高中數(shù)學(xué)《直觀圖》導(dǎo)學(xué)案

第一章立體幾何初步

DIYIZHANG§2Mg

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.2.用斜二測(cè)

畫法畫常見的柱、錐、臺(tái)以及簡(jiǎn)單組合體的直觀圖.

|課前自主學(xué)習(xí)|

【主干自填】

1.平面圖形直觀圖的畫法

斜二測(cè)畫法規(guī)則：

(1)在已知圖形中建立平面直角坐標(biāo)系X。)，，畫直觀圖時(shí)，它們分別對(duì)應(yīng)X,

軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)0，，使Nx'O'y'=回45。，它們確定的平面表示理

水平平面.

(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成螞功于/

軸和y'軸的線段.

(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度圓不變;平行于y

軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的值

2.立體圖形與平面圖形相比多了一個(gè)蹙軸，其直觀圖中對(duì)應(yīng)于z軸的是螞

二J由平面x'O'y'表示國(guó)水平平面，平面v'O'z'和x'O'z"表示/直

立平面.平行于z軸的線段，在直觀圖中四平行性和回長(zhǎng)度都不變.

【即時(shí)小測(cè)】

1.思考下列問題

(1)相等的角在直觀圖中還相等嗎？

提示：不一定.例如正方形的直觀圖為平行四邊形.

(2)空間幾何體的直觀圖唯一嗎？

提示：不唯一.作直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，畫出的直觀圖也不同.

2.長(zhǎng)方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個(gè)（）

①②③④⑤

A.①②B.①②③C.②⑤D.③④⑤

提示：C因?yàn)殚L(zhǎng)方形的直觀圖中直角應(yīng)為45。角，且平行線仍為平行的平行

四邊形，只有②⑤滿足.

3.梯形的直觀圖是（）

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四邊形

提示：A因?yàn)樘菪蔚膬傻自谥庇^圖中應(yīng)平行且不相等，故仍為梯形.

4.如圖所示的直觀圖△4'。'B',其平面圖形的面積為.

提示：6由直觀圖可知其對(duì)應(yīng)的平面圖形A08中，NAOB=90。，0B=3,

0A=4,.,.S^AOB=^OAOB=6.

課堂互動(dòng)探究

題型一畫水平放置的平面圖形的直觀圖

例1畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖.

［解］畫法：（1）如圖所示，取4?所在直線為x軸，A3中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建

立直角坐標(biāo)系，畫對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x'O'y',使O'y'=45°.

(2)以。'為中點(diǎn)在x'軸上取A'B'=AB,在y'軸上取O'E'=|c>E,

以E'為中點(diǎn)畫C'D'〃/軸，并使C'D'=CD.

(3)連接"C,D'A',所得的四邊形A'B'CD'就是水平放置的等

腰梯形A8CD的直觀圖.

類題通法

(1)本題巧借等腰梯形的對(duì)稱性建系使“定點(diǎn)”“畫圖”簡(jiǎn)便易行.

(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一

般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)

軸的線段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)完成.

［變式訓(xùn)練1］用斜二測(cè)畫法畫如圖所示邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形

的直觀圖.

解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為九軸，以8C邊上的高線AO所在

的直線為y軸.

(2)畫對(duì)應(yīng)的一軸、y'軸，

使Nx'O'y'=45°.

在x'軸上截取。'B'=0'C=OB=OC=2cm,在軸上取。'A'

=^OA,連接A'B',A'C,則三角形A'B'C即為正三角形48c的直觀

圖，如圖②所示.

)題型二空間幾何體的直觀圖

例2畫出正五棱柱的直觀圖.

:解1(1)畫軸.畫龍'軸、y'軸和z'軸，使Nx'O'y'=45。，N尤'O'z'

=90°,如圖①所示.

(2)畫底面.按/軸、y'軸畫正五邊形的直觀圖A8CDE.

