八年級下冊數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)壓軸題（學(xué)生版+解析版）

八下旋轉(zhuǎn)壓軸題

一.等腰的旋轉(zhuǎn)應(yīng)用（共6小題）

1.如圖，在凸四邊形ABCQ中，NBAQ=NBCQ=120°,BC=CD=12的，則線段AC的長等于cm.

2.如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，Oi，02是其中兩個正方形的對角線交點(diǎn)，若把這樣的"

個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為.

3.如圖，四邊形A8CO中，AC,8。是對角線，△ABC是等邊三角形，/A3C=30°,AD=4,BD=5,

則CD的長為.

25-73

4.如圖'點(diǎn)/）為等邊AABC外一點(diǎn)，2亦=6。。,連接即，若43=8,△88的面積為不一‘則

BD的長為.

?D

B

5.如圖，在RtZVlBC中，ZC=90°,NA=30°，點(diǎn)P在AC邊上，以點(diǎn)P為中心，將AABC順時針旋

轉(zhuǎn)90°,得到△OEF,OE交邊AC于G,當(dāng)P為中點(diǎn)時，AG：CG的值為

6.如圖，點(diǎn)P為定角NAOB的平分線上的一個定點(diǎn)，且NMPN與NAOB互補(bǔ)，若NMPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)

的過程中，其兩邊分別與。4OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：(1)恒成立；

(2)OM-ON的值不變；

(3)ZSOMN的周長不變；

(4)四邊形PMON的面積不變，

其中正確的序號為-

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1,0),B(3,0),點(diǎn)P為y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，以線段抬

為邊在PA的右上方作等邊△4PQ,連接QB,在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，線段QB長度的最小值為.

8.如圖，△ABC中，AB=8,AC=5,8C=7,點(diǎn)。在AB上一動點(diǎn)，線段CO繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得

到線段CE,則線段BE的最小值為

9.如圖，在△48C中，ZACB=90°,BC=2,NA=30°,將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,若P為

4B上一動點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,則線段P產(chǎn)長度的最小值是（）

C.3D.2V3

10.已知等邊△ABC的邊長為4,點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACQ,

點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，連接OQ,則。。的最小值是.

,NACB=90°,BC=2,。是A8上的動點(diǎn)，將線段CC繞點(diǎn)C逆時針

旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE,連接BE,則BE的最小值是（)

C.V3D.2

12.如圖，正方形A8CD的邊長為2,E為8C上一點(diǎn)，且8E=1,廣為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接E幾

以E尸為底向右側(cè)作等腰直角△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

13.如圖所示，RtZ\4BC中，N8=30°,AC=6，點(diǎn)M為8C中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，N為AB

中點(diǎn)，則線段的V的最小值為（）

1-31V3-1

A.—B.V3—~C.一D.-------

2252

14.如圖，等邊△A8C中，BC^12,。為8c的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，DE=2,連接AE,將線段

AE繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AF,連接￡＞尸，則線段。尸的最小值為.

BD

15.在RtZ\ABC中，NACB=90°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△4'B'C,點(diǎn)M是8C的中

若BC=2,ZA=30°,線段PM長度的最大值是.

16.如圖，△ABC是等邊三角形，且A8=l,點(diǎn)M為直線8c上的一個動點(diǎn)，連接AM,將線段4M繞4

點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°至AQ,點(diǎn)N為直線AC上的一個動點(diǎn)，則。、N兩點(diǎn)間距離的最小值為.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4(-3,0),點(diǎn)8是y軸正半軸上一動點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作

等邊△ABP,點(diǎn)8在y軸上運(yùn)動時，連接OP,求OP的最小值.

18.如圖，RtAABC中，4B=4C=8,BO=點(diǎn)例為BC邊上一動點(diǎn)，將線段0M繞點(diǎn)。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)90°至ON,連接AMCN,則周長的最小值為.

BMC

19.如圖，已知線段A8=4,。為48的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中保持OP=1不變,

連接BP,將PB繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到PC,連接BC、AC,則線段AC長的最大值是.

三.類費(fèi)馬點(diǎn)問題（共8小題）

20.如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且抬=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)

后得到△CQ8,則NAP8的度數(shù).

