數(shù)學（選修23）練習8.3正態(tài)分布曲線活頁作業(yè)18

活頁作業(yè)(十八)正態(tài)分布曲線一、選擇題1．關于正態(tài)分布的分布密度曲線的敘述：①曲線關于直線x＝μ對稱，并且曲線在x軸上方；②曲線關于y軸對稱，且曲線的最高點的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2π)σ)))；③曲線最高點的縱坐標是eq\f(1,\r(2π)σ)，且曲線無最低點；④當σ越大，曲線越尖陟，σ越小，曲線越扁平．上述說法正確的是()A．①和② B．②和③C．④和③ D．①和③解析：曲線的對稱軸為x＝μ，不一定是y軸，故②錯；σ越大，曲線越扁平，σ越小，曲線越尖陡，故④錯．答案：D2．某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布N(300,102)，則用電量在320kW·h以上的戶數(shù)約為(參數(shù)數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%)()A．17 B．23C．34 D．46解析：P(ξ＞320)＝eq\f(1,2)×[1－P(280＜ξ＜320)]＝eq\f(1,2)×(1－95.44%)＝0.0228，∴用電量在320kW·h以上的戶數(shù)約為0.0228×1000＝22.8≈23.故選B．答案：B3．設隨機變量X服從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)解析：依題意，由函數(shù)f(x)有零點得Δ＝16－4X≥0，X≤4，因此所求的概率等于1－P(X>4)＝1－P(X＝5)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5＝eq\f(31,32)，故選C．答案：C4．若隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則ξ在區(qū)間(－3,3)上取值的概率約等于()A．0.683 B．0.954C．0.997 D．0.317解析：μ＝0，σ＝1，區(qū)間(－3,3)為特殊區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，故其概率約為0.997.答案：C二、填空題5．如果隨機變量ξ～N(－1，σ2)，且P(－3＜ξ≤－1)＝0.4，那么P(ξ≥1)＝________.解析：P(ξ≥1)＝P(ξ≤－3)＝0.5－P(－3＜ξ≤－1)＝0.5－0.4＝0.1.答案：0.16．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)．若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，則a的值為________解析：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)∴2a－3與a＋2關于x＝3對稱∴2a－3＋a∴3a∴a＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)三、解答題7．若X～N(3,1)，求P(4＜X＜6)．解：P(0＜X＜6)＝P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997，P(2＜X＜4)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.683.∵P(0＜X＜6)－P(2＜X＜4)＝0.314，∴由對稱性知2·P(4＜X＜6)＝0.314.∴P(4＜X＜6)＝0.157.8．某廠生產的T型零件的外直徑X～N(10,0.22)．一天從該廠上午、下午生產的T型零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為9.52和9.98.試分析該廠這一天的生產狀況是否正常．解：∵X～N(10,0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，∴該廠全天的生產狀況是正常的．一、選擇題1．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)．若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，則c等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：∵ξ～N(2,9)，∴P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜3－c)．又∵P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，∴3－c＝c－1.∴c＝2.答案：B2．以Φ(x)表示標準正態(tài)總體在區(qū)間(－∞，x)內取值的概率．若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則概率P(|ξ－μ|＜σ)等于()A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．2Φ(1)－1C．Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－μ,σ)))D．2Φ(μ＋σ)解析：P(|ξ－μ|＜σ)＝P(－σ＜ξ－μ＜σ)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＜\f(ξ－μ,σ)＜1))＝Φ(1)－Φ(－1)＝2Φ(1)－1.答案：B二、填空題3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\s\up10(\f(x－12,72))，則f(0)，f(1)，f(3)按由小到大排序應為________________．解析：由f(x)知μ＝1,2σ2＝72，∴σ＝6.f(x)的對稱軸是x＝1，∴f(3)<f(0)<f(1)．答案：f(3)<f(0)<f(1)4．已知正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\s\up10(\f(x－μ2,2σ2))，x∈R.給出以下四個命題：①對任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果隨機變量X服從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X＜x)，那么F(x)是R上的增函數(shù)；③如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標準差是100；④隨機變量X服從N(μ，σ2)，P(X＜1)＝eq\f(1,2)，P(X＞2)＝p，則P(0＜X＜2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________________(寫出所有真命題的序號)．解析：畫出正態(tài)分布N(μ，σ2)的密度曲線如圖．由圖可得①圖象關于x＝μ對稱，故①正確；②隨著x的增加，F(xiàn)(x)＝P(X＜x)也隨著增加，故②正確；③如果隨機變量X服從N(108,100)，那么X的期望是108，標準差是10；④由圖象的對稱性，可得④正確．答案：①②④三、解答題5．在某次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N(100,100)．已知滿分為150分．(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(80,120]的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．解：(1)由ξ～N(100,100)知，μ＝100，σ＝10.∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954，即考試成績位于區(qū)間(80,120]的概率為0.954.(2)∵P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.683，∴P(ξ＞110)＝eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.∴P(ξ≥90)＝0.683＋0.1585＝0.8415.∴及格人數(shù)為2000×0.8415＝1683.6．從某企業(yè)生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產品質量指標值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)．(2)由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產品，記X表示這100件產品中質量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產品件數(shù)，利用①的結果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954.解：(1)抽取產品的質量指標值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102