2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊(cè)學(xué)案：第13章平面垂直

第2課時(shí)兩平面垂直

：a；1.了解二面用的概念?能在長(zhǎng)方體中度量二面加.

課程

一人2.理解并掌握面面垂直的判定定理.

標(biāo)準(zhǔn)

；3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用方法.

》基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)④

概念認(rèn)知

1.二面角的概念

(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部無，其中的每一

部分都叫作半平面.

⑵二面角：一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的叫把面所組

成的圖形叫作二面角，這條直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二

面角的面，如圖①，②中，棱為/或AB,面為a,B記作a-Z-P(a-AB-P)

或P-Z-Q(P-AB-Q)(P,Q分別為在a,「內(nèi)且不在棱上的點(diǎn)).

(3)二面角的平面角

文字表述：一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分

別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.

圖形語(yǔ)言:

符號(hào)語(yǔ)言：anp=1,OGZ,OACa,OBUp,OAL,OB±/=>ZAOB

為二面角a-Z-P的平面角.

(4)二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的堊面魚來度量，二面角的平面角是多少度,

就說這個(gè)二面角是多少度.二面角a的大小范圍是0”取180。.平面

角是直角的二面角叫作直二H角.

2.平面與平面垂直的判定定理

(1)定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就

說這兩個(gè)平面互相垂直.

⑵畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成如圖⑴，(2)所示.

----1A

JzZZT7

(1)--------------(2)

此時(shí),把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,平面a與P垂

直,記作a±p.

(3)平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)m如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這

兩個(gè)平面垂直

圖形語(yǔ)言/

符號(hào)語(yǔ)言l-La，/U|3=a_LB

3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有條直線垂直于這兩個(gè)平

義字l口B

面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直

圖形語(yǔ)言

ra±p,aAP=Zl

符號(hào)語(yǔ)言a±p

、aua,a_L/

自我小測(cè)

1.已知長(zhǎng)方體ABCD-A]BiCiDi,在平面ABi上任取一點(diǎn)M，作

ME_LAB于E,貝女）

A.ME，平面ACB.MEU平面AC

C.ME〃平面ACD.以上都有可能

選A.由于MEU平面ABi,平面AB￡平面AC=AB,且平面ABi±

平面AC,ME±AB,貝!!ME_L平面AC.

2.如圖所示，已知PA_L矩形ABCD所在的平面，則圖中互相垂直

的平面有（）

A

2c

AB

A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì)

選D.由PA_L矩形ABCD知，平面PADJ_平面ABCD,平面PAB±

平面ABCD；由AB_L平面PAD知，平面PABJ_平面PAD；由BC±

平面PAB知，平面PBC_L平面PAB；由口（2,平面PAD知，平面PDC_L

平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對(duì).

3.下列說法：

①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫作二面角；

②異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a,b所成的角

與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ)；

③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角

的最小角.

其中正確的是________.（填序號(hào)）

對(duì)于①，混淆了平面與半平面的概念，是錯(cuò)誤的；對(duì)于②，由于a,

b分別垂直于兩個(gè)平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線

所成的角為銳角（或直角），所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，是正確的；對(duì)于③,

因?yàn)椴淮怪庇诶?，所以是錯(cuò)誤的.

答案：②

4.在正方體ABCD-AiBiCiDi中，平面AAiCiC與平面CiBD的位置

關(guān)系是________.

因?yàn)锽D_LAC,BDlCiC,fiACACiC=C,

所以BD_L平面AAiC)C.

因?yàn)锽DU平面CiBD,所以平面AAiCiC_L平面CiBD.

答案：垂直

5.如圖，平面角為銳角的二面角a-EF-P,A￡EF,AGCa,ZGAE

二45。，若AG與B所成角為30°,求二面角a-EF-P的平面角.

作GH，P于點(diǎn)H，作HB±EF于點(diǎn)B,連接AH,GB,則GB1EF,

NGBH是二面角的平面角.

又NGAH是AG與P所成的角，

設(shè)AG=a，則GB=孚a,GH='a,sinZGBH==乎，

所以NGBH=45。，故二面角a-EF-|3的平面角為45°.

為學(xué)情診斷?課時(shí)測(cè)評(píng)④

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1.下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面P

B.如果平面a不垂直于平面P,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直

于平面B

C.如果平面a，平面y,平面M平面y,an「=/,那么L平面y

D.如果平面a，平面P,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面P

選D.如果平面a_L平面P,那么平面a內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于

平面B,其他與交線不垂直的直線均不與平面P垂直，故D項(xiàng)敘述是

錯(cuò)誤的.