21.已知，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,則SzviBC=

22.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)將△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,連接BP若見=2,

PB=4,PC=2V1則四邊形AP8Q的面積為.

23.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=4,PB=2?PC=2,則aABC的邊長為

A

B'

24.如圖，點(diǎn)P是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到點(diǎn)4、B、C的距離分別為2次、或、4,則正方形ABCO

的面積為

25.問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一

種基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧?，?/p>

互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖是邊長為1的等邊三角形,P為aABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接以、P8、PC,求出+P8+PC

的最小值.

圖1圖2圖3圖4圖5

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為

折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將48以繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60°至連接尸P、A'C,記A'C與A8交于點(diǎn)

D,易知ft4'=R4=BC=l,ZA'BC^ZA'BA+ZABC=nO°.BP'=BP,NPBP=60°,可知△P'BP

為正三角形，有PB=P'P.

故P4+PB+PC=P,A+P,P+PC>A,C=y/3.因此，當(dāng)P\P、C共線時，PA+PB+PC有

最小值是火.

學(xué)以致用：（1）如圖3,在△ABC中，/8AC=30°,AB=4,C4=3,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接力、

PB、PC,則%+P8+PC的最小值是.

（2）如圖4,在△ABC中，ZBAC=45Q,AB=20,CA=3,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，連接以、PB、

PC,求夜PA+PB+PC的最小值.

（3）如圖5,P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，Q為邊BC上一點(diǎn),連接PA.PD、PQ,求PA+PD+PQ

的最小值.

26.如圖，P為正方形ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，若48=2,則附+P8+PC的最小值為.

27.如圖，ZvlBC中，乙4BC=30°,AB=5,BC=6,P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接以、PB、PC,

則PA+PB+PC的最小值為.

A

八下旋轉(zhuǎn)壓軸題

參考答案與試題解析

等腰的旋轉(zhuǎn)應(yīng)用（共6小題）

1.如圖，在凸四邊形A3C。中，ZBAD=ZBCD=12O°,BC=CD=l2cm,則線段AC的長等于12cm.

【解答】解：連接AC,

VZBAD=ZBCD=120°,BC=CD,

???把△AC。繞點(diǎn)。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120。得到△EC3,使8與3c重合，連接AEBD,

：.AACD^AECB,ZACE=120°,

：.AC=EC,BE=AD,/CBE=ND,

t：ZBAD=ZBCD=nO°,

AZABC+ZD=\20°,

ZABC+ZCBE=l20°,即NABE=120°,

???NABE=NBAD.

在△ABE和△BA。中，

AB=BA

Z-ABE=乙BAD,

BE=AD

：.(SAS),

???NBAE=ZABD；

?:BC=CD,ZBCD=nO°,

：.ZCBD=ZCDB=30°,

VAC=EC,ZACE=120°,

???NCAE=NCE4=30°,

ZABC=ZABD+30°,ZBAC=ZBAE+300,

:.ZABC=ZBAC,

??AC=BC—12(777.

E

故答案為：12.

2.如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，。|,。2是其中兩個正方形的對角線交點(diǎn)，若把這樣的〃

個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為〃-1.

【解答】解：連接。山、O1G如圖：

???N801F+N尸。。=90°,ZFOiC+ZCOiG=90°,

：.ZBO\F=ZCO}G,

四邊形ABCD是正方形，

：.ZO\BF=ZO\CG=45Q,

在aoiB/和aoiCG中，

(40道=ZTO1G

］幽=CO1，

(4FBOi=乙GCO、

.,.△OiBF^AOiCG(ASA),

1

???O1、。2兩個正方形陰影部分的面積是7s正方形=1,

4

1

同理另外兩個正方形陰影部分的面積也是一S防彩=1,

4

.??把這樣的〃個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為(n-1).

故答案為：n-1

3.如圖，四邊形ABC。中，AC、8。是對角線，ZVIBC是等邊三角形，ZADC=30°,AD=4,BD=5,

則CD的長為3

【解答】解：如圖所示，將△BC。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4CE,連接CE,DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知。C=EC,ZDCE=ZACB=f>0°,BD=AE=5,

則△￡>CE為等邊三角形，

VZADC=30°,

：.ZADE=90°,

.\42+Z)E2-52,

：.DE=CD=3.

