浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.所有答案必須寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知，均為單位向量，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．對于直線m，n和平面，，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，m，n共面，則B．若，，m，n共面，則C．若，且，則D．若，且，則6．若，則（

）A． B． C． D．7．袋子中有n個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（

）A． B． C． D．8．頤和園的十七孔橋，初建于清乾隆年間；永定河上的盧溝橋，始建于宋代；四川達(dá)州的大風(fēng)高拱橋，修建于清同治7年，這些橋梁屹立百年而不倒，觀察它們的橋梁結(jié)構(gòu)，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是拱形結(jié)構(gòu)，這是懸鏈線在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用.懸鏈線出現(xiàn)在建筑領(lǐng)域，最早是由十七世紀(jì)英國杰出的科學(xué)家羅伯特·胡克提出的，他認(rèn)為當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也是一種穩(wěn)定的狀態(tài)，后來由此演變出了懸鏈線拱門，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若關(guān)于x的不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知平面向量，，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若，則C．若，則 D．若與的夾角為鈍角，則10．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．無解C．是減函數(shù) D．11．如圖，點(diǎn)是棱長為的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，平面，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積是定值 B．存在一點(diǎn)，使得C．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為 D．五面體的外接球半徑為非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)，則．13．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為．14．在中，分別是所對的邊，，當(dāng)取得最小值時(shí)，角C的大小為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知單位向量，滿足．(1)求；(2)求在上的投影向量（用表示）．16．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，和均在函數(shù)的圖象上，且Q是圖象上的最低點(diǎn)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求的值．17．如圖，在三棱錐中，，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角的正弦值．18．為紀(jì)念五四青年運(yùn)動(dòng)105周年，進(jìn)一步激勵(lì)廣大團(tuán)員青年繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神，寧波市教育局組織中小學(xué)開展形式多樣、內(nèi)容豐富、彰顯青年時(shí)代風(fēng)貌的系列主題活動(dòng)．某中學(xué)開展“讀好紅色經(jīng)典，爭做強(qiáng)國少年”經(jīng)典知識(shí)競賽答題活動(dòng)，現(xiàn)從該校參加競賽的全體學(xué)生中隨機(jī)選取100份學(xué)生的答卷作為樣本，所有得分都分布在，將得分?jǐn)?shù)據(jù)按照，，…，分成7組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該中學(xué)參加競賽學(xué)生成績的平均分（注：同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)估計(jì)該中學(xué)參加競賽學(xué)生成績的第75百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；(3)若競賽得分100分及以上的學(xué)生視為“強(qiáng)國少年”．根據(jù)選取的100份答卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)；競賽得分在內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為110和9，競賽得分在內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為128和6，請估計(jì)該中學(xué)“強(qiáng)國少年”得分的方差．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求，并判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，記，，2，3．證明：①；②．參考公式：．

