云南省保山市智源高級中學2023-2024學年高一下學期第三次月考 數學試題【含答案】

保山市智源中學2023-2024學年下學期高一年級第三次月考數學試卷（閉卷考試，考試時間120分鐘，全卷滿分150）注意事項：1、答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、班級、考場號、座位號在答卡上填寫清楚.2、每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案的標號.在試卷上作答無效.一、單項選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1．設全集，，則為（

）A． B． C． D．2．若復數，則的虛部是（

）A． B． C． D．3．關于直線、及平面、，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則4．宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（

）A． B． C． D．5．函數的圖像大致為（

）A． B．C． D．6．如圖，點是的重心，點是邊上一點，且，，則（

）A． B． C． D．7．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊繞點逆時針旋轉后，經過點，則（

）A． B． C． D．8．經過簡單隨機抽樣獲得的樣本數據為，且數據的平均數為，方差為，則下列說法正確的是（

）A．若數據，方差，則所有的數據都為0B．若數據，的平均數為，則的平均數為6C．若數據，的方差為，則的方差為12D．若數據，的分位數為90，則可以估計總體中有至少有的數據不大于90二、多項選擇題(本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.)9．已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（

）A． B．C． D．10．下列選項中正確的是（

）A．某學生在上學的路上要經過個路口，假設在各個路口是否遇到紅燈是相互獨立的，且各個路口遇到紅燈的概率都是，那么該學生在第個路口首次遇到紅燈的概率為B．甲、乙、丙三人獨立地破譯一份密碼，他們能單獨破譯的概率分別為、、，假設他們破譯密碼是相互獨立的，則此密碼被破譯的概率為C．先后拋擲枚質地均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標有數字、、、、、）骰子向上的點數分別為、，則的概率為D．設個獨立事件和都不發(fā)生的概率為，發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相同，則事件發(fā)生的概率是11．如圖，在四邊形中，，將沿進行翻折，在這一翻折過程中，下列說法正確的是（

）

A．始終有B．當平面平面時，平面C．當平面平面時，直線與平面成角D．當平面平面時，三棱錐外接球表面積為三、填空題(本題共3個小題，每小題5分，共15分.)12．抽樣統計某位射擊運動員10次的訓練成績分別為，則該運動員這10次成績的分位數為.13．已知，則.14．已知函數，則函數的零點個數為.四、解答題(本題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15．已知函數（1）求函數的單調區(qū)間（2）若函數的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位后得到函數的圖象，當，求函數的值域16．某學校為了解本校歷史?物理方向學生的學業(yè)水平模擬測試數學成績情況，分別從物理方向的學生中隨機抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學生中隨機抽取人的成績得到樣本乙，根據兩個樣本數據分別得到如下直方圖：已知乙樣本中數據在的有10個.(1)求和乙樣本直方圖中的值；(2)試估計該校物理方向的學生本次模擬測試數學成績的平均值和歷史方向的學生本次模擬測試數學成績的中位數（同一組中的數據用該組區(qū)間中點值為代表）.(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數據中分數在和的學生中抽取6人，并從這6人中任取2人，求這兩人分數都在中的概率.17．已知的內角A，，的對邊分別是，，，的面積為，且滿足．(1)求角A的大??；(2)若，求周長的最大值．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，E為AP的中點，為等邊三角形．(1)求證：；(2)在棱上是否存在一點F，使平面PBF，若存在，求點F到平面PBD的距離；若不存在，請說明理由．19．若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使成立，則稱該函數為“依賴函數”.(1)判斷函數是否為“依賴函數”，并說明理由；(2)若函數在定義域（）上為“依賴函數”，求的取值范圍；(3)已知函數在定義域上為“依賴函數”.若存在實數，使得對任意的，不等式恒成立，求實數的最大值.1．A【分析】根據全集求出的補集即可.【詳解】，，.故選：A.2．C【分析】先根據復數的運算求得，再得到虛部即可.【詳解】由題意，可得，故的虛部為.故選：C.3．B【分析】根據條件判斷各選項即可.【詳解】對于A，若，，則或與異面，故A錯誤；對于B，若，，則存在直線，使得，且，則，故，故B正確；對于C，若，，則，或，故C錯誤；對于D，若，則不一定得到，故D錯誤.故選：B.4．D【分析】求出上下圓臺的高，利用臺體體積公式求出答案.【詳解】上、下兩圓臺的高之比是，故上圓臺的高為厘米，下圓臺的高為厘米，故上圓臺的體積為立方厘米，下圓臺的體積為立方厘米，故該汝窯雙耳罐的體積為立方厘米.故選：D5．A【分析】根據奇偶性以及時的正負即可判斷.【詳解】函數的定義域為，且，，是奇函數，排除選項C和D，當時，，排除選項B.故選：A．6．C【分析】延長交于，根據題意，得到且，再由，可得是的四等分點，根據向量的運算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長交于，由已知為的重心，則點為的中點，可得，且，又由，可得是的四等分點，則，因為，所以，，所以．故選：C.7．A【分析】根據角的概念以及三角函數的定義，可得和，再根據以及兩角和的正弦公式計算可得答案.【詳解】∵角的終邊按逆時針方向旋轉后得到的角為，所以由三角函數的定義，可得：，，∴，故選：A.8．C【分析】根據數據的平均數，方差，百分位數的性質逐項進行檢驗即可判斷.【詳解】對于，數據的方差時，說明所有的數據都相等，但不一定為，故選項錯誤；對于，數據，的平均數為，數據的平均數為，故選項錯誤；對于，數據的方差為，數據的方差為，故選項正確；對于，數據，的分位數為90，則可以估計總體中有至少有的數據大于或等于90，故選項錯誤，故選：.9．ACD【分析】對于選項A，根據，求出的值，進行判斷；對于選項B，由的值可得的坐標；對于選項C，由，坐標，可得的坐標，進而計算的模；對于選項D，由的坐標，根據公式計算與其同向單位向量的坐標判斷正誤.【詳解】對于選項A，根據，求出的值，故A正確；對于選項B，由，得，故B錯誤；對于選項C，，，可得，所以，故C正確；對于選項D，因為單位向量與同向，所以，，故D正確.故選：ACD.10．AB【分析】利用獨立事件的概率公式以及對立事件的概率公式可判斷ABD選項的正誤；利用古典概型的概率公式可判斷C選項的正誤.【詳解】對于A選項，該學生在第個路口首次遇到紅燈的概率為，A選項正確；對于B選項，此密碼被破譯的概率為，B選項正確；對于C選項，所有的基本事件數為，由可得.事件“”所包含的基本事件有：、、，故所求概率為，C選項錯誤；對于D選項，由已知可得，解得，D選項錯誤.故選：AB.11．BCD【分析】利用反證法證明即可判斷A；根據面面垂直的性質與線面垂直的判定定理和性質可得，結合線面垂直的判定定理即可判斷B；由選項B可知平面，確定線面角即可判斷C；由選項BC知，如圖，確定球心和半徑，結合球的表面積公式計算即可判斷D.【詳解】A：若假設，由，得，又，所以，即，又平面，所以平面，又平面，所以，與矛盾，故A錯誤；B：在四邊形中，由已知可得：.因為平面平面，又平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以.因為，平面，可得平面，故B正確；C：由選項B知，由平面，則為直線與平面所成的角是，故C正確；D：當平面平面時，由B、C選項知，平面，平面，平面，平面，所以，所以取的中點，有，即為三棱錐外接球的球心，且半徑，所以三棱錐外接球表面積，故D正確.故選：BCD.