(3)畫側(cè)棱.過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E分別作z'軸的平行線，并在這些平行線

上分別截取A4'、BB'、CC、DD',EE'都相等.

(4)成圖，順次連接A'、"、C、O'、￡',去掉輔助線，改被擋部分

為虛線，如圖②所示.

類題通法

(1)畫空間幾何體的直觀圖，一般先用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的平面圖形，

再畫z軸，并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn)，最后連點(diǎn)成圖便可.

(2)直觀圖畫法口訣可以總結(jié)為：“一斜、二半、三不變”.

［變式訓(xùn)練2］用斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方

WABCD-A'B'CD'的直觀圖.

解畫法：

(1)畫軸.如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O,使Nx0y=45。，ZxOz

=90°.

(2)畫底面.以點(diǎn)。為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN,使MN=4cm；在y軸上

3

取線段PQ,使PQ=2cm.

分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P和。作x軸的平行線，設(shè)它們的

交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABC。就是長(zhǎng)方體的底面ABCD

(3)畫側(cè)棱.過(guò)A,B,C,。各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分

別截取2cm長(zhǎng)的線段AA',BB',CC,DD'.

I)1C,

(4)成圖.順次連接A',夕，C',，并加以整理(去掉輔助線，將被遮

擋的部分改為虛線)，就得到長(zhǎng)方體的直觀圖.

＞題型三由直觀圖還原平面圖形

例3如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形,

則原平面圖形的面積為()

B.c.a2D.2a2

［解析］由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S=a-2也。=2也足.

［答案］B

類題通法

由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵兩點(diǎn)

(1)平行/軸的線段長(zhǎng)度不變，平行V軸線段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍；

(2)對(duì)于相鄰兩邊不與/、y'軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x'軸，軸平行線變

換確定其在X。)，中的位置.

［變式訓(xùn)練3］一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形

04'B'C的面積為加,則原梯形的面積為()

A.2B.巾C.2啦D.4

答案D

解析如圖，由斜二測(cè)畫法原理知，原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長(zhǎng)

度是一樣的，不一樣的是兩個(gè)梯形的高.

原梯形的高0C是直觀圖中。C'長(zhǎng)度的2倍，0C的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形

的高的也倍，由此知原梯形的高0C的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形高的26倍，故其面

積是梯形。4'B'C面積的倍，梯形OA'B'C'的面積為也，所以原梯

形的面積是4.

培優(yōu)部落

易錯(cuò)點(diǎn)>畫直觀圖時(shí)忽略斜二測(cè)畫法的規(guī)則

［典例］畫出下圖中四邊形0ABC的直觀圖.

［錯(cuò)解］如圖⑴所示，畫X,軸和y'軸，使Nx'O'y=45。.在x'軸上取

O'B'=4,O'D'=3,在y'軸上取O'C=1,過(guò)。'作D'A'=

90°,取A'D'=1,順次連接O'A',A'B',B'C,擦去輔助線，所得

四邊形O'A'B'C為四邊形0A3C的直觀圖，如圖⑵所示.

(1)(2)

［錯(cuò)因分析］錯(cuò)解中沒有將N8'D'A'畫成135。.

［正解］如圖(1)所示,畫/軸和V軸，使4O/y'=45。.在x'軸上

取O'B'=4,O'D'=3,在y'軸上取O'C=1,過(guò)。'作NB'D'A'

=135°,取A'D'=1,順次連接O'A',A'"，B'C,擦去輔助線，所

得四邊形。'A'B'C為四邊形0A8C的直觀圖，如圖(2)所示.

A'

(1)⑵

課堂小結(jié)

1.斜二測(cè)畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋

找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測(cè)畫法，畫出直觀圖，從而確

定其高和底邊等，而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形.兩者之間關(guān)系為：

Si\［2

工=4-

2.在用斜二測(cè)畫法畫直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比

仍然等于它的真實(shí)長(zhǎng)度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小.