1．C【分析】利用集合的交集和補(bǔ)集做題即可.【詳解】，則.故選：C.2．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡，然后確定其虛部即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則，所以的虛部為.故選：D.3．B【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合任意角的三角函數(shù)的定義求出，然后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以，故選：B4．C【分析】，均為單位向量，等式兩邊平方，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)化簡，即可得答案；【詳解】，均為單位向量，．是的充要條件．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算、向量垂直的充要條件，考查推理能力與計(jì)算能力．5．A【分析】根據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面之間的位置關(guān)系及其性質(zhì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】若，，m，n共面，則直線m，n可能平行可能相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，，則直線m，n沒有公共點(diǎn)，當(dāng)m，n共面，則，B選項(xiàng)正確；若，且，由面面平行的性質(zhì)可得，C選項(xiàng)正確；時(shí)，當(dāng)平面，，有，若，則，由，有，D選項(xiàng)正確.故選：A6．A【分析】構(gòu)建，根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性分析可得.對于AB：結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于CD：舉反例說明即可.【詳解】若，可得，且，構(gòu)建，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，由，即，可得.對于選項(xiàng)AB：因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)CD：利用，滿足，但，故CD錯(cuò)誤；故選：A.7．C【分析】利用超幾何分布求解.【詳解】設(shè)事件“依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球”為事件,即解得設(shè)事件“兩次摸到的球顏色不相同”為事件B,故選：C.8．B【分析】結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式，問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，通過換元有對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性解決不等式恒成立問題.【詳解】不等式，即，化簡得，不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，則，有對任意的恒成立，令，則，有對任意的恒成立，令，則，有對任意的恒成立，令，在上單調(diào)遞減，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：B.9．ACD【分析】根據(jù)向量加法坐標(biāo)公式計(jì)算可判斷A；根據(jù)向量平行的標(biāo)公式計(jì)算即可判斷B；根據(jù)向量垂直坐標(biāo)公式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式計(jì)算即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；對B，若，則，解得，故B錯(cuò)誤；對C，若，則，解得，故C正確；對D，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，解得且，即，故D正確，故選：ACD10．ABD【分析】利用奇函數(shù)可求得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域可知B正確，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得C錯(cuò)誤；結(jié)合單調(diào)性和奇偶性可知D正確.【詳解】對于A，易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，所以，解得；經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，即A正確；對于B，由可得，即，顯然此時(shí)無解，即B正確；對于C，化簡可得，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知為增函數(shù)，即C錯(cuò)誤；對于D，由于為奇函數(shù)可得，結(jié)合C選項(xiàng)可得，所以，可得D正確.故選：ABD11．ACD【分析】根據(jù)等體積變換判斷A,D，利用題意分析出點(diǎn)的軌跡判斷B,C；【詳解】根據(jù)題意正方體的棱長為，，利用勾股定理可得，如圖所示，在邊上取點(diǎn)，在邊上取點(diǎn)，在平面中，四邊形為平行四邊形，則又平面,平面,所以平面；同理,平面,平面,所以平面因?yàn)槠矫?所以平面平面點(diǎn)是正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面，則點(diǎn)的軌跡為四邊形（不包含點(diǎn)）對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，在中，，點(diǎn)的軌跡為四邊形，且平面平面，則點(diǎn)到平面的距離為，所以A正確；對于B，點(diǎn)的軌跡為四邊形（不包含點(diǎn)），在正方體中，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以與平面，在平面任意一條直線都已垂直，所以從點(diǎn)出發(fā)的直線在平面內(nèi)才能使成立，點(diǎn)的軌跡為四邊形（不包含點(diǎn)），則可知不存在點(diǎn)，使得，所以B錯(cuò)誤；對于C，點(diǎn)的軌跡為四邊形，利用勾股定理計(jì)算動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，所以C正確；對于D，五面體是四棱錐，四邊形是等腰梯形，,，設(shè)所在圓的圓心為,是的中點(diǎn),四棱錐的外接球球心為,連接，根據(jù)題意是直角三角形,是的中點(diǎn)，在線段上，設(shè)，因?yàn)?，可得，解得所以四棱錐的外接球半徑為.故選：ACD.【點(diǎn)睛】三棱錐體積求解方法：直接法；等體積變換法；12．【分析】根據(jù)分段函數(shù)定義，先計(jì)算出的值，然后計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，則.故答案為：.13．##0.5【分析】利用已知條件結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】正實(shí)數(shù)x，y滿足，所以，解得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最大值為．故答案為：．14．##【分析】先根據(jù)余弦定理化簡得,再由正弦定理把邊的關(guān)系化為角的關(guān)系,得到,最后根據(jù)基本不等式求最值的可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，,又因?yàn)?所以,即,化簡得,由正弦定理可得,,即,,化簡得.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,取得最小值.即，,因?yàn)?所以.故答案為:15．(1)(2)【分析】（1）利用模長計(jì)算公式和數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算即可；（2）由投影向量的概念和公式求解在上的投影向量即可.【詳解】（1）．（2）在上的投影向量為．16．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)圖象得出，，求出，再將代入，結(jié)合，求出，得出解析式，在求出單調(diào)遞增區(qū)間即可．（2），則，結(jié)合，得出，用同角三角函數(shù)關(guān)系式，得出，，用和角關(guān)系式展開求值即可．【詳解】（1）由題得，，故，．由，得，，故，，，故，故．，即單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由，即，又，則，故，17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明平面平面，只需證明平面，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明；（2）通過把平移至，從而證明出就是與平面所成的角，再計(jì)算出和即可求解。【詳解】（1）∵，，，∴．∵，∴．∵，平面，，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）過點(diǎn)作的垂線交于，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接．∵平面平面，平面，，∴平面．∵，∴平面，∴就是與平面所成的角．∵，∴．∵，∴為等邊三角形，∴．∵為的中點(diǎn)，∴．在中易知，∴．因此，與平面所成角的正弦值為．18．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的公式求出即可．（2）先估計(jì)第75百分位數(shù)在內(nèi)，后按求百分位數(shù)的方法求解第75百分位數(shù)即可．（3）算出競賽得分在內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為；分?jǐn)?shù)記為，其平均數(shù)記為，方差記為；算出競賽得分在內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為；分?jǐn)?shù)記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把“強(qiáng)國少年”得分的平均數(shù)記為，方差記為．用分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)、方差與各層樣本平均數(shù)、方差的關(guān)系式求解即可．【詳解】（1）（1）（分），據(jù)此估計(jì)該校參加競賽學(xué)生成績的平均分約為69分．（2）（2）前4組頻率和為，第5組頻率為，故第75百分位數(shù)在內(nèi)，即第75百分位數(shù)為（分）．據(jù)此估計(jì)該校參加競賽學(xué)生成績的第75百分位數(shù)約為86.7分．（3）競賽得分在內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為；分?jǐn)?shù)記為，其平均數(shù)記為，方差記為；競賽得分在內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為；分?jǐn)?shù)記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把“強(qiáng)國少年”得分的平均數(shù)記為，方差記為．根據(jù)方差的定義，總樣本方差為：．（*）由，，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為：．把已知的平均數(shù)和方差的取值代入（*）可得：．據(jù)此估計(jì)該學(xué)?！皬?qiáng)國少年”得分的方差約為80．19．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）用零點(diǎn)的定義直接轉(zhuǎn)化為方程的根，或者根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷即可．（2）①先運(yùn)用零點(diǎn)知識(shí)確定范圍，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)算出即可.②由變形為，綜合，將轉(zhuǎn)化為，然后將證明的式子轉(zhuǎn)為研究的關(guān)系式，充分運(yùn)用前問證明的進(jìn)行消元，再用范圍，即可證明．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以．令可得，所以或，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．法2：當(dāng)時(shí)，，所以．又，，，所以，，，由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間，，上各有一個(gè)零點(diǎn)．又三次函數(shù)最多只有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3