故答案為3.

*7二/Q

4.如圖’點(diǎn)。為等邊△4區(qū)外一點(diǎn)，ZADC=60?,連接m若短=8'讖。的面積為丁’則

BD的長為_"^_.

【解答】解：將△88順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至△ACE,連接OE,過點(diǎn)E作EF_LA。，交A￡）的延長線

于點(diǎn)F,

:,CD=CE,NECD=60°,

???△COE為等邊三角形，

/.ZCDE=ZCED=ZECD=60°,

VZADC=60°,

:./ADC=/ECD,

J.AD//CE,

???將△88順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至△ACE,

S/\BCD=S/\ACEf

_c_25總

,?3ACDE—、4BCD—―-?

VZADC=ZCD￡=60",

/.ZEDF=60°,

在RtZXFDE中，設(shè)。尸=a,RiJEF=y/3a,DE=CE=2a,

SACDE=x2axV3a=

解得：a=￡

.?.EF=學(xué),

■：AD=S,

???AF=8+/5長21,

：.AE=>JAF2+EF2=V129,

：.BD=AE=V129.

故答案為：AA129.

5.如圖，在RtZVlBC中，ZC=90°,NA=30°，點(diǎn)P在AC邊上，以點(diǎn)P為中心，將AABC順時針旋

V3-1

轉(zhuǎn)90°,得到△￡>￡下,OE交邊AC于G,當(dāng)P為中點(diǎn)時，AG：QG的值為.

D

【解答】解：設(shè)BC=x,

在RtZXABC中，乙4=30°,

.'.AB=2x,AC=A/SJC,

?.?點(diǎn)尸是AC中點(diǎn)，

/.PC=PA=^-x,

由旋轉(zhuǎn)得，DP=1DF=1AC=^X,DG=^DE=^AB^X,

根據(jù)勾股定理得，PG=勾DG2—DP2=Jx2—（當(dāng)1尸=%,

：.AG=AP-PG=堤-%，

DGX22

上心心以“V3-1

故答案為~~~?

6.如圖，點(diǎn)P為定角NAOB的平分線上的一個定點(diǎn)，且NMPN與NA08互補(bǔ)，若NMPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)

的過程中，其兩邊分別與OA、0B相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：(1)RW=PN恒成立；

(2)0M-ON的值不變：

(3)△OMN的周長不變；

(4)四邊形PMON的面積不變，

其中正確的序號為(1)(4).

【解答】解：如圖作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

?.?/PEO=/PBO=90°,

：.ZEPF+ZAOB=]SOC,,

'：ZMPN+ZAOB=\W°,

NEPF=NMPN,

：.NEPM=ZFPN,

,：OP平分乙408,PELOA于E,PFLOB于F,

：.PE=PF,

在△POE和△POF中，

(OP=OP

(PE=PF'

ARtAPOE^RtAPOF(HL),

：.OE=OF,

在APEM和△PFN中，

(/MPE=/NPF

IPE=PF>

3PEM=乙PFN

：./\PEM^/\PFN(ASA),

:.EM=NF,PM=PN,故(1)正確,

：，SAPEM=S/\PNF，

四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故（4）正確，

,：OM-ON=OE+EM-（OF-FN）=2EM,不是定值，故（2）錯誤，

,：OM+ON=OE+ME+OF-NF=20E=定恒,

在旋轉(zhuǎn)過程中，△PMN是等腰三角形，形狀是相似的，因?yàn)镻M的長度是變化的，所以MN的長度是

變化的，所以△OWN的周長是變化的，故（3）錯誤，

故答案為（1）（4）.

二.瓜豆原理（共13小題）

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，A（1,0）,B（3,0）,點(diǎn)P為y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，以線段布

為邊在用的右上方作等邊△APQ,連接QB,在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，線段。3長度的最小值為2.

【解答】解：如圖，將△ABQ繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到△ACP,連接8C,

：.AB=AC,BQ=PC,ZPAQ=ZBAC,

,/△ABC是等邊三角形

.?./B4Q=/BAC=60°,

ZVIBC是等邊三角形，

(1,0),B(3,0),

/.AB=3-1=2,

：.C(2,V3),即點(diǎn)C是定點(diǎn)，

.?.當(dāng)PC最小時，8Q最小，

.?.當(dāng)軸時，PC最小，最小值是2,

線段QB長度的最小值為2.

