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全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

一、選擇題共12小題.每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng).

1.（5分）已知集合人={1,2,3,4},B={x|x=M,nEA},則APB=（）

A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}

2.(5分)l+2i=()

(1-i)2

A.-1-liB.-1+liC.1+liD.1-li

2222

3.(5分)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值

為2的概率是（)

A.1B.1C4D-6

23

2（a>0,b>0）的離心率為逅，則C的漸

4.（5分）已知雙曲線(xiàn)C：士E

:b22

近線(xiàn)方程為（)

A.y=±1xB.v=4-X,=

I：C.y=±xD?y+—Y

一3'一2x

5.（5分）已知命題p：Vx￡R,2X<3X；命題q：3xGR,x3=l-x2,則下列命

題中為真命題的是（）

A.pAqB.-'pAqC.pA-'qD.-'pA-'q

6.（5分）設(shè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則（）

3

=-=

A.Sn2an1B.Sn3an"2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an

7.（5分）執(zhí)行程序框圖，如果輸入的3],則輸出的s屬于（)

A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]

8.（5分）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C：y2=4近x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),若|PF|=4加,

則△POF的面積為（）

A.2B.2亞C.273D.4

9.（5分）函數(shù)f（x）=（1-cosx）sinx在[-H,兀]的圖象大致為（）

10.（5分）已知銳角aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+COS2A=0,

a=7,c=6,則b=（）

A.10B.9C.8D.5

11.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.16+8nB.8+8兀C.16+16nD.8+16兀

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=[-X2+2X,X<O,若|f(x)|Nax,則a的取值范

ln(x+l),x>0

圍是（）

A.（一8,o]B.（一8,i]C.[-2,1]D.[-2,0]

二.填空題：本大題共四小題，每小題5分.

13.（5分）已知兩個(gè)單位向量W，5的夾角為60。，c=ta+（l-t）b,若E?W=0,

則t=.

14.（5分）設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,則z=2x-y的最大值為.

15.（5分）已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2,AB,平面a,H為

垂足，a截球。所得截面的面積為71,則球。的表面積為.

16.（5分）設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cos0=.

三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）已知等差數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S3=0,S5=-5.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

（n）求數(shù)列｛——1——）的前n項(xiàng)和.

^n-la2n+l

18.（12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨

機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)

間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下:

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

（I）分別計(jì)算兩種藥的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好?

（H）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好?

A藥B藥

0.

1.

2.

3.

19.(12分)如圖，三棱柱ABC-AiBiJ中，CA=CB,AB=AAi,ZBAAi=60°

(I)證明：AB±AiC；

(H)若AB=CB=2,AiC=%，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))

處切線(xiàn)方程為y=4x+4.

(工)求a,b的值；

(II)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.

21.(12分)已知圓M：(x+1)2+y2=l,圓N：(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外

切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.

(工)求C的方程；

(口)1是與圓P,圓M都相切的一條直線(xiàn)，I與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P

的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如

果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選

題號(hào)后的方框涂黑。

22.(10分)(選修4-1：幾何證明選講)

如圖，直線(xiàn)AB為圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上，NABC的角平分線(xiàn)BE交圓

于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于D.

(I)證明：DB=DC；

(H)設(shè)圓的半徑為1,BC=A/3-延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,求4BCF外接圓的半徑.

D,

E

23.已知曲線(xiàn)J的參數(shù)方程為（x=4+5cost（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x

[y=5+5sint

軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)c2的極坐標(biāo)方程為p=2sine.

（1）把J的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）求J與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（p>0,0^0<2n）.

24.已知函數(shù)f(x)=|2x-11+12x+a|,g(x)=x+3.

(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；

(II)設(shè)a>-1,且當(dāng)xG[-且，Jj時(shí)，f(x)Wg(x),求a的取值范圍.

22

全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(新課標(biāo)I)

參考答案與試題解析

一、選擇題共12小題.每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng).