2.將銳角A為60。，邊長(zhǎng)為a的菱形沿BD折成60。的二面角，則折

疊后A與C之間的距離為（）

]A/3

A.aB.2aC.^aD,小a

選C.設(shè)折疊后點(diǎn)A到Ai的位置,取BD的中點(diǎn)E,連接AiE,CE.

則BD±CE,BDlAiE.

于是NAiEC為二面角Ai-BD-C的平面角.

故NAiEC=60。.

因?yàn)锳iE=CE,所以△AiEC是等邊三角形.

所以AiE=CE=AiC=§a.

3.設(shè)a-/-p是直二面角，直線aUa,直線bUp,a,b與/都不垂直,

那么說法中正確的是（）

A.a與b可能垂直，但不可能平行

B.a與b可能垂直，也可能平行

C.a與b不可能垂直，但可能平行

D.a與b不可能垂直，也不可能平行

選C.當(dāng)a,b都與/平行時(shí)，

則a〃b,所以A,D錯(cuò).如圖,若a±b,

過a上一點(diǎn)P在a內(nèi)作a,.Ll,

因?yàn)閍±p,所以ar±p.

又bUp,所以a」b,

所以b，a,與題干要求矛盾，即a與b不可能垂直.

4.（2021.寧波高一檢測(cè)）已知直線a,b,平面a,P,下列命題：

①若a〃b,a_La,則b_l_a；

②若a〃p,a_La，貝（Ja_Lp；

③若a〃a,a_l_p,則a_Lp；

④若a±a,a±p,貝!Ja〃B

其中真命題是（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

選A.對(duì)于①，若a〃b,a±a,則由線面垂直的性質(zhì)可得b±a,故①

正確；

對(duì)于②，若a〃B,a±a，則由線面垂直的性質(zhì)可得a±p，故②正確；

對(duì)于③,若a〃a,則存在a，Ua，使得a〃F,若a±p,則,則

a±P,故③正確；

對(duì)于④，若2_1_01,a±p,貝［|2〃0或2（=0,故④錯(cuò)誤.

5.（2021.舟山高一檢測(cè)）三棱錐的各棱長(zhǎng)都相等，D,E,F分別是AB,

BC,CA的中點(diǎn)，下列結(jié)論中不成立的是（）

A.BC〃平面PDF

B.DF,平面PAE

C.平面PDE,平面ABC

D.平面PAE_L平面ABC

選C.對(duì)于A中，因?yàn)镈,F分別是AB,CA的中點(diǎn)，可得BC〃DF,

因?yàn)锽CC平面PDF,DFU平面PDF,

所以BC〃平面PDF,

所以A正確，不符合題意；

對(duì)于B中，因?yàn)锳C=AB,BE=EC,

所以BCLAE,同理可得BC,PE,

又因?yàn)镻EnAE=E,

所以BC_L平面PAE,

又由BC〃DF,所以DFL平面PAE,

所以B正確，不符合題意；

對(duì)于D中，由DF_L平面PAE,

因?yàn)镈FU平面ABC,

所以平面PAE平面ABC,

所以D正確，不符合題意，C不正確，符合題意.

二、多選題

6.（2021.鎮(zhèn)江高一檢測(cè)）若m,n是兩條不重合的直線，a,p為兩個(gè)

不重合的平面，下列說法正確的有（）

A.若m〃n,m//a,則n〃a

B.若m〃a,n〃B,貝!Ja〃0

C.若m〃n,n±a,貝Um_La

D.若m_l-a,n±p,m±n,貝！］a±P

選CD.A.若m//n,m//a,則n//a或nCa,故A不正確；B.若m,

n都與兩平面的交線平行，也滿足條件，但不能推出a〃「，故B不

正確；C.兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于平面，故

C正確；D.若m±a,n±p,m±n,則a_L0,故D正確.