故答案為：2.

8.如圖，△ABC中，AB=8,AC=5,BC=7,點(diǎn)。在A8上一動點(diǎn)，線段CZ）繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得

3V3

到線段CE,則線段BE的最小值為十.

【解答】解：如圖，以BC為邊作等邊△BC7',過點(diǎn)T作TH±AB于H,過點(diǎn)C作CK1AB于K,設(shè)

CT交AB于點(diǎn)J.

ZECD=ZBCT=60°,

:.NECB=NDCT,

"：CE=CD,CB=CT,

：./\ECB^/\DCT(SAS),

：.BE=DT,

當(dāng)點(diǎn)。與H重合時，OT的值最小，此時BE的值最小，最小值=777的長,

"：CKLAB,

：.CK2=AC2-Ad=Bd-8K2,

A52-A^2=72-(8-AK)2,

；.AK=|,

：.AC=2AK,

c/o

AZACK=30°,NA=60°,CK=^AK=簽,

ZBCJ=ZA=60°,/CBJ=/ABC,

BCBJ

BA-BC

49

：.BJ=豆’

■:BK=AB-AK=苛,

…一4911_5

???=JCK2+JK2=J(歲)2+($2=率

3521

：.JT=CT-CJ=7-詈=全

?：THLAB,CK_LA3,

J.TH//CK,

.THTJ

??~，

CKC]

21

?TH~8

‘研二宜

~2~8

A777=

?BE的最小值為

解法二：如圖，過點(diǎn)。作于“，在C”的右側(cè)作等邊△C”G,連接EG,延長EG交AB于尸.

VZECD=ZHCG=60°,

:?/ECG=/DCH,

■:CE=CD,CG=CH,

???△CGEqdCHD(SAS),

:?NCGE=NCHD=9C,

；?/FHG=NFGH=30°,

:?/EFB=NFHG+NFGH=60°,

???點(diǎn)E在直線E尸上運(yùn)動，當(dāng)BELEF時，3E的值最小,

設(shè)A"=x,則有52-/=72-(8-x)2,

._5

??八一之，

：.AH=BH=S，CH=挈,HF=&,

：.BF=AB-AH-HF=3,

：.BE的最小值=BF?sin60°=等.

9.如圖，在△48C中，ZACB=90°,BC=2,NA=30°,將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,若P為

4B上一動點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,則線段PP'長度的最小值是（）

C.3D.2V3

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作C7/LPP于”,

,/將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,

；.NPCP=120°,CP=CP',

：.ZCPP'=30°,

■:CHLPP',

:.CH=；PC,PH=P'H=y/3CH=字PC,

：.PP'=6PC,

.?.當(dāng)PC_LA8B寸，PC有最小值，即PP有最小值,

此時，PC=\[3PB=^BC=V3,

線段尸P長度的最小值=V3xV3=3,

故選：c.

10.已知等邊△ABC的邊長為4,點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，將△A8P繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△4C。,

【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)可得N4CQ=N8=60°,

又,../ACB=60°,

.?./2CQ=120°,

?.?點(diǎn)。是AC邊的中點(diǎn)，

：.CD=2,

當(dāng)。QLCQfl寸，。。的長最小，

此時，ZCDQ=3Q°,

；.CQ=|CD=1,

：.DQ=V22-I2=V3,

二。。的最小值是遍，

故答案為K.

11.如圖，△ABC中，/A=30°,/ACB=90°,BC=2,。是AB上的動點(diǎn)，將線段CC繞點(diǎn)C逆時針

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CKL4B于K,將線段CK繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到C“，連接”E,

延長HE交AB的延長線于J.

■:NDCE=NKCH=90°,

NDCK=ZECH,

,:CD=CE,CK=CH,

：./\CKD^/\CHE(SAS),

；.NCKD=NH=90°,

〈NCKJ=NKCH=/H=90°,

四邊形CKJH是矩形，

"：CK=CH,

四邊形CKJH是正方形，

.?.點(diǎn)E在直線HJ上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E與1/重合時，8E的值最小，

在RtZXCBK中，?:BC=2,/ABC=60°,

.*.CK=BC.sin60°=V3,BK=BC?cos60°=1,

：.KJ=CK=y/3

：.BJ=KJ-BK=>/3-l,

的最小值為V5-1,

補(bǔ)充方法：4c上截取C尸=2,得三角形CFO全等于三角形C8E,。尸在。尸垂直AB時最小.