1.(5分)已知集合人={1,2,3,4},B={x|x=M,n?A},貝l]AnB=()

A.{1,4}B.{2,3}C.{9,16}D.{1,2}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】5J：集合.

【分析】由集合A中的元素分別平方求出x的值，確定出集合B,找出兩集合的

公共元素，即可求出交集.

【解答】解：根據(jù)題意得：x=l,4,9,16,即8={1,4,9,16},

VA={1,2,3,4},

.\AnB={l,4}.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.(5分)=()

(1-i)2

A.-1-liB.-1+liC.1+liD.1-li

2222

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題.

【分析】利用分式的分母平方，復(fù)數(shù)分母實(shí)數(shù)化，運(yùn)算求得結(jié)果.

【解答】解：1+2i=l+2L=(l+2i)i2+i_

===_1+lj.

(1-i)2-2i-2i'i22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，考查計(jì)算能力.

3.（5分）從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值

為2的概率是（）

A.1B.1C.1.D.1

2346

【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【專(zhuān)題】51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)

中隨機(jī)的抽2個(gè)，共有C42種結(jié)果，滿(mǎn)足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對(duì)值

等于2的有兩種，得到概率.

【解答】解：由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，

2

試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從4個(gè)不同的數(shù)中隨機(jī)的抽2個(gè)，共有C4=6種結(jié)果，

滿(mǎn)足條件的事件是取出的數(shù)之差的絕對(duì)值等于2,有2種結(jié)果，分別是（1,3）,

（2,4）,

???要求的概率是-4=1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等可能事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是事件數(shù)

是一個(gè)組合數(shù)，若都按照排列數(shù)來(lái)理解也可以做出正確的結(jié)果.

4.（5分）已知雙曲線(xiàn)C：工1上=1（a>0,b>0）的離心率為逅，則C的漸

2.2x9

ab乙

近線(xiàn)方程為（）

A.y=-|-A-XB.y=±'xC.y=±xD.y=

【考點(diǎn)】KC：雙曲線(xiàn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】由離心率和abc的關(guān)系可得b2=4a2,而漸近線(xiàn)方程為y=±kx,代入可

得答案.

22

【解答】解：由雙曲線(xiàn)C：士--J=i（a>0,b>0）,

221

abu

則離心率e=q=逼!正=返，即4b2=a2,

aa2

故漸近線(xiàn)方程為y=±lx=+lx,

a-2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及的漸近線(xiàn)方程，屬基礎(chǔ)題.

5.（5分）已知命題p：VxER,2X<3X；命題q：3x￡R,x3=l-x2,則下列命

題中為真命題的是（）

A.pAqB.-'pAqC.pA-'qD.-'pA-'q

【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題及其真假.

【專(zhuān)題】21：閱讀型；5L：簡(jiǎn)易邏輯.

【分析】舉反例說(shuō)明命題p為假命題，則「P為真命題.引入輔助函數(shù)f（x）=x3+x2

-1,由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理得到該函數(shù)有零點(diǎn)，從而得到命題q為真命題,

由復(fù)合命題的真假得到答案.

【解答】解：因?yàn)閤=-1時(shí)，所以命題p：VxGR,2x〈3x為假命題,

則「P為真命題.

令f（x）=x3+x2-1,因?yàn)閒CO）=-KO,f（1）=l>0.所以函數(shù)f（x）=x3+x2

-1在（0,1）上存在零點(diǎn)，

即命題q：3xFR,x3=l-x2為真命題.

則「pAq為真命題.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的真假，考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)的判斷

方法，解答的關(guān)鍵是熟記復(fù)合命題的真值表，是基礎(chǔ)題.

6.（5分）設(shè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列匕小的前n項(xiàng)和為1,則（）

3

_

A.Sn=2an-1B.Sn=3an2C.Sn=4一3anD.Sn=3-2an

【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得其求和公式，化簡(jiǎn)可得要求的關(guān)

系式.

