河北省石家莊二十四中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(解析版)

石家莊市第二十四中學(xué)2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期中考試高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共74分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)，則（）A.的實(shí)部為 B.的虛部為C.的虛部為 D.的虛部為1【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的虛部與實(shí)部的定義求解.【詳解】復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，故選：B.2.已知向量，，且，則（）A.4 B.2 C.0 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量平行列出方程，化簡(jiǎn)求出的值.【詳解】由題意知，則，解得，故D項(xiàng)正確.故選：D.3.已知圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圓錐的軸截面，根據(jù)已知求出圓錐的母線，進(jìn)而根據(jù)側(cè)面積公式即可得出答案.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖由已知可得，，，所以，所以，圓錐的母線為，所以，圓錐的側(cè)面積為.故選：B.4.如圖，的斜二測(cè)直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】將直觀圖還原為原圖，如圖，求出，進(jìn)而求出，即可求解.【詳解】將直觀圖還原為原圖，如圖，

由，，所以，所以，則，即的面積為.故選：D5.中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】選定基向量，根據(jù)向量的加減法，用基底表示出向量，結(jié)合條件即可求得，可得答案.【詳解】由題意可得,又，故，故，故選:B6.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于（）A.5m B.15m C.5m D.15m【答案】D【解析】【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求.【詳解】在△BCD中，，由正弦定理得，解得(m），在Rt△ABC中，(m).故選：D7.一艘輪船按照北偏東方向，以18海里小時(shí)的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（）海里．A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】作出示意圖，利用余弦定理，即可得解．【詳解】設(shè)輪船從點(diǎn)出發(fā)到達(dá)點(diǎn)，燈塔在點(diǎn)，如圖所示，由圖可知，，海里，在中，由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍負(fù)），所以燈塔與輪船原來的距離為4海里．故選：C．8.已知兩個(gè)平面，，及兩條直線l，m，則下列命題不正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷AB，根據(jù)面面平行的判定定理判斷C，根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，時(shí)，則，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，又，所以，所以B正確；對(duì)于C，由面面平行的判定定理知：若，，，，且與相交時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，根據(jù)面面平行的傳遞性知：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，所以D正確.故選：C9.以下關(guān)于正弦定理或其變形的敘述錯(cuò)誤的是（）A.在中，B.在中，若，則C.在中，若，則，若，則都成立D.在中，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】中，由正弦定理可得，，故AD正確；B選項(xiàng)，在中，若，則或，即或，即為等腰三角形或直角三角形，不一定能得到；故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，在中，若，由正弦定理可得，根據(jù)三角形的性質(zhì)：大邊對(duì)大角，可得；反之，由也可有成立，即C正確；故選：B.10.在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立合適的直角坐標(biāo)系，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)槿切沃?，，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)，則，故，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題6分，共24分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．11.對(duì)于，，下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則是純虛數(shù)C. D.【答案】AC【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)相等判斷A；特殊值判斷B；令且，且，利用復(fù)數(shù)乘法、模的概率判斷C、D；【詳解】A：，則的虛部為0，故，正確；B：當(dāng)時(shí)，成立，而不是純虛數(shù)，錯(cuò)誤；C：令且，則，則，正確；D：令且，且，則可能為虛數(shù)，而為實(shí)數(shù)，錯(cuò)誤.故選：AC12.下列命題正確的是（）A.若向量滿足，則為平行向量B.已知平面內(nèi)的一組基底，則向量也能作為一組基底C.模等于個(gè)單位長(zhǎng)度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D.若是等邊三角形，則【答案】ABD【解析】【分析】由平行向量定義可知A正確；由基底的要求可知B正確；由相等向量定義知C錯(cuò)誤；由向量夾角的定義知D正確.【詳解】對(duì)于A，，方向相反，是平行向量，A正確；對(duì)于B，為一組基底，不共線，也不共線，也可以作為一組基底，B正確；對(duì)于C，雖然單位向量模長(zhǎng)相等，但方向可以不同，故不是所有單位向量均相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為等邊三角形，，D正確.故答案為：ABD.13.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（）A.若，則B.若是銳角三角形，恒成立C.若，，，則符合條件的有兩個(gè)D.若，，則面積的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理可以判斷A；借助誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷B；作出示意圖判斷C；根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求解面積最值判斷D.【詳解】對(duì)A，由正弦定理可知，正確；對(duì)B，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，所以，則，錯(cuò)誤；對(duì)C，如示意圖，點(diǎn)A在射線上，，所以，則，由圖可知符合條件的三角形有2個(gè)，正確；