【點睛】思路點睛：解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的思路是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.12．89.5【分析】利用百分位數的定義及中位數的定義即可求解.【詳解】該射擊運動員10次的訓練成績從小到大分別為.又，這10次成績的分位數為.故答案為：.13．【分析】化簡，代入即可求解.【詳解】因為，所以.故答案為：.14．7【分析】先設，然后分別作出和的圖像，對圖像進行分析即可.【詳解】函數的零點個數即為方程的根的個數，令，則，如圖所示，

，則，作出的圖像，如圖所示，

，則一共有7個交點，所以方程有7個根，即函數零點個數為7，故答案為：7【點睛】方法點睛：嵌套函數的常用解決方法為設，然后對函數圖像二次利用（或者畫兩個），將分別作為橫坐標和縱坐標通過圖像來解決根的相關問題.15．（1）增區(qū)間：，，減區(qū)間：，；（2）【解析】（1）首先根據題意得到，再求函數的單調區(qū)間即可.（2）首先根據題意得到，根據得到，即可得到函數的值域.【詳解】（1）.，解得，.，解得，.所以函數的增區(qū)間：，，減區(qū)間：，.（2）.因為，所以.所以，即.【點睛】本題第一問考查三角函數的單調區(qū)間，第二問考查三角函數的平移變換，同時考查了三角函數的值域問題，屬于簡單題.16．(1)；；(2)平均值81.5，中位數82；(3)【分析】（1）根據頻率定義即可求出，再根據小矩形面積和為1即可求出值；（2）根據平均數和中位數定義計算即可；（3）列出所有情況和滿足題意的情況，再利用古典概率公式即可.【詳解】（1）由直方圖可知，乙樣本中數據在的頻率為，則，解得；由乙樣本數據直方圖可知，，解得；（2）甲樣本數據的平均值估計值為，乙樣本數據直方圖中前3組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，所以乙樣本數據的中位數在第4組，設中位數為，，解得，所以乙樣本數據的中位數為82.（3）由頻率分布直方圖可知從分數在和的學生中分別抽取2人和4人，將從分數在中抽取的2名學生分別記為，從分數在中抽取的4名學生分別記為，則從這6人中隨機抽取2人的基本事件有，共15個，所抽取的兩人分數都在中的基本事件有6個，所以所求概率為.17．(1)(2)12【分析】（1）由結合三角形面積公式可化簡得到，即可求得答案；（2）利用余弦定理得到，進而化為，結合基本不等式求得，即可得周長的最大值.【詳解】（1），，

則，

，，又，；（2），，由余弦定理得，

即，，所以,（當且僅當時取“＝”），

故，，

的最大值為8，的最大值為12，周長的最大值為12．18．(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連結,先證明平面，再證明平面，由線面垂直的性質即可得到證明；（2）取的中點，連結，，證明四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可得平面，然后利用等體積法可得點到面的距離.【詳解】（1）證明：連結，因為△為等邊三角形，所以，又因為底面是菱形，所以，所以△≌△，又因為，所以，所以平面，而平面，所以，又因為底面是菱形，所以，所以平面，而平面，所以，.（2）棱上存在一點，使平面，點為的中點.證明：取的中點，連結，，因為為的中點，且，又且，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又平面，平面，所以，平面，設點到平面的距離為，因為，.又因為平面，易知，所以，由得：即：，所以.即點F到平面PBD的距離為.19．(1)不是“依賴函數”，理由見解析(2)(3)【分析】（1）根據題中定義，運用特例法進行判斷即可；（2）根據題中定義，結合指數函數的單調性、二次函