【解答】解：由題意可得an=l義1,

,IXn-1

.,.Sn=-=33X(y)=3-2(y)=3-2an,

1萬(wàn)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及指數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題.

7.(5分)執(zhí)行程序框圖，如果輸入的3],則輸出的s屬于()

【考點(diǎn)】3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；EF：程序框圖.

【專(zhuān)題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖.

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再

根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算一個(gè)分段函數(shù)的函數(shù)值,

由條件為t<l我們可得，分段函數(shù)的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支

上對(duì)應(yīng)的語(yǔ)句行，我們易得函數(shù)的解析式.

【解答】解：由判斷框中的條件為t<l,可得：

函數(shù)分為兩段，即t<l與t>l,

又由滿(mǎn)足條件時(shí)函數(shù)的解析式為：s=3t；

不滿(mǎn)足條件時(shí)，即時(shí)，函數(shù)的解析式為：s=4t-t2

故分段函數(shù)的解析式為：s=J3t，,

4t-t2?t>l

如果輸入的3],畫(huà)出此分段函數(shù)在tG[-1,3]時(shí)的圖象,

則輸出的s屬于[-3,4].

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】要求條件結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，要分如下幾個(gè)步驟：①分析流程圖的

結(jié)構(gòu)，分析條件結(jié)構(gòu)是如何嵌套的，以確定函數(shù)所分的段數(shù)；②根據(jù)判斷框

中的條件，設(shè)置分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；③根據(jù)判斷框的"是"與"否"分支對(duì)應(yīng)的操作，分析

函數(shù)各段的解析式；④對(duì)前面的分類(lèi)進(jìn)行總結(jié)，寫(xiě)出分段函數(shù)的解析式.

8.（5分）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)C：y2=4?x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若1PF|=4我,

則aPOF的面積為（)

A.2B-2&C.2MD.4

【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程，算出焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(6，0).設(shè)P(m,n),由拋物

線(xiàn)的定義結(jié)合1PF1=4?,算出m=3?,從而得到W±2&，得到APOF的邊

OF上的高等于2灰，最后根據(jù)三角形面積公式即可算出APOF的面積.

【解答】解：???拋物線(xiàn)C的方程為y2=4&x

.?.2p=4?,可得皂=加,得焦點(diǎn)F(加,0)

2

設(shè)P(m,n)

根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，得|PF|=m+2=4血，

2

即m+&=4&,解得m=3-72

?點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上，得《=4后X3&=24

/.n=±倔=土2加

OF=V2

.,?△POF的面積為S=1|OF|X|n|=2x亞X2加=2?

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線(xiàn)C：y2=4&x上與焦點(diǎn)F的距離為4料的點(diǎn)P,求△POF

的面積.著重考查了三角形的面積公式、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

9.(5分)函數(shù)f(x)=(1-cosx)sinx在［-Ti,兀］的圖象大致為()

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換.

【專(zhuān)題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B,再由x?(0,n)時(shí)，f(x)>0,可排除A,

求導(dǎo)數(shù)可得f'(0)=0,可排除D,進(jìn)而可得答案.

【解答】解：由題意可知：f(-x)=(1-cosx)sin(-x)=-f(x),

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故可排除B,

又因?yàn)楫?dāng)xG(0,n)時(shí)，1-cosx>0,sinx>0,

故f(x)>0,可排除A,

又f'(x)=(1-cosx)'sinx+(1-cosx)(sinx)'

=sin2x+cosx-cos2x=cosx-cos2x,

故可得F(0)=0,可排除D,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象，涉及函數(shù)的奇偶性和某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，屬基礎(chǔ)

題.

10.(5分)已知銳角4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,

a=7,c=6,則b=()

A.10B.9C.8D.5

【考點(diǎn)】HR：余弦定理.

【專(zhuān)題】58：解三角形.

