（人教B版2019必修第一冊） 數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 復(fù)習(xí)知識梳理+重點(diǎn)題型練習(xí)（學(xué)生版+解析版）

第二章等式與不等式

單元復(fù)習(xí)

【知識梳理】

一、等式的性質(zhì)、恒等式

(1)等式的性質(zhì)：①等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

②等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

(2)常見的代數(shù)恒等式

①(a+份2=42+2"+:2,

(a—b)2=a2—2ab-\-b2；

②。2一序=(a+O)g一加；

@a3-\-b3=；

a3—b3=(4一。)(次+"+。2).

二'方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為

這個(gè)方程的解集.

三、一元二次方程的解法

形如(X—左)2=/(/>0)的方程，兩邊開平方，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一

直接開平方法

次方程

把一元二次方程加+法+0=0(〃/0)通過配方化成(%—左)2=

配方法

(三0)的形式，再用直接開平方法求解

一元二次方程of+bx+cuOmWO)滿足〃一4〃C20,利用求

公式法加八t—b￡^—4ac

根公式L2a

一元二次方程的一邊為0,另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘

因式分解法積，即可化成(冗+機(jī))(x+〃)=0(〃W0)的形式，即可解得兩根為：

xi=—m,X2=~n

四、不等關(guān)系與不等式

⑴不等關(guān)系與不等式

用數(shù)學(xué)符號“W”“三”“W”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)

系，含有這些不等號的式子，稱為不等式.

⑵比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小

任意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,那么

a—b<G=a<b,a—b=boa=b,a—b>O=a>b.

五、不等式的性質(zhì)及推論

⑴不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名內(nèi)容

性質(zhì)1可加性+c>b+c

性質(zhì)2a>b,c>O=>ac>bc

可乘性

性質(zhì)3a>b,c<O=>ac<bc

性質(zhì)4傳遞性a>b,b>c=>a>c

性質(zhì)5對稱性a>b<^b<a

⑵不等式的推論

推論別名內(nèi)容

推論1移項(xiàng)法則a+b>c=a>c—b

推論2同向不等式相加a>b,c>d=>a+c>b+d

推論3同向不等式相乘a>b>0,c>d>Q=>ac>bd

推論4可乘方性a>b>Q=>an>bn(n￡N,n>l)

推論5可開方性a>b>O=>y[a>y[b

六、集合的基本概念

⑴不等式的解集

不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.

⑵不等式組的解集

對于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解

集.

七'絕對值不等式

⑴絕對值不等式的概念

一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

⑵兩種簡單的絕對值不等式的解集

①關(guān)于x的不等式國＞機(jī)（m＞0）的解為x＞機(jī)或機(jī)，解集為（一8,—m）U（m,+°°）；

②關(guān)于x的不等式|x|＜加（加＞0）的解為一機(jī)＜x＜"z,解集為（一"z,m）.

⑶數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式

①一般地，如果實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,即A（a）,B（b）,則線段A3的長為

AB=\a-b\,這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式.

②如果線段A3的中點(diǎn)〃對應(yīng)的數(shù)為x,即M（x）,貝1］》=叼^；這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

八、一元二次不等式的解法

⑴一般地，形如ad+加:+°＞0的不等式稱為一元二次不等式,其中a，b，c是常數(shù)，而且aWO.

⑵求一元二次不等式解集的方法

①因式分解法

一般地，如果X1＜X2,則不等式（X—X1＞（X—X2）＜0的解集是（XI,X2）,不等式（》一X1）（X—X2）＞0

的解集是（一8,xi）U（X2,+8）.

②配方法

一元二次不等式ad+Ox+cXXaWO）通過配方總是可以變?yōu)椋▁—/?）2＞左或（%—/?）2＜左的形式，

然后根據(jù)左的正負(fù)等知識，就可以得到原不等式的解集.

九、分式不等式的解法

分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式.各種分式不等式經(jīng)過同解變形，都可化為標(biāo)準(zhǔn)形

,、ax+。、，、ax+。_

式普＞°伊°）或彳R（w°）.

十、均值不等式

⑴兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值、幾何平均值定義

給定兩個(gè)正數(shù)a,b,數(shù)審稱為a,6的算術(shù)平均值；數(shù)跑稱為a,6的幾何平均值.

