上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

上海實(shí)驗(yàn)2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2024.05一、填空題（本大題滿(mǎn)分40分，共有10題．）1．己知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，則它的斜率為_(kāi)_______．2．己知橢圓的方程為，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．3．己知函數(shù)，則________．4．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則到的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)_______．5．己知點(diǎn)，，若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．6．圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．7．已知點(diǎn)，在直線(xiàn)和上分別有點(diǎn)和，則的周長(zhǎng)最小值為_(kāi)_______．8．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值是________．9．設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的離心率為_(kāi)_______．10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則下列命題正確的是________．（1）的準(zhǔn)線(xiàn)為；（2）直線(xiàn)與相切；（3）；（4）．二、選擇題（本大題滿(mǎn)分16分，共有4題．）11．是直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直的（）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要12．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，其中一條漸近線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．13．已知直線(xiàn)與圖，點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A．若點(diǎn)在圓上，則直線(xiàn)與圓相切B．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線(xiàn)與圓相離C．若點(diǎn)在圓外，則直線(xiàn)與圓相離D．若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)與圓相切14．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．已知，直線(xiàn)的斜率為，則雙曲線(xiàn)的方程為（）.A． B．C． D．三、解答題（本大題滿(mǎn)分44分，共有4原，解答下列各題必須寫(xiě)出必要的步驟）15．（本題滿(mǎn)分10分，第1小題5分，第2小題5分）己知圓內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為，直線(xiàn)交圓于，兩點(diǎn)．（1）求當(dāng)時(shí)，弦的長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，求直線(xiàn)的方程．16．（本題滿(mǎn)分10分，第1小題5分，第2小題5分）已知、，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若斜率為1的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．17．（本題滿(mǎn)分12分，第1小題4分，第2小題8分）己知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的方程；（2）若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且．（i）設(shè)直線(xiàn)的方程為，求證：；（ii）求的取值范圍．18．（本題滿(mǎn)分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）如圖，橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)上焦點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別在直線(xiàn)與橢圓上．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）若線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，求的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．四、附加題19．（本題共10分，第1小題5分，第2小題5分）已知點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．20．（本題滿(mǎn)分10分，第1小題2分，第2小題8分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．

參考答案一、填空題1.;2.，;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.（2）（3）（4）；9．設(shè)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】根據(jù)題意可得,設(shè),又點(diǎn)在橢圓上,∴橢圓的離心率為.10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則下列命題正確的是________．（1）的準(zhǔn)線(xiàn)為；（2）直線(xiàn)與相切；（3）；（4）．【答案】（2）（3）（4）；【解析】（1）因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上,所以,得:

所以?huà)佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為:,故（1）錯(cuò)誤.（2）,所以直線(xiàn)的方程為:由可得,拋物線(xiàn)方程為:聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程可得：可得：因?yàn)?所以方程有唯一解所以直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切,故（2）正確.

（3）若直線(xiàn)的斜率不存在,則直線(xiàn)的方程為,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有1個(gè)交點(diǎn),不合題意.所以直線(xiàn)的斜率存在.設(shè)直線(xiàn)的方程為:,聯(lián)立可得:所以故（3）正確（4）故（4）正確.故答案為:（2）（3）（4）.二、選擇題11.A12.D13.C14.D13．已知直線(xiàn)與圖，點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.A．若點(diǎn)在圓上，則直線(xiàn)與圓相切B．若點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線(xiàn)與圓相離C．若點(diǎn)在圓外，則直線(xiàn)與圓相離D．若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)與圓相切【答案】C【解析】圓心到直線(xiàn)的距離,若點(diǎn)在圓上,則,所以,則直線(xiàn)與圓相切故A正確;若點(diǎn)在圓內(nèi),則,所以,則直線(xiàn)與圓相離,故B正確；

若點(diǎn)在圓外,則,所以,則直線(xiàn)與圓相交,故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線(xiàn)上,則,即，所以直線(xiàn)與圓相切,故D正確，綜上故選C.14．雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為．已知，直線(xiàn)的斜率為，則雙曲線(xiàn)的方程為（）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檫^(guò)作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,則,所以,聯(lián)立,可得,,即,

因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率,整理得,

(1)(2)聯(lián)立得,,故雙曲線(xiàn)方程為.故選：D.三．解答題15.（1）（2）16.（1）（2）17．（本題滿(mǎn)分12分，第1小題4分，第2小題8分）己知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距為4，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求的方程；（2）若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，且．（i）設(shè)直線(xiàn)的方程為，求證：；（ii）求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）略（ii）【解析】(1)由題意知,的方程為;

(2)（i）略（ii）當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè),

由,此時(shí),

當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)方程:,,

聯(lián)立,消去化簡(jiǎn)得則,

,即且,

則,即,

又

令,則且,或,-,

令,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

則,即,,綜上,的取值范圍為;18．（本題滿(mǎn)分12分，第1小題4分，第2小題4分，第3小題4分）如圖，橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過(guò)上焦點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別在直線(xiàn)與橢圓上．（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）若線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上，求的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn),其縱坐標(biāo)為-1或【解析】（1）依題意得:,由軸,得:,代入橢圓方程得：,

所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為(2)顯然,線(xiàn)段的中點(diǎn)在軸上,則,即軸,

所以(3)假設(shè)存在以為鄰邊的矩形,使得點(diǎn)在橢圓上,顯然,設(shè),1),,則,

因?yàn)樗倪呅问蔷匦?一定為平行四邊