【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知的等式，求出cosA的值，再由a

與c的值，利用余弦定理即可求出b的值.

【解答】解：V23COS2A+COS2A=23COS2A+2COS2A-1=0（即cos2AA為銳角,

25

??cosA—?

5

又a=7,c=6,

根據(jù)余弦定理得：a2=b2+c2-2bc?cosA,即49=b2+36--b,

5

解得：b=5或b=-.12.（舍去），

5

則b=5.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解

本題的關(guān)鍵.

11.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

A.16+8兀B.8+8兀C.16+16兀D.8+16n

【考點(diǎn)】L!：由二視圖求面積、體積.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；27：圖表型.

【分析】三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與半個(gè)圓柱的組合體，依據(jù)三視圖的

數(shù)據(jù)，得出組合體長(zhǎng)、寬、高，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體與半個(gè)圓柱的組合體，如圖，其

中長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別是：4,2,2,半個(gè)圓柱的底面半徑為2,母線(xiàn)長(zhǎng)為

4.

/.長(zhǎng)方體的體積=4X2X2=16,

半個(gè)圓柱的體積=Lx22XnX4=8n

2

所以這個(gè)幾何體的體積是16+871；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的三視圖及直觀圖的畫(huà)法，三視圖與直觀圖的關(guān)系,

柱體體積計(jì)算公式，空間想象能力

12.(5分)已知函數(shù)f(x)=[-X2+2X,X<0若懺㈠)|》ax,則a的取值范

ln(x+l),x>0

圍是()

A.(-8,o]B.(…，1]C.[-2,1]D.[-2,0]

【考點(diǎn)】7E：其他不等式的解法.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】由函數(shù)圖象的變換，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象可作出函數(shù)y=f(x)

的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)斜率可得I的斜率，進(jìn)而數(shù)形結(jié)

合可得a的范圍.

【解答】解：由題意可作出函數(shù)y=|f(x)|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，

X

-y=ax

由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)介于I和x軸之間符合題

意，直線(xiàn)I為曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且此時(shí)函數(shù)y=1f(x)|在第二象限的部分解析式為

y=x2-2x,

求其導(dǎo)數(shù)可得y'=2x-2,因?yàn)閤WO,故JW-2,故直線(xiàn)I的斜率為-2,

故只需直線(xiàn)y=ax的斜率a介于-2與0之間即可，即a?[-2,0]

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查其它不等式的解法，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題.

二.填空題：本大題共四小題，每小題5分.

13.(5分)已知兩個(gè)單位向量W，E的夾角為60。，c=ta+(l-t)b,若E?W=O,

則t=2.

【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理；90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專(zhuān)題】5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】由于E?W=o,對(duì)式子W=tW+(1-1)E兩邊與E作數(shù)量積可得

c-b=tl-b+(l-t)b-0-經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)即可得出?

【解答】解：：c=ta+(l-t)b,c"b=O，*'?^c?b=t*a,b+(l-t)b2=^)

o

.*.tcos60+l-t=0,AlA+=0,解得t=2.

2

故答案為2.

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

14.（5分）設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件［,,則z=2x-v的最大值為3

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.

【專(zhuān)題】59：不等式的解法及應(yīng)用.

【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x-y表示直

線(xiàn)在y軸上的截距，只需求出可行域直線(xiàn)在y軸上的截距最大值即可.

【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

由（x=3得人（3,3）,

Iy=x

z=2x-y可轉(zhuǎn)換成y=2x-z,z最大時(shí)，y值最小，

即：當(dāng)直線(xiàn)z=2x-y過(guò)點(diǎn)A（3,3）時(shí)，

在y軸上截距最小，此時(shí)z取得最大值3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)

題.

