北師大版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形第一章素養(yǎng)綜合檢測課件

第一章素養(yǎng)綜合檢測(滿分100分,限時(shí)90分鐘)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1.(2024江西九江期中)下列說法錯(cuò)誤的是

(

)A.平行四邊形的對(duì)邊相等B.正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等C.菱形的對(duì)角線相等且平分D.矩形的對(duì)角線相等且互相平分C解析

A.平行四邊形的對(duì)邊相等,故該選項(xiàng)中說法正確,不符

合題意;B.正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等,故該選項(xiàng)中

說法正確,不符合題意;C.菱形的對(duì)角線互相垂直且平分,故

該選項(xiàng)中說法不正確,符合題意;D.矩形的對(duì)角線相等且互相

平分,故該選項(xiàng)中說法正確,不符合題意.故選C.2.(2024廣東深圳南山期末)下列平行四邊形中,根據(jù)圖中所

標(biāo)出的數(shù)據(jù),不能判定是菱形的是

(

)

C解析根據(jù)等腰三角形的判定定理可得,平行四邊形的一組

鄰邊相等,即可判定該平行四邊形是菱形,故A不符合題意;根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得,平行四邊形的對(duì)角線互相垂直,即

可判定該平行四邊形是菱形,故B不符合題意;一組鄰角互補(bǔ),

不能判定該平行四邊形是菱形,故C符合題意;根據(jù)平行四邊

形的鄰角互補(bǔ),對(duì)角線平分一個(gè)120°的角,可得平行四邊形的

一組鄰邊相等,即可判定該平行四邊形是菱形,故D不符合題

意.故選C.3.小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具,

他先活動(dòng)學(xué)具成為如圖1所示的菱形,并測得∠B=60°,對(duì)角線

AC=20cm,接著活動(dòng)學(xué)具成為如圖2所示的正方形,則圖2中

對(duì)角線AC的長為

(

)DA.20cm

B.30cm

C.40cm

D.20

cm解析如圖,連接AC.圖1中,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,

∴AB=BC=AC=20cm,在圖2中,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AC=

AB=20

cm.故選D.4.(2024河南鄭州一中月考)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,

BD相交于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),且OE=3,則菱形ABCD的周長

為

(

)

A.9

B.12

C.18

D.24D解析∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB=CD=CB,AC⊥BD,

∴∠AOD=90°,∵E為AD的中點(diǎn),∴OE=AE=DE=

AD,∵OE=3,∴AD=2OE=2×3=6,∴AD+AB+CD+CB=4AD=4×6=24,∴菱形ABCD的周長

為24,故選D.5.(2024江西修水期中)如圖,四邊形ABCD是正方形,延長AB

到點(diǎn)E,使AE=AC,則∠BCE的度數(shù)是

(

)

A.62.5°

B.45°

C.32.5°

D.22.5°D解析∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCA=45°,∵AE=AC,∴∠E=∠ACE=

(180°-∠BAC)=

×(180°-45°)=67.5°,∴∠BCE=67.5°-45°=22.5°,故選D.6.(2024廣東揭陽榕城期中)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,

延長AD到E,使DE=AD,連接EB,EC,DB,添加一個(gè)條件,不能使

四邊形DBCE成為矩形的是

(

)

A.AB=BE

B.CE⊥DEC.∠ADB=90°

D.BE⊥ABD解析

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,BC=AD,BC

∥AD,AB∥CD,∵DE=AD,BC∥AD,∴BC=DE,∴四邊形

DBCE是平行四邊形.A.添加AB=BE時(shí),∵AB=CD,∴BE=CD,

∴平行四邊形DBCE是矩形,故選項(xiàng)A不符合題意;B.添加CE

⊥DE時(shí),∠CED=90°,∴平行四邊形DBCE是矩形,故選項(xiàng)B不

符合題意;C.添加∠ADB=90°時(shí),∠BDE=180°-∠ADB=90°,∴平行四邊形DBCE是矩形,故選項(xiàng)C不符合題意;D.添加BE⊥AB時(shí),∵AB∥CD,∴BE⊥CD,∴平行四邊形DBCE是菱形,故選項(xiàng)D符合題意.故選D.7.(2024河南鄭州一中月考)如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,P為

邊BC上一動(dòng)點(diǎn),PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),

沿著BC勻速向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),則線段EF的值的大小變化情況是

(

)A.一直增大

B.一直減小CC.先減小后增大D.先增大后減少解析如圖,連接AP.∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴四邊

形AFPE是矩形,∴EF=AP,由垂線段最短可得AP⊥BC時(shí),AP

最短,此時(shí)線段EF的值最小,∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿著BC勻速

向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),則線段EF的值的大小變化情況是先減小后增

大.故選C.

方法解讀本題考查了矩形的判定與性質(zhì),垂線段最短的性

質(zhì).判斷出AP⊥BC時(shí),線段EF的值最小是解題的關(guān)鍵.8.(2024江西九江期中)如圖,O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中

點(diǎn),△ACE為等邊三角形.若AB=2,則OE的長度為

(

)

A.

B.