故選：A.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為8c上一點(diǎn)，且8E=1,尸為AB邊上的一個動點(diǎn)，連接E凡

以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG,連接CG,則CG的最小值為

【解答】解：如圖1,過點(diǎn)G作GPL4B于點(diǎn)P,GQLBC于點(diǎn)Q,連接

D

根據(jù)題意知，ZABC=90°,NPGQ=90°.

.??ZPGF+ZFGQ=ZQGE+ZFGQ=90°.

：.ZPGF=ZQGE.

又???△EFG是等腰直角三角形，且NFGE=90°,

:?GF=GE.

在AGPF與AGQE中,

(ZGPF=ZGQE=90"

JZ.PGF=乙QGE'

IGF=GE

：./\GPF^/\GQE(AAS).

1

GP=GQ,NGBP=NGBE=今/ABC.

.?.點(diǎn)G在B。所在的直線上運(yùn)動.

為A8邊上的一個動點(diǎn)，如圖2,

圖2

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)G的位置如圖所示.

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時，記點(diǎn)G的位置為G".

點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡為線段GG”.

過點(diǎn)C作CG'LBD于點(diǎn)、G'.

：.\CG\min=CG'=±BD.

?.?正方形ABC。的邊長為2,

：.BD=2yf2.

\CG\min=V2.

故答案是：V2.

13.如圖所示，RtZ\A5C中，N3=30°,AC=遍，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，N為AiBi

中點(diǎn)，則線段MN的最小值為（）

1

【解答】解：如圖，連接CM

在Rt^ABC中，VAC=4,/8=30°,；.AB=24C=2V5,BC=V14C=3,

13

?；CM=MB=扣。=熱

■:AiN=NBi，：.CN=^A\B\=V3,

■:MN-CN-CM,

AW>V3-|,即MA々百一I，

MN的最小值為百一I，

故選：B.

14.如圖，等邊△ABC中，8c=12,D為BC的中點(diǎn)，E為AABC內(nèi)一動點(diǎn)，DE=2,連接AE,將線段

AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AF,連接。F,則線段QF的最小值為.6V3-2

「△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

BO=CO=6,ADLBC

：.AD=7AB2-BD2=6V3,

..,將線段AE繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AF,

：.AE=AF,ZE4F=60°,

，/\AEF是等邊三角形，

：.AE=EF,ZAEF=6Qa,

?:ADEG是等邊三角形

：.DE=EG=3,NGED=60°=NAEF

NAEG=NFED,

在△AEG和△FED中，

(EA=EF

\z.AEG=乙FED,

(EG=ED

：./\AEG^/\FED(SAS'),

：.DF=AG,

'：AG^AD-DG,

當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)G,點(diǎn)。三點(diǎn)共線時，AG值最小，即。尸值最小,

DF最小值=4。-DG=6V3-2,

故答案為：6V3-2.

15.在RtZXABC中，NACB=90°,將△ABC繞頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△4'B'C,點(diǎn)M是8C的中

點(diǎn)，點(diǎn)P是A'B'的中點(diǎn)，連接PM.若BC=2,ZA=30°,線段PM長度的最大值是3.

：.AB=A,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A'B'=A8=4,

.?.A'P=PB',

：.PC=^A'B'=2,

?：CM=BM=T,

又；PMWPC+CM,即PMW3,

...PM的最大值為3（此時P、C、M共線）.

故答案為：3.