15.（5分）已知H是球0的直徑AB上一點(diǎn)，AH：HB=1：2,AB,平面a,H為

垂足，a截球。所得截面的面積為兀，則球。的表面積為—"

【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的表面積公式，設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意知由

與球心距離為L(zhǎng)R的平面截球所得的截面圓的面積是n,我們易求出截面圓的

3

半徑為1,根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理,

我們易求出該球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【解答】解：設(shè)球的半徑為R,HB=1：2,??.平面a與球心的距離為L(zhǎng)R,

3

???a截球0所得截面的面積為n,

d=LR時(shí)，r=l,

3

故由區(qū)2=心+￡|2得R2=12+(j_R)2,R2=_9

38

???球的表面積S=4HR2=".

2

故答案為：12L.

2

【點(diǎn)評(píng)】若球的截面圓半徑為r,球心距為d,球半徑為R,則球心距、截面圓

半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)足勾股定理，即R2=r2+d2

16.(5分)設(shè)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cos0=__="、$.

5-

【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H4：正弦函數(shù)的定義域和值域.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；56：三角函數(shù)的求值.

【分析】f(x)解析式提取泥，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正

弦函數(shù)，由x=0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，得到sinS-2cos0=V5，與

sin20+cos20=l聯(lián)立即可求出cos0的值.

【解答】解：f(x)=sinx-2cosx=V5(亞3inx-2/￡osx)=V5sin(x-a)(其中

55

cosa=2Zl_,sina=2娓),

55

???x=e時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，

/.sin(0-a)=1,即sin。-2cos6二企，

又sin20+cos26=l,

聯(lián)立得（2cos0+V5）2+cos20=l,解得cos6=-芻旦

5

故答案為：-亞

5

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,

以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.

三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.（12分）已知等差數(shù)列己n｝的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S3=0,S5=-5.

（I）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

（口）求數(shù)列｛——1——）的前n項(xiàng)和.

/n-la2n+l

【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；8E：數(shù)列的求和.

【專(zhuān)題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（工）設(shè)出等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)和公差，直接由S3=0,S5=-5列方程組

求出，然后代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式整理；

（H）把（工）中求出的通項(xiàng)公式，代入數(shù)歹心——1——｝的通項(xiàng)中進(jìn)行列項(xiàng)整

/n-la2n+l

理，則利用裂項(xiàng)相消可求數(shù)列｛——1——｝的前n項(xiàng)和.

/n-la2n+l

【解答】解：（］）設(shè)數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)為ai,公差為d,則s=n"（nT）d.

3a[+3d=0

a<+d=O,

由已知可得,即J,解得ai=l,d=-1,

5ai+‘羊)d=-5a|+2d=-l

故｛an｝的通項(xiàng)公式為an=ai+(n-1)d=l+(n-1)?(-1)=2-n；

1

(口)由(工)知——1——『—————1,、-1------1)■

Wrrla2n+l(3-2n)(l-2n)22n-32n-l

從而數(shù)列｛——1——)的前n項(xiàng)和

/n-la2n+l

Sn=y[(7^^)+(^^)+…+(11

)]

2n-32n-l

=—(-1------)=——?

2'2n-l)l-2n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中

檔題.

18.（12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別成為A藥，B藥）的療效，隨

機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者服用一段時(shí)

間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位:h）實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下:

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:

0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5

2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:

3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4

1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5

(I)分別計(jì)算兩種藥的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好?

(H)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好?

A藥B藥

0.

1.

2.

3.

【考點(diǎn)】BA：莖葉圖；BB：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).

【專(zhuān)題】51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】（工）利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可得出，據(jù)此即可判斷出結(jié)論；

（H）利用已知數(shù)據(jù)和莖葉圖的結(jié)構(gòu)即可完成.

【解答】解：（工）設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為W，設(shè)B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)

的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

則彳=工X

20

（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2

.3+2.4）=2.3.

~1X

（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+13+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2

.7+0.5)=1.6.

由以上計(jì)算結(jié)果可知：7>7由此可看出A藥的效果更好.