C.2

D.2

B解析∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,∴AC=2

,∵O為正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn),∴AO=

,∵△ACE為等邊三角形,∴∠AOE=90°,∴AE=AC=2

,∴OE=

=

.故選B.9.(2023山東濰坊中考)如圖,在直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),∠AOC=60°.將菱形OABC沿x軸向右平移

1個(gè)單位長度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長度,得到菱形O'A'B'

C',其中點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

(

)AA.(-2,

-1)

B.(-2,1)

C.(-

,1)

D.(-

,

-1)解析如圖,過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E,∴∠BEA=90°,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),∴OA=2,∵四邊形OABC是菱形,∴AB=OA=2,AB∥OC,∴∠EAB=∠AOC=60°,∴∠ABE=30°,∴AE=

AB=

×2=1,由勾股定理得BE=

=

=

,∴OE=AE+OA=1+2=3,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3,

).

∵將菱形OABC沿x軸向右平移1個(gè)單位長度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長度,得到菱形O'A'B'C',∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為(-2,

-1).故選A.10.(2023浙江紹興中考)如圖,在矩形ABCD中,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn),∠ABD=60°,動(dòng)點(diǎn)E在線段OB上,動(dòng)點(diǎn)F在線段OD上,點(diǎn)E,F同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),分別向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng),且始終保持OE=OF.點(diǎn)E關(guān)于AD,AB的對(duì)稱點(diǎn)為E1,E2;點(diǎn)F關(guān)于BC,CD的對(duì)稱點(diǎn)為F1,F2.在整個(gè)過程中,四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是

(

)AA.菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B.菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C.平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D.平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形解析如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BDC=∠ABD=60°,∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°,∵OE=OF,OB=OD,∴DF=EB,由對(duì)稱性可知,DF=DF2,BF=BF1,BE=BE2,DE=DE1,∴E1F2=E2F1.由對(duì)稱性知∠F2DC=∠CDF=60°,∴∠EDA=∠E1DA=30°,∴∠E1DB=60°,同理∠F1BD=60°,∴DE1∥BF1,∵E1F2=E2F1,∴四邊形E1E2F1F2是平行四邊形.當(dāng)E,F,O三點(diǎn)重合時(shí),DO=OB,如圖2所示,∴DE1=DO=DF2=AE1=AE2,即E1E2=E1F2,∴四邊形E1E2F1F2是菱形.當(dāng)E,F分別為OB,OD的中點(diǎn)時(shí),如圖3所示,設(shè)DB=4,則DF2=DF=1,DE1=DE=3,∵∠ABD=60°,∴∠ADB=30°,∴AB=

BD=2,∴AD=

=2

,連接AE,AO,∵∠ABO=60°,BO=2=AB,∴△ABO是等邊三角形,∵E為OB的中點(diǎn),∴AE⊥OB,BE=1,∴AE=

=

.根據(jù)對(duì)稱性可得AE1=AE=

.∵AD2=12,D

=9,A

=3,∴AD2=A

+D

,∴△DE1A是直角三角形,且∠E1=90°,∴四邊形E1E2F1F2是矩形.當(dāng)F,E分別與D,B重合時(shí),如圖4,易知△BE1D,△BDF1都是等

邊三角形,則四邊形E1E2F1F2是菱形.綜上,在整個(gè)過程中,四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形

→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形,故選A.二、填空題(本大題共5小題,每小題3分,共15分)11.如圖,三位同學(xué)分別站在一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處做

投圈游戲,目標(biāo)物放在斜邊AC的中點(diǎn)O處,已知AC=6m,則點(diǎn)

B到目標(biāo)物的距離是

m.

3解析∵∠ABC=90°,O是斜邊AC的中點(diǎn),∴BO=

AC=3m.12.(2024遼寧沈陽皇姑期末)如圖,E為正方形ABCD的邊BC

的延長線上的點(diǎn),且CE=AC,連接AE,則∠E=

度.

22.5解析∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,∵CE=AC,∴∠CAE=∠E=

∠ACB=22.5°.13.(2022遼寧營口中考)如圖,將△ABC沿著BC方向平移得到

△DEF,只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形ABED是菱形,這

個(gè)條件可以是

.(寫出一個(gè)即可)

AB=AD(答案不唯一)解析這個(gè)條件可以是AB=AD,理由如下:由平移的性質(zhì)得

AB∥DE,AB=DE,∴四邊形ABED是平行四邊形,添加AB=AD,

則平行四邊形ABED是菱形,故答案為AB=AD(答案不唯一).14.(2022甘肅中考)如圖,菱形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交

于點(diǎn)O,若AB=2

cm,AC=4cm,則BD的長為

cm.

8解析∵四邊形ABCD是菱形,AC=4cm,∴AC⊥BD,BO=DO,

AO=CO=2cm,∵AB=2

cm,∴BO=

=4cm,∴DO=BO=4cm,∴BD=8cm.故答案為8.15.(一題多解)(2023河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,在邊長為2

的正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接EC,FD,

點(diǎn)G,H分別是EC,FD的中點(diǎn),連接GH,則GH的長度為

.

