確;如圖:假設(shè)半圓的圓心為O,連接∵,,是的中點(diǎn)∴∴∵∴是等邊三角形∴,即是菱形∴∵∴,即,解得:∴∵∴,即④錯(cuò)誤.故答案為:①②③.三、解答題.15.【答案】,16.【答案】17.【答案】共33人合伙買金,金價(jià)為9800錢18.證明:∵是邊的中點(diǎn)∴在和中,∴∴∵∴∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是矩形.19.【答案】(1)(2)①;②估計(jì)其中對食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)為人【小問1詳解】解:由題意知,高中部評分的中位數(shù)為第位數(shù)的平均數(shù),即故答案為:;【小問2詳解】①解:由題意知,初中部評分的中位數(shù)為,高中部評分的中位數(shù)為∴故答案為:;②解:∵∴估計(jì)其中對食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)為人.20.【小問1詳解】解:如圖①:四邊形即為所求;(不唯一).【小問2詳解】解:如圖②:四邊形即為所求;(不唯一).【小問3詳解】解:如圖③:四邊形即為所求;(不唯一).21.【答案】(1)(2)(3)沒有超速【小問1詳解】解:由題意可得:,解得:.故答案為:.【小問2詳解】解:設(shè)當(dāng)時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為則:,解得:∴.【小問3詳解】解:當(dāng)時(shí),∴先勻速行駛小時(shí)的速度為:∵∴輛汽車減速前沒有超速.22.【答案】問題解決:(1)見解析(2)30,;方法應(yīng)用:線段長度的最小值為米【解析】解:問題解決:(1)證明:過點(diǎn),分別作,的平行線,并交于點(diǎn),作射線四邊形是平行四邊形;(2)在等邊中,;當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)最小在中,線段長度的最小值為;方法應(yīng)用:過點(diǎn),分別作,的平行線,并交于點(diǎn),作射線,連接四邊形是平行四邊形四邊形是矩形當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)最小作于點(diǎn)R在中,在中,線段長度的最小值為米.23.【答案】(1)(2)(3)(4)或【小問1詳解】解:根據(jù)題意可知:為等腰三角形,故點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí),;在中,;【小問2詳解】根據(jù)題意作,如圖所示;當(dāng)時(shí),則設(shè)點(diǎn)到直線的距離為解得:;【小問3詳解】如圖,當(dāng)時(shí),點(diǎn)落在上設(shè),則,過點(diǎn)作于則,解得:故所以正方形的邊長為;【小問4詳解】如圖,,在異側(cè)時(shí);設(shè),,則三邊的比值為當(dāng),在同側(cè)設(shè),則,三邊比為三邊比為設(shè),則,,解得:綜上所述:的長為或24.【答案】(1)(2)見詳解(3)①;②或或【小問1詳解】解:將代入得:解得:∴拋物線表達(dá)式為:;【小問2詳解】解:過點(diǎn)B作于點(diǎn)H,則由題意得:∴,∴在中,;【小問3詳解】解:①如圖,記交于點(diǎn)M由題意得,由得:對稱軸為直線:∵四邊形是菱形∴點(diǎn)A,C關(guān)于對稱,∵與此拋物線的對稱軸重合∴解得:∴∴∴∵∴,則∴;②記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)F,把代入,得:∴∵拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增
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