(II)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)得到下面莖葉圖:

A藥B藥

~~60.55689

855221.122346789

98776543322.14567

52103.2

從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有二的葉集中在2,3上.而B(niǎo)藥

10

療效的試驗(yàn)結(jié)果由工的葉集中在0,1上.由此可看出A藥的療效更好.

10

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握平均數(shù)的計(jì)算公式和莖葉圖的結(jié)果及其功能是解題的關(guān)鍵.

19.（92分）如圖，三棱柱ABC-AiBiJ中，CA=CB,AB=AAi,ZBAAi=60"

（I）證明：AB±AiC；

（口）若AB=CB=2,AiC=V6-求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LW：直線(xiàn)與平面垂直.

【專(zhuān)題】5F：空間位置關(guān)系與距離.

【分析】(])由題目給出的邊的關(guān)系，可想到去AB中點(diǎn)O,連結(jié)OC,OAi,可

通過(guò)證明AB,平面OAiC得要證的結(jié)論；

(H)在三角形OCAi中，由勾股定理得到OAi±OC,再根據(jù)OAi±AB,得至UOAi

為三棱柱ABC-AiBiJ的高，利用已知給出的邊的長(zhǎng)度，直接利用棱柱體積公

式求體積.

【解答】([)證明：如圖，

取AB的中點(diǎn)0,連結(jié)0C,OAi,AiB.

因?yàn)镃A=CB,所以0CLAB.

由于AB=AAI,/BAAI=60°，故^AAiB為等邊三角形，

所以0A1LAB.

因?yàn)?Cn0Ai=0,所以AB,平面0AC

又AiCu平面0A1C,故ABLAiC；

(口)解：由題設(shè)知^ABC與^AAiB都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以0C=0A]=y.

又A]C=&，則AIC2=OC2+OA/,故0A」0U

因?yàn)镺CnAB=O,所以0A1，平面ABC,OAi為三棱柱ABC-A1B1C1的高.

又△ABC的面積SAABC=V3，故三棱柱ABC-A1B1C1的體積

V=S^ABcX0Ai=WxV^=3?

【點(diǎn)評(píng)】題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱的體積，考查空間想

象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題.

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))

處切線(xiàn)方程為y=4x+4.

(工)求a,b的值；

(II)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方

程.

【專(zhuān)題】16：壓軸題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(])求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及曲線(xiàn)y=f(X)在點(diǎn)(0,f(0))

處切線(xiàn)方程為y=4x+4,建立方程，即可求得a,b的值；

(H)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f(x)的單調(diào)性，從而可求f(x)的極大值.

【解答】解：(])Vf(x)=ex(ax+b)-x2-4x,

.'.fz(x)=ex(ax+a+b)-2x-4,

；曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處切線(xiàn)方程為y=4x+4

Af(0)=4,fz(0)=4

b=4,a+b=8

a=4,b=4；

(II)由(I)知，f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4

(x+2)(ex-X),

2

令fz(x)=0,得x=-In2或x=-2

AxE(-8,-2)或(-In2,+8)時(shí)，f(x)>0；xG(-2,-In2)時(shí)，f

(x)<0

Af(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,-2),(-In2,+8),單調(diào)減區(qū)間是(-2,-

In2)

當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(-2)=4(1-e2).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算

能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

21.(12分)已知圓M：(x+1)2+y2=l,圓N：(x-1)2+y2=9,動(dòng)圓P與圓M外

切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線(xiàn)C.

(工)求C的方程；

(n)l是與圓P,圓M都相切的一條直線(xiàn)，I與曲線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P

的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|.

【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；J9：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.

【專(zhuān)題】5B：直線(xiàn)與圓.