隨堂鞏固訓(xùn)練

1.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4,則此正

方形的面積為（）

A.16B.64

C.16或64D.無(wú)法確定

答案C

解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面

積為16或64.

2.利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的

（）

7

3OL5=\.5n2S

3333

ABCD

答案C

解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2：1.

3.在用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，與軸不平行的線段的

長(zhǎng)度（）

A.變大B.變小

C.一定改變D.可能不變

答案C

解析當(dāng)與無(wú)軸不平行時(shí)，過(guò)該線段的中點(diǎn)作x軸的垂線，該垂線與y軸平

行，畫直觀圖時(shí)，該直線平行于y'軸，并且長(zhǎng)度減半，從而原線段端點(diǎn)位置改

變，導(dǎo)致長(zhǎng)度改變.

4.水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正則4

ABC是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.任意三角形

答案C

解析水平放置的△ABC有一邊在水平線上，因?yàn)橹庇^圖是正三角形，所以

原圖形有一角大于90。，故為鈍角三角形.

課后課時(shí)精練

時(shí)間：25分鐘

1.關(guān)于斜二測(cè)畫法的敘述，其中正確的個(gè)數(shù)為()

(1)兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線；

(2)兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直；

(3)正方形的直觀圖可能是梯形；

(4)平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；

(5)相等線段的直觀圖仍然相等.

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由于斜二測(cè)畫法保共點(diǎn)性，所以(1)錯(cuò)；保平行性，所以(3)錯(cuò)，(4)對(duì);

原來(lái)垂直的兩線段，在直觀圖中夾角為45。，所以(2)錯(cuò)；與y軸平行的線段長(zhǎng)度

變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所以(5)錯(cuò).

2.如下圖建立坐標(biāo)系，得到的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一

組是()

答案C

解析在A、B、D中，三角形ABC的直觀圖的底面邊長(zhǎng)和高均相等，它們

是全等的，只有C不全等.

3.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么△ABC的平面直觀圖△4‘B'C'

的面積為()

答案D

解析先根據(jù)題意，畫出直觀圖，然后根據(jù)直觀圖△4'B'C的邊長(zhǎng)及夾

角求解.

圖(2)所示為實(shí)際圖形的直觀圖，由(2)可知，A'B'=AB=a,O'C=；。。

=乎處在圖(2)中作C'D'J_A'"于￡>',則C'D'=乎0'C邛a.

/.SAABC=^A'B'C'D'=[xaX害。=系/.

ZZO1o

4.如下圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形,

則原來(lái)圖形的形狀是（）

答案A

解析直觀圖邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線為也，則原圖形中對(duì)應(yīng)的對(duì)角線為2也.故選

5.如圖所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為（4,4）,則由斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)二到』軸的距

離為（）

■■y

A?(4,4)

~0Cx

、歷

A.^2B.^-C.2^2D.2

答案A

解析由斜二測(cè)畫法規(guī)則畫出直觀圖如圖所示,

作"ELx'軸于點(diǎn)E,在Rt△夕CE中，"C=2,NB‘CE=45。,

B'E=B'Csin45°=2X^-=V2.

6.如下圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中

O'A'=6cm,O'C=2cm,則原圖形是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四邊形

答案c

解析如圖,

在原圖形0A8C中，。。=20'D'=2X2yf2=4yf2cm,CD=CDf=2cm.

0C=\l0D2+CD2=^/(4A/2)2+22=6cm,：.OA=OC,故四邊形0A8C是菱形.

7.如圖，正方形O'A'B'C的邊長(zhǎng)為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面

圖形的直觀圖，則原圖的周長(zhǎng)是()

A.8cmB.6cm

C.2(1+4)cmD.2(1+V2)cm

答案A

解析根據(jù)直觀圖的畫法，原幾何圖形如圖所示，四邊形O43C為平行四邊

形，0B=2?QA=1,AB=3,從而原圖周長(zhǎng)為8cm.

8.若一個(gè)三角形，采用斜二測(cè)畫法作