7.（2021唐山高一檢測(cè)）如圖，在三棱錐S-ABC中，ZSBA=ZSCA

=90。,且4ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形包合出下列結(jié)論中，

正確的是（）

A.SB1AC

B.SB_L平面ABC

C.平面SBC，平面SAC

D.點(diǎn)C到平面SAB的距離為與a

選ABC.由于AC_LBC,AC±SC,SC,BCU平面SBC,SCABC=C,

所以AC_L平面SBC,

所以SB_LAC,故選項(xiàng)A正確；

前面已經(jīng)證明AC,平面SBC,ACU平面SAC,所以平面53（31_平

面SAC,所以選項(xiàng)C正確；

因?yàn)镾B1AC,SB1AB,AB,ACU平面ABC,ABAAC=A,所以

SBJ_平面ABC,故選項(xiàng)B正確；

取AB的中點(diǎn)D,連接CD,貝［JCD±AB,CD1SB，因?yàn)锳B,SB

U平面SAB,ABASB=B，故CD_L平面SAB,則CD的長(zhǎng)度即為點(diǎn)

C到平面SAB的距離，而CD=；a,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

三、填空題

8.已知/,m是兩條不同的直線，a,B是兩個(gè)不同的平面，有下列

四個(gè)結(jié)論：

①若/Up,且a±p,則/_La；②若Z±P,且a〃p,則/J_a；

③若/_1_0，且a_l_p，則/〃a；④若anp=m,且/〃m,則/〃a.

則所有正確結(jié)論的序號(hào)是________.

若/Up,,則/,a可以平行或相交,I也可能在平面a內(nèi)，故①

錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定方法，得②正確；若,

a_Lp則/〃a或/Ua,故③錯(cuò)誤；若aPlp=m,I//m,則/〃a或/Ua,

故④錯(cuò)誤.所以正確結(jié)論的序號(hào)是②.

答案：②

四、解答題

9.如圖所示，已知圓錐的頂點(diǎn)為S,AB為底面圓O的直徑，點(diǎn)D

為線段AB上一點(diǎn)，且AD=；DB,點(diǎn)C為圓0上一點(diǎn)，且BC=仍

AC,P為母線SA上的點(diǎn)，其在底面圓O上的正投影為點(diǎn)D,求證

PALCD.

【證明】連接co（圖略），由3AD=DB知，D為AO的中點(diǎn)，

又AB為圓O的直徑，所以AC1CB,

由小AC=BC矢口，ZCAB=60°,

所以△ACO為等邊三角形,從而CD±AO.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D,

所以PD_L平面ABC,又CDU平面ABC,

所以PD±CD，由PDCIAO=D得,CDd_平面PAB又PAU平面PAB,

所以PAJ_CD.

綜合突破練

一、選擇題

1.如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面a內(nèi)，且ACJ_PC,平面

PACJ_平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是（）

A.一條線段

B.一條直線

C.一個(gè)圓

D.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

選D.因?yàn)槠矫鍼AC,平面PBCAC±PC，平面PACn平面PBC=PC,

ACU平面PAC,所以AC_L平面PBC又因?yàn)锽CU平面PBC,所以

ACLBC.所以/ACB=90。.所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓，

除去A和B兩點(diǎn).

2.如圖所示,將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一

個(gè)二面角，此時(shí)NBAC=60°,那么這個(gè)二面角大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

選D.連接B'C,則^ABC為等邊三角形,

A

B'

設(shè)AD=a，則BC=AC二娘a,B，D=DC=a,

所以B，C2=BT）2+DC2,

所以NB，DC=90。.

3.（多選）（2021?泉州高一檢測(cè)）如圖菱形ABCD中，AB=2,ZDAB

二60。，E是AB的中點(diǎn)，將^ADE沿直線DE翻折至△A,DE的位置

后，連接AC,AiB.若F是A.C的中點(diǎn),則在翻折過程中，下列說

法正確的有（）

A.異面直線AiE與DC所成的角不斷變大

B.二面角ArDC-E的平面角恒為45°

C.點(diǎn)F到平面A1EB的距離恒為苧

D.當(dāng)Ai在平面EBCD的投影為E點(diǎn)時(shí)，直線AiC與平面EBCD所

成角最大

選CD.因?yàn)镈C〃AB，可知NAFB或其補(bǔ)角即是異面直線A.E與DC

所成的角，

在翻折的過程中，異面直線A.E與DC所成的角是先增大后減小，所

以選項(xiàng)A不正確；

二面角Ai-DC-E的平面角不是定值，所以選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)镕是AiC的中點(diǎn)，所以F到平面A.EB的距離是C到平面AiEB