⑵均值不等式

如果a,6都是正數(shù)，那么審蕓麗，當(dāng)且僅當(dāng)a=O時(shí),等號成立.

十一、均值不等式與最大（?。┲?/p>

（1）已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積砂有最大值上.

（2）已知x,y都是正數(shù)，如果積砂等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、但.

【熱考題型】

【考點(diǎn)11等式的性質(zhì)與方程的解集

一、單選題

1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列因式分解正確的是（）

A.x｛x-1）=x2-xB.（2x+l）（x-1）=2x2-x-1

C.5x2-2x-3=（x+l）（5x-3）D.5%?—2元-3=（x-l）（5%+3）

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是（）

A.如果a=Z?,那么a+c=Z?—cB.如果々2=6〃，那么〃=6

nhnh

C.如果a=〃，那么g=2D.如果q=那么ai

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列各數(shù)中，不屬于方程,-44而1=0的解集的是（）

4.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題:

"今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三二稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五

關(guān)所稅，適重一斤，問本持金幾何？”其意思為：今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的：，第2關(guān)收

稅金為剩余金的;，第3關(guān)收稅金為剩余金的;，第4關(guān)收稅金為剩余金的：，第5關(guān)收稅金為剩余金的;，

3456

5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤，則此人總共持金（）

A.2斤B.一斤C.一斤D.—斤

5510

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）歐幾里得的《幾何原本》，形如無2+奴=〃的方程的圖解法是：畫RtABC,

?ZACB=90°,AC=b,BC=^,在斜邊A3上截取8。=￡,則該方程的一個(gè)正根是（）

ADB

A.AC的長B.AD的長C.BC的長D.8的長

6.（2023?全國,高一專題練習(xí)）已知集合4=卜|2%2-尤-3=。｝,3=｛尤|加-x-3=。｝,若B三A,則實(shí)數(shù)a

的取值集合為（）

A.{2}B.{2,0}D.{2}

二、多選題

7.（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高一揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若^+*=（尤+〃）（￡一辦+9）對任意實(shí)數(shù)x都

成立，則實(shí)數(shù)?？赡艿闹凳牵ǎ?/p>

A.-9B.9C.-3D.3

8.（2023秋?福建寧德?高一福建省寧德第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若x2+xy—2y2=0,則『+產(chǎn)：、的值可

x+y

以為（）

5115

A.——B.——C.—D.—

2552

三、填空題

9.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）方程爐-2=0的解集為.

10.（2023春?上海嘉定?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知xeR,方程|x+1+|2-x|=3的解集為.

11.（2023,上海?高一專題練習(xí)）若2/+3x+5=a（2x+l）（x+l）+6恒成立，則4+6的值____.

四、解答題

12.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）己知關(guān)于x的方程4（x-2）=ar的解為正整數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值集合.

13.（2023,高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)a、beR,求關(guān)于尤的方程2ax=46+x+l的解集.

14.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知等式犬+7〃y+3=O對任意實(shí)數(shù)施恒成立，求所有滿足條件的實(shí)數(shù)

對（X，＞）的集合.

【考點(diǎn)2】一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

一、單選題

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程/—小+/一3=。的解集只有一個(gè)元素，則m的值為（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

2.⑵23秋廣東揭陽?高一校考期末）如果方程加+法_2=0的解為＞2,則實(shí)數(shù)a力的值分別是（）

A.-4,-9B.-8,-10C.-1,9D.-1,2

3.（2023秋?山東濟(jì)寧,高一嘉祥縣第一中學(xué)?？计谀┤艏樱M足m2_3m一1=0,H2-3n-l=0?且mW幾，

則上+絲的值為（）

mn

A.-11B.-9C.9D.11

4.（2023秋?貴州遵義?高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程/+（2Z-1）無+%2_1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根不,.若

%，%2滿足/+君=16+%%2，則實(shí)數(shù)人的取值為（）

35

A.—2或6B.6C.-2D.-

4

5.（2023春?浙江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知p,q是關(guān)于x的一元二次方程ax之一3+2）%+4〃=0的兩根,

其中a,6wR,則（"-勿+甸的2-的+甸的值（）

A.僅與。有關(guān)B.僅與b有關(guān)

