集合的概念高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1.1集合的概念與表示問(wèn)題1:有一位牧民非常喜歡數(shù)學(xué),但他怎么也想不明白集合的意義，于是他請(qǐng)教一位數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我集合是什么？”由于集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答牧民的問(wèn)題．剛好有一天，他來(lái)到牧場(chǎng)，看到牧民正往羊圈里趕羊，等到牧民把全部羊趕入羊圈關(guān)好門，數(shù)學(xué)家靈機(jī)一動(dòng)，高興的告訴牧民；“你看這就是集合”．你能理解數(shù)學(xué)家的話嗎？問(wèn)題２:軍訓(xùn)的時(shí)候，當(dāng)教官一聲口令：“高一（5）班集合”，高一（5）班的同學(xué)們就會(huì)從四面八方聚集到教官身邊來(lái)，不是高一（25）班的同學(xué)就會(huì)自動(dòng)走開(kāi)，這時(shí)教官的一聲“集合”就把“一些確定的不同對(duì)象集在一起了”，如果教官高喊：“高一（5）班的高個(gè)子同學(xué)集合”．高一（5）班的每個(gè)同學(xué)是否知道自己該不該過(guò)去？新課引入“物以類聚,人以群分”數(shù)學(xué)中也有類似的分類．問(wèn)題：3.在初中我們學(xué)過(guò)哪些集合?代數(shù):整數(shù)的集合、實(shí)數(shù)的集合、有理數(shù)的集合、不等式（如x-7>3)的解集等；幾何：點(diǎn)的集合等。4.在初中,我們用集合描述過(guò)什么?在初中幾何中,如線段AB的中垂線是……圓是……。新課引入溫故而知新“集合”是日常生活中的一個(gè)常用詞,現(xiàn)代漢語(yǔ)解釋為:許多的人或物聚在一起。

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,集合是一種簡(jiǎn)潔、高雅的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,我們?cè)鯓永斫鈹?shù)學(xué)中的“集合”?康托爾(GeorgCantor,1845～1918)德國(guó)數(shù)學(xué)家,集合論創(chuàng)始人,他于1895年談到“集合”一詞.1.集合的概念(1)1～10之間所有偶數(shù);(2)潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023年8月入學(xué)的全體高一學(xué)生;(3)所有的正方形;(4)到直線l的距離等于定長(zhǎng)d的所有點(diǎn);(5)方程x2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根;(6)地球上的四大洋.

一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element),把一些(具有某種共同屬性的)元素組成的總體叫做集合(set)(簡(jiǎn)稱為集).集合的研究對(duì)象具有多樣性.說(shuō)明：

●集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一,我們不能用其他的概念下定義,只能作描述性說(shuō)明,是不定義概念,即原始概念,和點(diǎn)、直線、平面等基本概念及原理構(gòu)成了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石,是從現(xiàn)實(shí)世界中總結(jié)出來(lái)的．●集合理論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾發(fā)現(xiàn)的,他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)．

學(xué)習(xí)新知1、集合的含義：例1下列指定的對(duì)象,能構(gòu)成一個(gè)集合的是()①很小的數(shù)②不超過(guò)30的非負(fù)實(shí)數(shù)③直角坐標(biāo)平面的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)④

的近似值

⑤身材較高的人⑥所有無(wú)理數(shù)⑦大于2的整數(shù)⑧全體正三角形A.②③④⑥⑦⑧B.②③⑥⑦⑧C.②③⑥⑦D.②③⑤⑥⑦⑧教材P5練習(xí)12.集合與元素的表示

集合常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示,元素常用小寫拉丁字母a,b,c,…等表示.確定性:給定的集合,它的元素必須是確定的.即任意一個(gè)元素x,它要么是這個(gè)集合A中的元素,要么不是這集合A中的元素,即x∈A與x

A二者必居其一.3.集合元素的性質(zhì)

如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作a

A.集合與元素的關(guān)系:3.集合元素的性質(zhì)(2)互異性:一個(gè)給定集合中的元素必須是互不相同的.如方程x2-2x+1=0的解集為{1},而不能寫成{1,1}.例2已知集合A由:a+2,(a+1)2,a2+3a+3三個(gè)元素構(gòu)成且1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.練習(xí):若x∈R,則數(shù)集{1,x,x2}中元素x應(yīng)滿足什么條件?(3)無(wú)序性:集合中的元素是沒(méi)有先后順序的.如{1,2,3,5}與{2,1,5,3}為同一集合.相等集合:只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.3.集合元素的性質(zhì)想一想,集合{(1,2)},{(2,1)},{2,1}是否為相等集合?4.數(shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法:自然數(shù)集(包含0)

或稱非負(fù)整數(shù);:正整數(shù)集(不包含0);:整數(shù)集;:有理數(shù)集;:實(shí)數(shù)集.5.集合的分類按照集合中元素個(gè)數(shù)是有限和無(wú)限的,集合可分為:有限集和無(wú)限集.教材P5練習(xí)26.集合的表示方法(1)自然語(yǔ)言表述:如中國(guó)的直轄市、地球四大洋.(2)列舉法:把集合的所有元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”

括起來(lái)表示集合的方法.例3用列舉法表示下列集合:(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(2)方程x2=x

的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;(3)由1～20以內(nèi)的所有素?cái)?shù)(即質(zhì)數(shù))組成的集合.(3)描述法:一般地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為(1)你能用自然語(yǔ)言描述集合{0,3,6,9}嗎?(2)你能用列舉法表示不等式x-7<3的解集嗎?思考格式:{x|x∈P(x)},其中x是代表元素,表示這個(gè)集合的表述對(duì)象;P(x)表示該集合中元素所具有的共同特征.方法二:描述法——用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．①語(yǔ)言描述法：例：{正方形},{地球上的四大洋},②數(shù)學(xué)式子描述法:具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值（或變化）范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。學(xué)習(xí)新知5、集合的常用表示方法:例4試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)方程x2

-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.教材P5練習(xí)3(4)圖表法:用韋恩(Veen)圖或數(shù)軸等來(lái)表示集合.AVeen圖:在數(shù)學(xué)中,經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Veen圖.例1用描述法表示下列集合:(1)所有奇數(shù)組成的集合;(2)所有偶數(shù)組成的集合.例題選講解:(1)記所有奇數(shù)組成的集合為A,則

A={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}={x|x=2k+1,k∈Z}也可寫成{x|x=2k－1,k∈Z}或{x|x=4k±1,k∈Z}.(2)記所有偶數(shù)組成的集合為B,則

B={x|x=2k,k∈Z}.例2已知集合A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}有且只有一個(gè)元素,求a的值與這個(gè)元素.解:當(dāng)a＝0時(shí),x＝－1;

當(dāng)a≠0時(shí),

＝16－4×4a＝0,

則a＝1,此時(shí)x＝－2.

∴a＝1時(shí)這個(gè)元素為－2,

a＝0時(shí)這個(gè)元素為－1.例3設(shè)x∈R,y∈R,觀察下面四個(gè)集合

A＝{y＝x2－1}B＝{x|y＝x2－1}C＝{y|y＝x2－1}D＝{(x,y)|y＝x2－1}它們表示的含義相同嗎?解:A表示由二元一次方程組成的單元素集合;B表示函數(shù)y=x2－1定義域,即B={x|x∈R}=R;C表示函數(shù)y=x2－1的函數(shù)值組成的集合,即C={y|y≥－1};D表示函數(shù)y=x2－1的圖象上所有點(diǎn)組成的集合,或二元二次方程y=x2－1的解組成的集合.例4若方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解為元素的集