對(duì)D，由余弦定理可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)該三角形為正三角形，所以，即面積的最大值為，正確.故選：ACD.14.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖在塹堵中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.四面體為鱉臑B.平面C.若，則與所成角的正切值為D.三棱錐的外接球的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷A；連接相交于點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，，再由線面平行的判定定理可判斷B；由B選項(xiàng)知與所成角即與所成角為或其補(bǔ)角，求出，在中由余弦定理得，再求出可得正切值可判斷C；由、均為直角三角形可得點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，求出外接球的半徑可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在塹堵中，平面，平面，所以，，，所以、均為直角三角形，因?yàn)椋詾橹苯侨切?，且，平面，所以平面，平面，所以，所以為直角三角形，所以四面體為鱉臑，故A正確；對(duì)于B，如圖，連接相交于點(diǎn)，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，所以，，因?yàn)?，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故B正確；對(duì)于C，，由B選項(xiàng)知，，所以與所成角即與所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，連接，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以為銳角，則，則與所成角正切值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如下圖，連接，由A選項(xiàng)可知，、均為直角三角形，且，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)是三棱錐的外接球的球心，且外接球的半徑為，因?yàn)椋詾橹苯侨切?，所以三棱錐的外接球的體積為，與長(zhǎng)度無關(guān)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：異面直線所成角的求法有幾何法和向量，幾何法：平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中，利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形，求出3邊或3邊的比例關(guān)系，用余弦定理求角.向量法：求兩直線的方向向量，求兩向量夾角的余弦，因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以對(duì)2的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.第II卷（非選擇題，共76分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．15.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可化簡(jiǎn)，即可根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.詳解】,所以，故答案為：16.已知，是兩個(gè)不共線的向量，，若與共線，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給出的條件，利用共線向量定理求出，即可求解.【詳解】由已知，是兩個(gè)不共線的向量，則，又因?yàn)榕c共線，則，即，解得.故答案為：.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則的形狀是______.【答案】等腰三角形或直角三角形.【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】由得，則，所以，所以，所以或，因?yàn)椋?，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角?故答案為：等腰三角形或直角三角形.18.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分為別為棱AB，BC的中點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度范圍是______.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，證明平面平面，結(jié)合直線與平面無公共點(diǎn)，得到點(diǎn)在線段上，由此求得長(zhǎng)的范圍.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，由三角形的中位線的性質(zhì)，可得，則，又由平面，平面，可得平面，連接，可得且，則四邊形為平行四邊形，可得，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，由直線與平面無公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在線段上，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，取得最大值，最大值為，所以線段的長(zhǎng)的范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，利用線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，證明平面平面，結(jié)合直線與平面無公共點(diǎn)，得到點(diǎn)在線段上是解答的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共56分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.若復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，（1）是純虛數(shù)；（2）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由題可得，解出即可；（2）由題可得，解出不等式即可.【詳解】（1）若是純虛數(shù)，則，解得；（2）若對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，解得，即的取值范圍為.20.已知向量，滿足，，且，的夾角為.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值；【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律即可求解.（2）由數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律即可列方程求解.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)椋?，即，也即，所以，解?21.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E是線段的中點(diǎn)，平面過點(diǎn)、C、E．（1）求平面截正方體所得的截面多邊形的面積；（2）平面截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值．（參考公式：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，利用平行線的傳遞性可證得，可知、、、四點(diǎn)共面，再由于、、三點(diǎn)不共線，可得出面即為平面截正方體所得的截面；經(jīng)分析可知，四邊形為等腰梯形，求出該等腰梯形的高，利用梯形的面積公式可求得截面面積；（2）利用臺(tái)體的體積公式可求得三棱臺(tái)的體積，并求出剩余部分幾何體的體積，從而可求解.【小問1詳解】如下圖，取的中點(diǎn)，連接、、.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面.因、、三點(diǎn)不共線，所以、、、四點(diǎn)共面于平面，所以面即為平面截正方體所得的截面.且截面為梯形，，，，同理可得，如下圖所示：分別過點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)、，則，，，所以，則，因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，所以，則，所以，所以梯形的面積為.小問2詳解】多面體為三棱臺(tái)，，，該棱臺(tái)的高為，所以，該棱臺(tái)的體積為，故剩余部分的體積為.故比較小的那部分與比較大的那部分的體積的比值為.22.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．（1）求角B的大小；（2）若且，求邊長(zhǎng)c的取值范圍．【答案】（1）（2）(1,2)【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件利用余弦定理可以求得，進(jìn)而得解；（2）利用正弦定理可以求得，進(jìn)而根據(jù)角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得.【小問1詳解】由余弦定理及得，所以，因?yàn)?，所以；【小?詳解】∵,∴,∵，∴，∴,∴邊長(zhǎng)的取值范圍是(1,2).23.已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的菱形所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)在底面上的射影是與的交點(diǎn)，已知，是等邊三角形.（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)在何處時(shí)，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說明點(diǎn)此時(shí)所在的位置.【答案】（1）證明見解析（2）（3）在線段上靠近點(diǎn)的處，【解析】【分析】（1）由題可得平面，故.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)結(jié)合即可求解；（3）由線面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距離即為到平面的距離，過作垂