16.如圖，△ABC是等邊三角形，且AB=1,點(diǎn)”為直線BC上的一個動點(diǎn)，連接AM,將線段AM繞A

點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°至AO,點(diǎn)N為直線AC上的一個動點(diǎn)，則。、N兩點(diǎn)間距離的最小值為

2

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作于”，連接。M,DB,

1

：.AH=HC=AB=AC,N8AC=60。,

：.BH=yjAB2-AH2=1另=g,

y42

,/將線段AM繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°至AD,

：.AD=AM,ND4M=60°=NBAC,

.".ZMAC^ZDAB,S.AB=AC,AD^AM,

：./\ABD^AACM(SAS)

...NABC=NACB=60°,

點(diǎn)D在/A8c的外角的平分線上，

VZABD=ZBAC=60°,

：.AC//BD,

.,.當(dāng)ONLAC時，I)、N兩點(diǎn)間距離的最小值為BH=停，

故答案為：三.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-3,0),點(diǎn)B是)，軸正半軸上一動點(diǎn)，以AB為邊在AB的下方作

等邊△A8P,點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動時，連接OP,求OP的最小值.

【解答】解：如圖，以O(shè)A為對稱軸作等邊△AOE,連接EP,并延長EP交x軸于點(diǎn)凡

y

ZAED=60°,

：.A0=V3OE=3,

0E=V3,

AADE和△A3P是等邊三角形，

：.AB=AP,AD=AE,NBAP=NDAE=60°,

：.ZBAD=ZPAEt

在aAOB和△4￡P(guān)中，

AB=AP

Z-BAD=/-PAE

AD=AE

：./\AEP^/\ADB(SAS),

ZAEP=ZADB=\2Q0,

AZOEF=60°,

：?OF=WOE=3,NO尸E=30。,

???點(diǎn)尸在直線E尸上運(yùn)動，

當(dāng)OP_LE/時,。尸最小，

13

：.OP=^OF=^

則OP的最小值為|,

18.如圖，Rt/VLBC中，AB=AC=8,2。=點(diǎn)M為BC邊上一動點(diǎn)，將線段0M繞點(diǎn)。按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)90°至ON,連接AN、CN,則△CAN周長的最小值為8+4/1U.

【解答】解：如圖，作8c于H,NJLOH于J.

"：AB=AC,NBAC=90°,

AZABC=45°,

,/于”，

：.OH=BH,

'：0B=^AB,AB=8,

：.OB=2,

：.0H=BH=y/2,

?：OM=ON,NOHM=NNJ0=9G°,ZNOJ=ZOMH,

：./\OHM^/\NJO(AAS),

：.JN=OH=V2,

.??點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡是直線（該直線與直線O"平行，在?！ǖ挠覀?cè)，與0〃的距離是近，

作點(diǎn)C關(guān)于該直線的對稱點(diǎn)C',連接AC'交該直線于N',連接CN',此時△ACN'的周長最小,

作AG_LBC于G.

在Rt^AGC'中，AC=J(4V2)2+(8V2)2=4710,

△ACN的周長的最小值為8+4V10.

故答案為8+4-/10.

19.如圖，已知線段AB=4,。為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，在運(yùn)動過程中保持OP=1不變,

連接BP,將PB繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°到PC,連接BC、AC,則線段AC長的最大值是泛

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)C作。。J_y軸，垂足為。，過點(diǎn)P作PEJ_￡>C,垂足為E,延長EP交X

軸于點(diǎn)F.

???AB=4,。為A3的中點(diǎn)，

?"(-2,0),B(2,0).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則/+尸=1.

?；NEPC+NBPF=90°,/EPC+/ECP=9G°,

：.ZECP=ZFPB.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：PC=PB.

/ECP=ZFPB

在△ECP和△尸PB中，乙PEC=乙PFB，

、PC=PB

:?XECP義XFPB(A4S).

：.EC=PF=yfFB=EP=2-x.

AC(x+y,>H-2-x).

9：AB=4,。為A3的中點(diǎn)，

/.i4C=J(x+y+2)2+(y+2—=^2x2+2y2+8y4-8.

,.，X2+/=1,

：.AC=710+8y.

Y-0W1,

：.y/2SACW3V2.

線段AC長的最大值是3位，

當(dāng)故答案為：3V2.