C.與。6均有關(guān)D.是與ab無關(guān)的定值

6.（2023秋?遼寧撫順?高一撫順一中校考階段練習(xí)）若下列3個(gè)關(guān)于x的方程尤2一?+9=0,爐+6一2口=0,

V+S+1）龍+：=0中最多有兩個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（^?,-4]U[0,+oo）B.（-oo,6]u[2,+oo）

C.（-co,^l]L[2,-H?）D.（-4,0）

二、多選題

7.（2023春?安徽六安?高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=/-4彳+。有兩個(gè)零點(diǎn)七，巧，則（）

A.。＜4B.無i＜0且馬＜。

114

c.若西無2*0,則一+—=—D.函數(shù)y=/（|x|）有四個(gè)零點(diǎn)或兩個(gè)零點(diǎn)

8.（2023春?黑龍江大慶?高一大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于無的方程62+灰+。=0（。70）,下列說法

正確的是（）

A.若方程有兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)根，則6=0

B.若方程灰+c=o沒有實(shí)數(shù)根，則方程加+6尤_°=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.若二次三項(xiàng)式依2+法+（?是完全平方式，則尸-4公=0

D.若c=0,則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

三、填空題

9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若方程2x（依-4）-/+6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則上可取的最大整數(shù)值

是.

10.（2023?上海?高一專題練習(xí)）已知。、尸是關(guān)于x的方程％2-2府+病-4=0（〃2€用的兩個(gè)根，貝1]

11.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知看,三是關(guān)于x的一元二次方程爐-（2機(jī)+3）x+療=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

11,

并且滿足一+—=1,則實(shí)數(shù)加為__________

%]x2

四、解答題

12.（2023春?黑龍江大慶?高一大慶中學(xué)校考開學(xué)考試）若毛、々分別是一元二次方程2/+敘-3=0的兩

根，求下列代數(shù)式的值:

11

⑴，;

⑵歸-可;

⑶X+X2-

13.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）已知方程――2缶+1=0的兩根為々與巧，求下列各式的值：

2211

（1）野馬+玉石；（2）不+丁.

14.（2023?上海?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程/-於左-l）x+左2+左_]=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求上的取值范圍；

（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根%超滿足%2+W=11，求上的值.

【考點(diǎn)3】方程組的解集

一、單選題

⑵：_5y=3

1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）方程組0.c的解集為（）

\x-2y=2

A.(1,4)B.(4,1)C.{(1,4)}D.{(4,1)}

[x-2y-3z=0

2.(2023?高一課時(shí)練習(xí))已知非零實(shí)數(shù)MV/滿足《則%:y:z=()

[2x-y+3z=0

A.1:1:3B.3:3:1C.3:3:(-1)D.l：l：(-3)

\ax+5y=7

3.（2。23?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組“的解集為3I）｝,則―（)

A.1B.5C.6D.7

、.fox-3y=9

4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x,y的方程組。/的解集，不正確的說法是（）

[x—2y=6

A.可能是空集B.可能是無限集C.可能是單元集D.可能是｛（0,-3）｝

、.|x-2y-3z=0

5.(2023?江蘇?高一專題練習(xí))方程組。/,八的解集可表示為()

\2x-y+3z=0

A.,(x,yz)I%=gz,y=!z,z￡R|B.，(羽y,z)b=-gz,y=—《z,z￡R

C.{(x,y,z)\x=3z,y=3z,zeR}D.{(羽y,z)I%=—3z,y=—3z,z￡R}

6.（2023秋?廣西南寧?高一?？奸_學(xué)考試）《九章算術(shù)》中記載：〃今有共買羊，人出五，不足四十五；人出

七，不足三問人數(shù)、羊價(jià)各幾何?〃其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢,

還差3錢;，根據(jù)題意，可列方程組為

卜=5x+45\y=5x-45

*[y=7x+3?[y=lx+3

Jy=5x+45Jy=5x—45

Cjy=7尤_3D.jy=7x—3

二、填空題

fy=2x+3

7.（2023?高一單元測試）若關(guān)于x、y的二元一次方程組，,,的解集為0,則實(shí)數(shù)后=____.

[y=kx+\

8.（2023?上海,高一■專題練習(xí)）已知x，y，z是非負(fù)整數(shù)，且x+y+z=10,尤+2y+3z=30,貝!|x+5y+3z的范

圍是—

9.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）你知道嗎？配平化學(xué)方程式其實(shí)可以通過解方程組來完成.例如，Mg在。2中

燃燒生成MgO,可以設(shè)方程式為皿+yQ邈zAfeO,其中尤、V、z均為正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1.