的距離的一半，

因?yàn)镈C〃EB,DCQ平面AiEB,EBU平面AiEB,所以DC〃平面

AiBE,

所以C到平面A.EB的距離等于D到平面AiEB的距離，

又因?yàn)镈ELEB,DE±EA,,EAiAEB=E,

所以DE,平面AiEB,易知DE=S,

所以點(diǎn)D到平面A.EB的距離為小，

即點(diǎn)F到平面A.EB的距離恒為晉，所以選項(xiàng)C正確；

因?yàn)镈E_L平面AiEB,DEU平面DEBC,所以平面A]EB_L平面

DEBC,

平面AiEBCl平面DEBC=EB,在平面AiEB中，作A1H1EB,垂足

為H，則AiH_L平面DEBC直線AC與平面EBCD所成角為NACH,

因?yàn)锳iH<AiE,當(dāng)且僅當(dāng)A.在平面EBCD的投影為E點(diǎn)時(shí)，取到等

號(hào),此時(shí)直線AiC與平面EBCD所成角最大,所以選項(xiàng)D正確.

二、填空題

4.如圖，把邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC沿高線AD折成60。的二面角，

這時(shí)頂點(diǎn)A到BC的距離是________.

在翻折后的圖形中，ZBDC為二面角B-AD-C的平面角，

即NBDC=60。，AD，平面BDC.

過D作DE±BC于E,連接AE,

則E為BC的中點(diǎn)，且AE±BC,

所以AE即為點(diǎn)A到BC的距離.

易知，AD二坐a,△BCD是邊長(zhǎng)為微的等邊三角形，

所以DE=乎a,AE=AD2+DE2=a.

答案中a

5.如圖所示，檢查工件的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一

邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺

邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是_______.

如圖：因?yàn)镺A±OB,OA±OC,OBcp,OCup且OBnOC=O,

根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA_L「，又OAUa,根據(jù)兩平面垂

直的判定定理，可得a_LB.

答案：兩平面垂直的判定定理

6.在空間四邊形ABCD中,平面ABDJ_平面BCD,ZBAD=90°,

且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是_________.

如圖，過A作AO1BD于。點(diǎn)，

因?yàn)槠矫鍭BDJ_平面BCD,所以AO_L平面BCD,則NADO即為

AD與平面BCD所成的角.

因?yàn)?BAD=90。，AB=AD.所以NADO=45。.

答案：45°

7.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，

ZBCD=60°,E是CD的中點(diǎn)，PA_L底面ABCD,PA=2.

(1)平面PBE與平面PAB的位置關(guān)系是________；

⑵平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值為.

⑴連接BD.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，ZBCD=60°,

所以△BCD是等邊三角形，

因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BEJ_CD,所以BEJ_AB.

因?yàn)镻A,平面ABCD,BEU平面ABCD,所以PA±BE,

又PAU平面PAB,ABU平面PAB,PAAAB=A,

所以BE_L平面PAB,

又BEU平面PBE,所以平面PBEJ_平面PAB.

⑵延長(zhǎng)AD,BE相交于點(diǎn)F,連接PF,過點(diǎn)A作AH±PB于H,

由⑴知平面PBEJ_平面PAB,

所以AH_L平面PBE.PFU平面PBE，貝JAH_LPF,

在RtAABF中,因?yàn)閆BAF=60°,

所以AF=2AB=2=AP.

在等腰RtAPAF中，取PF的中點(diǎn)G,連接AG,

則AG1PF，連接HGAGAAH=A,AGU平面AGHAHU平面AGH,

所以PFJ_平面AGH,所以PF1HG,

所以NAGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角（銳角）.

在等腰R3AGP中，AG*AP=g,

在RtZkPAB中，AH二”等JKPAB_2__2^5

-^AP2+AB2巾5

2小

所以，在RtAAHG中，sinZAGH=然=泉~=

故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值為手.

答案：（1）垂直⑵羋

三、解答題

8.如圖，在三棱錐ABCD中，ABLAD,BC_LBD,平面ABDJ_平

面BCD,點(diǎn)E,F（E與A,D不重合）分別在棱AD,BD上，且EF1AD.

求證：（1）EF〃平面ABC；

(2)AD±AC.

【解題指南】(1)根據(jù)ABJ_AD,EF±AD，可得EF〃AB，從而得EF〃

平面ABC.

(2)證明BC±AD,再由AB±AD,從而可得AD,平面ABC,即得

AD±AC.

【證明】(1)在平面