高中數(shù)學選擇性必修二課件：5 3 1 函數(shù)的單調(diào)性(人教A版)

第五章

§5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.1函數(shù)的單調(diào)性學習目標1.了解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.2.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負之間的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：思考如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？答案f(x)是常數(shù)函數(shù).f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)>0單調(diào)遞____f′(x)<0單調(diào)遞____增減知識點二利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求出導數(shù)f′(x)的零點；(3)用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.知識點三函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)的絕對值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大____比較“

”(向上或向下)越小____比較“

”(向上或向下)快陡峭慢平緩1.函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減.(

)2.函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)3.函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上的導數(shù)的絕對值越大.(

)4.函數(shù)y＝x3＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞).(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2題型探究PARTTWO2題型探究PARTTWO一、函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象的關(guān)系例1

(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能為解析由函數(shù)的圖象可知：當x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞增，導數(shù)始終為正；當x＞0時，函數(shù)先增后減再增，即導數(shù)先正后負再正，對照選項，應選D.√(2)已知f′(x)是f(x)的導函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是√反思感悟(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系：在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，若f′(x)>0，則y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，則y＝f(x)在這個區(qū)間上單調(diào)遞減；若恒有f′(x)＝0，則y＝f(x)是常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.(2)函數(shù)圖象變化得越快，f′(x)的絕對值越大，不是f′(x)的值越大.跟蹤訓練1

(1)已知y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則所給的四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是√跟蹤訓練1

(1)已知y＝xf′(x)的圖象如圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))，則所給的四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是√解析當0<x<1時，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當x>1時，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.故選C.二、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1(舍).f′(x)，f(x)隨x的變化如表所示.x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減f(1)單調(diào)遞增解函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)，f(x)隨x的變化如下表所示.反思感悟求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間常用解不等式f′(x)<0，函數(shù)在解集與定義域的交集上單調(diào)遞減.解不等式f′(x)>0，函數(shù)在解集與定義域的交集上為單調(diào)遞增.跟蹤訓練2

(1)函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為____________________.解析由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增.若a>0，則當x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當a>0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，＋∞).核心素養(yǎng)之數(shù)學運算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍典例已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.解由已知得f′(x)＝3x2－a，因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立，因為3x2≥0，所以只需a≤0.又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，所以a≤0.素養(yǎng)提升(1)利用導數(shù)法解決取值范圍問題的兩個基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意.②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意.(2)理清運算對象，選擇運算方法，求得運算結(jié)果，充分體現(xiàn)數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導函數(shù)f′(x)的圖象可能為√12345解析∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1,4)上是單調(diào)遞增，∴當x＜1或x＞4時，f′(x)＜0；當1＜x＜4時，f′(x)＞0.2.(多選)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是A.(－∞，2) B.(0,3)

C.(3,4) D.(2，＋∞)12345√解析∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，CD符合.√3.函數(shù)f(x)＝ax3－x在R上為減函數(shù)，則12345√解析

f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.4.若函數(shù)f(x)＝

x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1C.a＞2或a＜－1 D.a＞1或a＜－212345√解析若函數(shù)f(x)有3個單調(diào)區(qū)間，則f

′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2個零點，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2.(－∞，－1]1234512345解析∵f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立.即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立.設(shè)g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，則當x>－1時，g(x)>－1，∴b≤－1.1.知識清單：(1)函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系.(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.(3)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.方法歸納：方程思想、分類討論.3.常見誤區(qū)：利用導數(shù)法解決取值范圍問題時忽略等號是否滿足；忽略定義域的限制.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.(多選)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則下列判斷正確的是A.在區(qū)間(－2,1)上，f(x)單調(diào)遞增B.在(1,2)上，f(x)單調(diào)遞增C.在(4,5)上，f(x)單調(diào)遞增D.在(－3，－2)上，f(x)單調(diào)遞增基礎(chǔ)鞏固√12345678910111213141516√解析由題圖知當x∈(1,2)，x∈(4,5)時，f′(x)>0，所以在(1,2)，(4,5)上，f(x)是單調(diào)遞增，當x∈(－3，－2)時，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)是單調(diào)遞減.123456789101112131415162.函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(2，＋∞) B.(－∞，2)C.(－∞，0) D.(0,2)√12345678910111213141516解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).3.函數(shù)f(x)＝lnx－4x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為12345678910111213141516√4.(多選)函數(shù)f(x)＝xe－x的單調(diào)遞增區(qū)間可以是A.[－1,0] B.[2,8] C.[1,2] D.[0,1]12345678910111213141516√解析由f′(x)＝e－x－x·e－x＝(1－x)·e－x>0，e－x>0，得x<1.√5.函數(shù)f(x)＝xcosx的導函數(shù)f′(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象大致是12345678910111213141516√解析因為f(x)＝xcosx，所以f′(x)＝cosx－xsinx.因為f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.由f′(0)＝1可排除C，D.而f′(1)＝cos1－sin1<0，排除B.123456789101112131415166.函數(shù)f(x)＝(x2＋x＋1)ex的單調(diào)遞減區(qū)間為____________.(－2，－1)解析f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)，令f′(x)<0，解得－2<x<－1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，－1).(－3，－1)∪(0,1)解析由題圖知，當x∈(－∞，－3)∪(－1,1)時，f′(x)<0；當x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)時，f′(x)>0，1234567891011121314151612345678910111213141516解析f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，123456789101112131415169.試求函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間.12345678910111213141516解函數(shù)f(x)＝kx－lnx的定義域為(0，＋∞)，當k≤0時，kx－1<0，∴f′(x)<0，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.12345678910111213141516綜上所述，當k≤0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，無單調(diào)遞增區(qū)間；123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.(1)若a＝1，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；解∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，∴切點坐標為(1,3)，∴所求切線方程為y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.12345678910111213141516(2)若a>0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.解f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，1234567891011121314151611.已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)＝x2－alnx在(1,2)上為單調(diào)遞增，則a等于綜合運用√12345678910111213141516解析因為函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上單調(diào)遞減，依題意得，g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，即2x2≥a在(1,2)上恒成立，故a≤2.所以a＝2.1234567891011121314151612.設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的恒大于0的可導函數(shù)，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，則當a<x<b時有A.f(x)g(x)>f(b)g(b)

B.f(x)g(a)>f(a)g(x)C.f(x)g(b)>f(b)g(x)

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)√12345678910111213141516又因為f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，又因為f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x).1234567891011121314151613.已知函數(shù)f(x)＝x3－12x，若f(x)在區(qū)間(2m，m＋1)上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的取值范圍是________.[－1,1)解析令f′(x)≤0，即3x2－12≤0，解得－2≤x≤2.∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－2,2]，由題意得(2m，m＋1)?[－2,2]，14.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，則關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.(－∞，－1)∪(0,1)解析因為在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，f(x)的草圖如圖所示，所以xf(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1).1234567891011121314151615.(多選)已知f(x)為(0，＋∞)上的可導函數(shù)，且(x＋1)·f′(x)>f(x)，則下列不等式一定成立的是A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3)C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2)拓廣探究√12345678910111213141516√解析由(x＋1)f′(x)>f(x)，得(x＋1)f′(x)－f(x)>0，12345678910111213141516∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(2)<g(3)<g(4)，即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故選BD.1234567891011121314151616.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋ln(x＋1).12345