\X=Z

由方程式兩邊的同種原子數(shù)目相等可得c,令y=l,貝ljz=2,X=2.因此，配平后的化學(xué)方程式為

[2y=z

2%+。2堡2吸O.用這種方法配平化學(xué)方程式（）既+（）H2O=（）Fe3O4+（）凡個(gè).

三、解答題

10.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）求下列方程組的解集：

Sc2（x—3y）+1=0

2x+y=0、））

⑴k；14；⑵31<°-

\3x—2y=14-------5y=3

11.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程/_2依+左2-左-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根占,馬.

⑴若左=5,求網(wǎng)*的值;

（2）若占-3%=2,求實(shí)數(shù)％的值.

12.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）某校新成立A、8兩個(gè)社團(tuán)，第一年社團(tuán)成員數(shù)相同，以后每年A社團(tuán)以

相同的增長率招收新成員，而5社團(tuán)每年都招收第一年成員數(shù)的80%.已知第二年A、5兩個(gè)社團(tuán)成員數(shù)之

和為310,第三年A社團(tuán)成員數(shù)是8社團(tuán)成員數(shù)的0.65倍.試求A社團(tuán)成員數(shù)的增長率及B社團(tuán)每年招收的成

員數(shù).

【考點(diǎn)4]不等式及其性質(zhì)

一、單選題

1.（2023春?云南昆明?高一統(tǒng)考期末）"/>0"是"2+?22”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列命題中，是真命題的是（）

A.如果<?c>bc,那么B.如果a2>秘2,那么

Qb

C.如果一>—,那么a>bD.如果a>>,c>d,那么a-c>〃一d

cc

{\<a+b<3

3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知a,6e7?且滿足〈，，，，則4a+2b的取值范圍是（）

[-1<a-b<\

A.。⑵B.[4,10]C.[2,10]D.[2,8]

4.（2023-|W）一■課時(shí)練習(xí)）已知a<6,x=a3—b,y=a~b—a,則x,V的大小關(guān)系為（）

A.x>yB.x<yc.x=yD.無法確定

5.（2023■全國,高一■專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）

A.若。<6<0,貝!|m2<瓦2B.若。<b<0,則6c6?

C.若a>b,c>d,貝!Jac>6dD.若q>6>c>0,貝!]￡<￡

ab

6.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它

是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長與右盤物品質(zhì)量

的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的祛

碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將5g的祛碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之

平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

二、多選題

7.（2023秋?廣東深圳?高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a,"c,d均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確

的是（）

A.若a>&c>d貝!|a—d>b—c.

B.若a>"c>d貝！Jac>.

nh

C.^a>b,c>d>0,則一〉一

dc

,八7j?Cd

D.attb>0,bc-ad>0,則n一〉一

ab

8.（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）

7cb+m

A.右a〉Z?〉0,m>0,則一<----B.若a>b,則a/〉。/

aa+m

C.若a>5>0,則Q+力H—D.若26￡7?,則

ba2

三、填空題

9.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若2<&<5,貝|2a—3》+1的取值范圍為.

10.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知-lv%+y<4,2<x-y<4,則3x+2y的取值范圍是

IL（2023?全國?高三專題練習(xí)）若龍，y^R,設(shè)M—2孫+3V一工+y,則M的最小值為

四、解答題

1—2x1—2%

12.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知馬>再>-5,證明：——7<——

x2+5石+5

13.（2023?全國?高一專題練習(xí)）（1）設(shè)a>6>0,比較『1與g的大小；

a-+ba+b

（2）已知a>b>0,c<d<0,e<0,求證：?>——.

a-cb-d

【考點(diǎn)5】不等式的解集

一、單選題

1.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于X的不等式辦<1的解集，下列說法不正確的是（）

A.可能為0B.可能為RC.可能為1，+國］D.可能為［-鞏

2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式加-|x|N0的解集是［-1,1］,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合為（）

A.{1}B.C.D.（0,1）

3.（2023春?山西大同?高二山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀┰O(shè)xeR,則"0<x<5"是朱-［<1"的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

l+x<a

4.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若不等式組x+9,x+l，有解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