1解析解法一:連接CH并延長交AD于P,連接PE,∵四邊形ABCD是正方形,且邊長為2

,∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2

,∵E,F分別是邊AB,BC的中點(diǎn),∴AE=CF=

×2

=

,∵點(diǎn)H是FD的中點(diǎn),∴DH=FH,∵AD∥BC,∴∠DPH=∠FCH,又∵∠DHP=∠FHC,∴△PDH≌△CFH

(AAS),∴PH=CH,PD=CF=

,∴AP=AD-PD=

,∴PE=

=

=2,∵點(diǎn)G,H分別是EC,CP的中點(diǎn),∴GH=

EP=1.解法二:連接GF,可得GF=

BE=

,且GF∥BE,作GM⊥DC于M,可得四邊形GFCM為矩形,所以CM=

,GM=

,延長GH交CD于N,可得△GHF≌△NHD,所以DN=GF=

,GH=HN=

GN,所以MN=

,由勾股定理可求出GN=2,從而GH=1.解法三:連接EH并延長,交CD于點(diǎn)M,連接FG并延長,交EH于

點(diǎn)O,交AD于點(diǎn)N.可知△OGH為等腰直角三角形,且OH=

AD=

,所以GH=1.解法四:連接FG并延長至點(diǎn)O,使OG=GF,連接BD,易知點(diǎn)O為

正方形對(duì)角線的交點(diǎn),GH是△OFD的中位線,所以GH=

OD=

BD=1.

解法五:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.易知E(0,

),C(2

,0),F(

,0),D(2

,2

).所以G

,H

,所以GH=

=1.解法六:根據(jù)圖形特性,將圖形放在格點(diǎn)圖中,小正方形的邊長為

,觀察可得GH=1.

三、解答題(共55分)16.(2023福建大田期末)(6分)如圖,在菱形ABCD中,E,F分別

是AB,AD的中點(diǎn),連接DE,BF.求證:DE=BF.

證明∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),∴AE=

AB,AF=

AD,∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴AE=AF.在△DAE與△BAF中,

∴△DAE≌△BAF(SAS),∴DE=BF.17.(新考向·尺規(guī)作圖)(2024河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)(6分)如圖,

在矩形ABCD中,BD是對(duì)角線.(1)作線段BD的垂直平分線(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不

寫作法).(2)設(shè)BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE,DF.

試判斷四邊形BEDF的形狀,并說明理由.解析

(1)如圖,直線MN就是線段BD的垂直平分線.

(2)四邊形BEDF是菱形.理由:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥

BC,∴∠DEF=∠BFE,∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,BF=DF,∠DEF=∠BEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∴BE=ED=DF=BF,

∴四邊形BEDF是菱形.18.(7分)如圖,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),F是CD延

長線上的一點(diǎn),且BE=DF,連接AE,AF,EF.(1)求證:△ABE≌△ADF.(2)若AE=5,請(qǐng)求出EF的長.

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF=5,∠BAE=∠DAF.∵∠BAE

+∠EAD=90°,∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°.∴EF=

=5

.19.(7分)如圖,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,△

ABO是等邊三角形,AB=1.(1)求證:?ABCD是矩形.(2)求矩形ABCD的面積.

解析

(1)證明:∵△ABO是等邊三角形,∴OA=OB=AB,∵四

邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,∴OA=OC=OB

=OD,∴AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=2AO,∵AB=1,

∴AO=1,∴AC=2,由勾股定理得BC=

=

=

,∴矩形ABCD的面積=1×

=

.20.(8分)如圖,將矩形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)C落在C'

處,BC'交AD于點(diǎn)E.(1)若∠DBC=25°,求∠ADC'的度數(shù).(2)若AB=4,AD=8,求△BDE的面積.解析

(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=25°,由折疊可知∠BDC'=∠BDC=90°-25°=65°,∴∠ADC'=∠BDC'-∠ADB=65°-25°=40°.(2)由折疊可知∠CBD=∠EBD,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,設(shè)DE=BE=x,則AE=8-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+AE2=BE2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴DE=5,∴S△BDE=

DE·AB=

×5×4=10.21.(2023陜西西安經(jīng)開五中三模)(10分)如圖,已知四邊形

ABCD為正方形,AB=2

,E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)E作EF⊥DE.交射線BC于點(diǎn)F,以DE、EF為鄰邊作矩形

DEFG,連接CG.(1)求證:矩形DEFG是正方形.(2)CE+CG的值是不是定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)值;若不是,請(qǐng)說

明理由.解析

(1)證明:如圖,過E作EM⊥BC于M點(diǎn),過E作EN⊥CD于

N點(diǎn),∴∠EMC=∠ENC=90°,∵四邊形ABCD為正方形,∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,∴NE=NC,∴四邊形EMCN為正方形,∴EM=EN,∵四邊形

DEFG是矩形,∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,

∴∠DEN=∠MEF,又∵∠DNE=∠FME=90°,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG為正方形.

(2)CE+CG的值為定值.理由如下:∵矩形DEFG為正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,

∴△ADE≌△CDG