三.類費(fèi)馬點(diǎn)問題（共8小題）

20.如圖，點(diǎn)尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且布=3,PB=4,PC=5,若將△APB繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)

后得到△CQ8,則NAP8的度數(shù)150°

【解答】解：連接PQ，由題意可知aABP絲△CBQ

則QB=P8=4,ft4=QC=3,NABP=NCBQ,

AABC是等邊三角形，

AZABC=ZABP+ZPBC=60°,

:.NPBQ=NCBQ+/PBC=60°,

：./\BPQ為等邊三角形，

：.PQ=PB=BQ=4,

又."。=4,PC=5,QC=3,

：.PQ2+QC2=PC2,

：.ZPQC=90°,

:ABPQ為等邊三角形,

ZBQP=60°,

ZBQC=ZBQP+ZPQC=150°

ZAPB=ZBQC=\50Q

C

25V3+36

21.己知，P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，以=3,PB=4,PC=5,則SAABC=

------4------

【解答】解：?.?△ABC為等邊三角形，

：.BA=BC,

可將△BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA,

連EP,且延長8P,作AFJ_BP于點(diǎn)F.如圖,

：.BE=BP=4,AE=PC=5,NPBE=60°,

...△BPE為等邊三角形，

：.PE=PB=4,ZBP￡=60°,

在AAEP中，AE=5,AP=3,PE=4,

：.AE1=PE2+PA2,

.?.△APE為直角三角形，且NAPE=90°,

AZAPB=90Q+60°=150°.

AZAPF=30°,

,在直角AAP尸中，AF=^AP=I，PF=^AP=

ofo23

??.在直角族中‘盤=8產(chǎn)+婚=(4+4)+(-)2=25+12叵

二AABC的面積=冬482=字（25+12g）=25^+36

25^+36

故答案為:

4

22.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)將繞點(diǎn)4順時針旋轉(zhuǎn)60°得至連接8P若以=2,

PB=4,PC=2?則四邊形APB。的面積為3次.

【解答】解：如圖，連接P。.

△ACP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ,

：.AP=AQ=2,PC=BQ=26,ZPAQ=6Q°,

是等邊三角形，

：.PQ=PA^2,

?；PB=4,

：.PB2=BQ^+PQ1,

...NPQB=90°,

；.S1M形APBQ=SAPBQ+SAAPQ="。3+空?A=|x2X2V3+^x4=3遮，

故答案為3V3.

23.如圖，P是等邊△4BC內(nèi)一點(diǎn)，PA=4,PB=2^3,PC=2,則△ABC的邊長為2幣.

【解答】解：作B4LPC于H,如圖,

:△ABC為等邊三角形，

J.BA^BC,N4BC=60°,

.?.把△ABP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD,連接PD,如圖,

：.CD=AP=4,BD=BP=2?ZPBD=60°,

:./\PBD為等邊三角形,

：.PD=PB=2y/3,ZBPD=60Q,

在△POC中，PC=2,PD=2?CD=4,

：.PC2+PD2=CD2,

...△PCD為直角三角形，ZCPD=90°,

：.ZBPC^ZBPD+ZCPD=\50Q,

；.NBPH=30°,

在中，ZBPH=30°,PB=28，

:.BH=3PB=痘,PH=V3BH=3,

：.CH=PC+PH=2+3=5,

在中，Bd=BH2+CH2=（V3）2+52=28,

：.BC=2y/7,

故答案為：2v7

24.如圖，點(diǎn)P是正方形A8CO內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到點(diǎn)A、B、C的距離分別為2次、魚、4,則正方形48CZ)

【解答】解：如圖，將△4BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBM,連接PM,過點(diǎn)B作于H.

DC

?:BP=BM=a,NPBM=90°,

，PM=42PB=2,

VPC=4,PA=CM=25

：.PC2=CM2+PM2,

：.ZPMC=90Q,

???NBPM=NBMP=45°,

AZCMB=ZAPB=135°,

；?/APB+NBPM=180°,

AA,P,M共線，

■:BH1PM,

:?PH=HM,

:?BH=PH=HM=1,

?"H=2次+1,

：.AB2=AH2+BH2=(2>/3+1)2+l2=14+4V3,

???正方形ABC。的面積為14+4^3.

解法二：連接AC,利用勾股定理求出AC即可.

故答案為14+4V3.

25.問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一

種基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校?/p>

互之間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖lAABC是邊長為1的等邊三角形,P為△4BC內(nèi)部一點(diǎn)，連接以、P8、PC,求力+PB+PC

的最小值.

B

圖1圖2圖3圖4圖5

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的折線（化星為

折），再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將43%繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60°至△3P4,連接PP、A