123

A.a<-36B.aW-36

C.a>—36D.a、—36

5.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下表是某次運(yùn)動(dòng)會三種球類比賽的門票價(jià)格，某球迷賽前準(zhǔn)備用1200元預(yù)訂15

張這三種球類比賽的各種門票，其中籃球比賽與乒乓球比賽的門票張數(shù)相同，且籃球比賽門票的費(fèi)用不超

過足球比賽門票的費(fèi)用.則可預(yù)訂的足球比賽門票的張數(shù)為（）

比賽項(xiàng)目足球籃球乒乓球

門票價(jià)格（元）1008060

A.5B.6C.9D.10

二、填空題

6.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于尤的不等式（片—1）尤4”1的解集為0,則。=

7.（2023?全國,高一■專題練習(xí)）不等式|尤-1|H------->%—1H--------的解集為__________-

x+1x+1

8.（2023春?遼寧鐵嶺?高二昌圖縣第一高級中學(xué)校考期末）李明經(jīng)營一家水果店，為增加銷量，李明制定了

兩種促銷方案.方案一：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到100元,顧客就少付尤元.方案二：每筆訂單按八折銷售.在

促銷活動(dòng)中，某顧客購買水果的總價(jià)為120元，該顧客通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)選擇方案二所付金額不高于選擇方案

一所付金額，則x的最大值為元.

三、解答題

9.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如果關(guān)于X的不等式組的整數(shù)解僅有1,2,試求整數(shù)a,b的所有可能

的值.

10.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）解不等式組《

3（2訊>一1）<1?

11.（2023?全國?高一隨堂練習(xí)）已知數(shù)軸上，A（-l）,B（x）,C（6）.

（1）若A與C關(guān)于點(diǎn)B對稱，求X的值；

（2）若線段AB的中點(diǎn)到C的距離小于5,求x的取值范圍.

【考點(diǎn)6]一元二次不等式的解法

一、單選題

1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若〃<0,則關(guān)于x的不等式的解集為（）

A.]x2<%<—>B.\x—<x<2>

2.（2023秋?天津河西?高三天津市第四中學(xué)?？计谀┮阎}p:*<2x+3和命題q：|無-1區(qū)2,貝ijp是4

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知使不等式/+（a+l）x+a40成立的任意一個(gè)x,都滿足不等式3x-lV0,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

—,+00—,+00

33

4.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式％2-（7W+3）X+3〃2<0的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍為（）

A.[-2,-1）B.（3,4）C,（5,6]D.（6,7]

5.（2023秋?福建福州?高一?？奸_學(xué)考試）不等式上二121的解集是（）

2x+l

A.[4,3]B.C-H，3}D.d

6.（2023秋?高一單元測試）“不等式V一彳+根>0在R上恒成立”的必要不充分條件是（）

11

A.m>0B.m<—C.m<lD.m>—

44

二、多選題

7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次不等式加-（2。-1卜-2>0,其中.<0,則該不等式的解

集可能是（）

A.0B.（2,一：JC.-）卜（2,+co）D.1一：』

8.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式加+灰+c>o的解集為（一'一2）53,+?）,則（）

A.a>Q

B.不等式Zzx+c〉0的解集是{X|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式cd-Zw+acO的解集為（-8,-g）D（g,+co）

三、填空題

9.（2023?全國,高三專題練習(xí)）不等式62+彳+1>。的解集為（祖,1）,則機(jī)=.

10.（2023秋?高一課時(shí)練習(xí)）若實(shí)數(shù)尤、y滿足孫=1,則無+y的最大值是.

11.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知方程YYZa+Dx+aS+lh。的兩根分別在區(qū)間（0,1）,（1,3）之內(nèi)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題

12.（2023秋?陜西漢中?高二統(tǒng)考期末）設(shè)。：實(shí)數(shù)x滿足爐-2依-3a2<0（。>0）,q:2c尤<4.

⑴若。=i,且乙q都為真命題，求x的取值范圍；

⑵若q是。的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

13.（2023春?山東濟(jì)寧?高二嘉祥縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合

A={%|-l<x<2},B={x|m-l<x<m+l}.

⑴若〃xe5〃是〃xeA〃的充分不必要條件，求機(jī)的取值范圍；

（2）若-2尤一〃+120成立，求a的取值范圍.