【分析】(I)設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,由已知?jiǎng)訄AP與圓M外切并與圓N內(nèi)切，可得

|PM|+|PN|=R+I+(3-R)=4,而|NM|=2,由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌

跡是以M,N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，求出即可；

(II)設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2W4-2=2,所以R

W2,當(dāng)且僅當(dāng)。P的圓心為(2,0)R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為(X-2)

2+y2=4.分①I(mǎi)的傾斜角為90。，止匕時(shí)I與y軸重合，可得|AB.②若I的傾斜

角不為90。，由于。M的半徑1WR,可知I與x軸不平行，設(shè)I與x軸的交點(diǎn)

為Q,根據(jù)陶_)，可得Q(-4,0),所以可設(shè)I：y=k(x+4),與橢圓的

|QM|rj

方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可得出.

【解答】解：(I)由圓M：(x+1)2+y2=l,可知圓心M(-1,0)；圓N：(x-1)

2+y2=9,圓心N(1,0),半徑3.

設(shè)動(dòng)圓的半徑為R,

動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，A|PM|+|PN|=R+1+C3-R)=4,

而|NM|=2,由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)

的橢圓，

.,.a=2,c=l,b2=a2-c2=3.

22

???曲線(xiàn)C的方程為3-+匚口(xW-2).

43

(II)設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(x,y),

由于|PM|-|PN|=2R-2W3-1=2,所以RW2,當(dāng)且僅當(dāng)。P的圓心為(2,0)

R=2時(shí)，其半徑最大，其方程為(x-2)2+y2=4.

①I(mǎi)的傾斜角為90。，則I與y軸重合，可得|AB|=2“.

②若I的傾斜角不為90。，由于。M的半徑1WR,可知I與x軸不平行，

設(shè)I與x軸的交點(diǎn)為Q,則型_J,可得Q(-4,0),所以可設(shè)I：y=k(x+4),

QMrj

由I于M相切可得：解得k=+返.

（近3

產(chǎn)丁x+V^

聯(lián)立?得至U7x2+8x-8=0.

22

I43

?,88

??X1+X2二萬(wàn)，XU2二開(kāi).

；?AB=Vl+k2Ix2-xi|l+（華網(wǎng)（韋。X（母產(chǎn)竿

由于對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)卜=這時(shí)，也有|AB|=li.

47

綜上可知：IAB1=2次或逆.

7

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了兩圓的相切關(guān)系、直線(xiàn)與圓相切問(wèn)題、橢圓的定義及其

性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式

等基礎(chǔ)知識(shí)，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力及其分類(lèi)討論的思想方法.

請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如

果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選

題號(hào)后的方框涂黑。

22.（10分）（選修4-1：幾何證明選講）

如圖，直線(xiàn)AB為圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B,點(diǎn)C在圓上，NABC的角平分線(xiàn)BE交圓

于點(diǎn)E,DB垂直BE交圓于D.

（I）證明：DB=DC；

（口）設(shè)圓的半徑為1,BC=V3-延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F,求4BCF外接圓的半徑.

【考點(diǎn)】NC：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段.

【專(zhuān)題】5B：直線(xiàn)與圓.

【分析】（I）連接DE交BC于點(diǎn)G,由弦切角定理可得NABE=NBCE,由已知角

平分線(xiàn)可得NABE=NCBE,于是得到NCBE=NBCE,BE=CE.由已知DBLBE,

可知DE為。。的直徑，RtADBE^RtADCE,利用三角形全等的性質(zhì)即可得到

DC=DB.

(II)由(I)可知：DG是BC的垂直平分線(xiàn)，即可得至UBG=1.設(shè)DE的中點(diǎn)為

2

0,連接B0,可得NBOG=60°.從而NABE=NBCE=/CBE=30°.得到CF，BF.進(jìn)

而得至URtABCF的外接圓的半徑=匏.

【解答】(I)證明：連接DE交BC于點(diǎn)G.

由弦切角定理可得NABE=NBCE,而NABE=NCBE,

I.NCBE=NBCE,BE=CE.

又：DB，BE,，DE為。。的直徑，ZDCE=90".

/.△DBE^