14.（2023秋?安徽滁州?高一?？计谀┤舨坏仁剑?-，）/一4%+6>0的解集是何-3〈犬<1}.

⑴解不等式2工2+（2-d）x-a>0；

⑵b為何值時(shí)，以2+公+32。的解集為艮

【考點(diǎn)7】均值不等式及其應(yīng)用

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若乃>0,且〃</?,則下列不等式一定成立的是（）

A.a2<b2B."<v

ab

2.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知x>0,>>。，且丁+—=1,則％+y的最小值為（）

（2023,全國?IWJ—*專題練習(xí)）已知0<xv4,則J%（4-力的最大值為（

C.V2

3

4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知0<無<辛則必3-2%）取得最大值時(shí)x的值為（）

2Q

5.（2023秋,寧夏銀川?高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a>0,b>0,且。+〃=2,則一：+一的

Q+1Z7+1

最小值是（

6.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方

數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之

為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)歹在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A3上，S.OF1AB,設(shè)AC=。，BC=b,

則該圖形可以完成的無字證明為（）

F

B.a2+b2>2y[ab(?>0,Z?>0)

aka+bla2+b2

C.<yfab(a>0,b>0)D7

a+b-三氣力>°)

二、多選題

7.（2023春?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí)）已知。力￡（0,出）/=。+"4=屈，則（）

A.A-//<0B.幾―〃之0

C.巴D.匕>西

2222

8.（2023春?湖南長沙?高二長郡中學(xué)?？计谀┰O(shè)正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y=l,則（）

A.孫的最大值是5

4

21

B.一+—的最小值是9

元y

c.4'2+y2的最小值為5

D.7^+77的最大值為④

三、填空題

19

9.（2023春?山東濟(jì)寧?高二?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)mb滿足必=4,則一+：的最小值為____.

ab

10.（2023?全國?高一專題練習(xí)）若不等式必+改+420對一切無￡口,31恒成立，則〃的最小值為.

11.（2023春?河南鶴壁?高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)％,y滿足4%+y-肛=。，且不等式

孫2/-6加恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

四、解答題

12.（2023秋?全國?高一*專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)。/滿足2〃+〃=必.

（1）求a+2b的最小值；

⑵求就的最小值.

13.（2023春?山西運(yùn)城?高二校考階段練習(xí)）為持續(xù)推進(jìn)〃改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村〃，某村委

計(jì)劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影

部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米.

⑴若矩形草坪的長比寬至少多5米,求草坪寬的最大值;

⑵若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個(gè)綠化面積的最小值.

14.（2023?四川雅安,統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知a>0,b>0,且a+b=4,證明:

(1)3<72+Z72>12；

,、149

(2)----+->-.

a+\b5

第二章等式與不等式

單元復(fù)習(xí)

【知識梳理】

一、等式的性質(zhì)、恒等式

(1)等式的性質(zhì)：①等式的兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

②等式的兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立.

(2)常見的代數(shù)恒等式

①(a+份2=42+2"+:2,

(a—b)2=a2—2ab-\-b2；

②。2一序=(a+O)g一加；

@a3-\-b3=；

a3—b3=(4一。)(次+"+。2).

二'方程的解集

方程的解(或根)是指能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.把一個(gè)方程所有解組成的集合稱為

這個(gè)方程的解集.

三、一元二次方程的解法

形如(X—左)2=/(/>0)的方程，兩邊開平方，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一

直接開平方法

次方程

把一元二次方程加+法+0=0(〃/0)通過配方化成(%—左)2=

配方法

(三0)的形式，再用直接開平方法求解

一元二次方程of+bx+cuOmWO)滿足〃一4〃C20,利用求

公式法加八t—b￡^—4ac

根公式L2a

一元二次方程的一邊為0,另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘

因式分解法積，即可化成(冗+機(jī))(x+〃)=0(〃W0)的形式，即可解得兩根為：

xi=—m,X2=~n

四、不等關(guān)系與不等式

⑴不等關(guān)系與不等式

用數(shù)學(xué)符號“W”“三”“W”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)

系，含有這些不等號的式子，稱為不等式.

⑵比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小

任意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b,那么

a—b<G=a<b,a—b=boa=b,a—b>O=a>b.

五、不等式的性質(zhì)及推論

⑴不等式的性質(zhì)

性質(zhì)別名內(nèi)容

性質(zhì)1可加性+c>b+c

性質(zhì)2a>b,c>O=>ac>bc

可乘性

性質(zhì)3a>b,c<O=>ac<bc

性質(zhì)4傳遞性a>b,b>c=>a>c

性質(zhì)5對稱性a>b<^b<a

⑵不等式的推論

推論別名內(nèi)容

推論1移項(xiàng)法則a+b>c=a>c—b

推論2同向不等式相加a>b,c>d=>a+c>b+d

推論3同向不等式相乘a>b>0,c>d>Q=>ac>bd

推論4可乘方性a>b>Q=>an>bn(n￡N,n>l)

推論5可開方性a>b>O=>y[a>y[b

六、集合的基本概念

⑴不等式的解集

不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.

⑵不等式組的解集

對于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說，這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解

集.

七'絕對值不等式

⑴絕對值不等式的概念

一般地，含有絕對值的不等式稱為絕對值不等式.

⑵兩種簡單的絕對值不等式的解集

①關(guān)于x的不等式國＞機(jī)（m＞0）的解為x＞機(jī)或機(jī)，解集為（一8,—m）U（m,+°°）；

②關(guān)于x的不等式|x|＜加（加＞0）的解為一機(jī)＜x＜"z,解集為（一"z,m）.

⑶數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式及線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式

①一般地，如果實(shí)數(shù)a,6在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,即A（a）,B（b）,則線段A3的長為

AB=\a-b\,這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式.

②如果線段A3的中點(diǎn)〃對應(yīng)的數(shù)為x,即M（x）,貝1］》=叼^；這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

八、一元二次不等式的解法

⑴一般地，形如ad+加:+°＞0的不等式稱為一元二次不等式,其中a，b，c是常數(shù)，而且aWO.

⑵求一元二次不等式解集的方法

①因式分解法

一般地，如果X1＜X2,則不等式（X—X1＞（X—X2）＜0的解集是（XI,X2）,不等式（》一X1）（X—X2）＞0

的解集是（一8,xi）U（X2,+8）.

②配方法

一元二次不等式ad+Ox+cXXaWO）通過配方總是可以變?yōu)椋▁—/?）2＞左或（%—/?）2＜左的形式，

然后根據(jù)左的正負(fù)等知識，就可以得到原不等式的解集.

九、分式不等式的解法

分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式.各種分式不等式經(jīng)過同解變形，都可化為標(biāo)準(zhǔn)形

,、ax+。、，、ax+。_

式普＞°伊°）或彳R（w°）.

十、均值不等式

⑴兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值、幾何平均值定義

給定兩個(gè)正數(shù)a,b,數(shù)審稱為a,6的算術(shù)平均值；數(shù)跑稱為a,6的幾何平均值.

⑵均值不等式

如果a,6都是正數(shù)，那么審蕓麗，當(dāng)且僅當(dāng)a=O時(shí),等號成立.

十一、均值不等式與最大（?。┲?/p>

（1）已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積砂有最大值上.

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果積砂等于定值P,那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2、但.

【熱考題型】

【考點(diǎn)11等式的性質(zhì)與方程的解集

一、單選題

1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))下列因式分解正確的是()

A.x{x-1)=x2-xB.(2x+l)(x-1)=2x2-x-1

C.5x2-2x-3=(x+l)(5x-3)D.5%?—2元-3=(x-l)(5%+3)

【答案】D

【分析】逐項(xiàng)分解因式可得答案.

【詳解】對于A,應(yīng)該是f_%=舊_1),故A錯(cuò)誤

對于B,應(yīng)該是2%2_%_1=(2%+1)(%-1),故B錯(cuò)誤；

對于C,—2x—3=(%—1)(5%+3),故C錯(cuò)誤；

對于D,5%2一2%-3=(工-1)(5%+3),故D正確.

故選：D.

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))下列運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形中，正確的是()

A.如果。=力，那么a+c=b—cB.如果々2=6〃，那么0=6

C.如果“=》，那么q=2D.如果0=2,那么”=人

CCCC

【答案】D

【分析】取c*0,可判斷A；Y=6aoa=6或。=0,可判斷B；取c=0,可判斷C；利用等式的性質(zhì),

可判斷D

【詳解】選項(xiàng)A,當(dāng)"0時(shí)，