高中數學選擇性必修2課件：4 4- 數學歸納法(人教A版)

4.4*數學歸納法課標要求素養(yǎng)要求1.了解數學歸納法的原理.2.能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題.通過利用數學歸納法證明與自然數n有關的數學命題，發(fā)展學生的邏輯推理和數學運算素養(yǎng).新知探究五十多年前，清華大學數學系趙訪熊教授(1908～1996)給大學一年級學生講高等數學課時，總要先講講數學的基本概念和方法，他對數學歸納法所作的講解極其生動，他講了一個“公雞歸納法”的故事：某主婦養(yǎng)小雞十只，公母各半.她預備將母雞養(yǎng)大留著生蛋，公雞則養(yǎng)到一百天就陸續(xù)殺以佐餐.每天早晨她拿米喂雞.到第一百天的早晨，其中的一只公雞正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃.”這時，主婦來了，正好把這只公雞抓去殺了.這只公雞在第一百天的早晨不但沒有吃著米，反而被殺了.雖然它已有九十九天吃米的經驗，但不能證明第一百天一定有米吃.趙先生把這只公雞的推理戲稱為“公雞歸納法”.問題“公雞歸納法”得到的結論一定正確嗎？提示不一定正確，“公雞歸納法”是不完全歸納法，用其得到的結論是不一定正確的.1.數學歸納法的定義

一般地，證明一個與__________有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)以“當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當____________時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法.正整數nn＝k＋12.數學歸納法中的兩個步驟之間的關系

記P(n)是一個關于正整數n的命題.可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：

條件：(1)P(n0)為真；(2)若______為真，則_________也為真，結論：P(n)為真. (1)第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結論成立，即命題_______為真； (2)第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：______________________________.

只要將兩步交替使用，就有P(n0)為真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….從而完成證明.P(k)P(k＋1)P(n0)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真拓展深化[微判斷]1.與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法.()

提示

也可用其他方法證明.2.在利用數學歸納法證明問題時，只要推理過程正確，也可以不用歸納假設.(

)

提示

數學歸納法的兩個步驟缺一不可.3.用數學歸納法證明等式時，由n＝k到n＝k＋1，等式的項數不一定增加了一項.()××√A.1 B.2C.3 D.4解析邊數最少的凸n邊形是三角形，故選C.答案

C2.用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立.解析本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用上歸納假設，這與數學歸納法的要求不符.答案未用歸納假設解析本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用上歸納假設，這與數學歸納法的要求不符.答案未用歸納假設[微思考]1.數學歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?

提示不一定，如證明n邊形的內角和為(n－2)·180°時，第一個值n0＝3.2.先假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，再證n＝k＋1時命題也成立，就可說明命題成立，請說明原因.

提示假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，其本質是證明一個遞推關系，有了這種向后傳遞的關系，就能從一個起點不斷發(fā)展，以至無窮.如果不證明n＝k＋1時命題也成立，即便前面驗證了命題對許多正整數都成立，也不能保證命題對后面的所有正整數都成立.所以左邊＝右邊，等式成立.②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，那么當n＝k＋1時，1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2即當n＝k＋1時，等式也成立，綜上，對任何n∈N*，等式都成立.規(guī)律方法用數學歸納法證明等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端的項是如何變化的，即增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，并向n＝k＋1時證明目標的表達式進行變形.規(guī)律方法用數學歸納法證明等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端的項是如何變化的，即增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，并向n＝k＋1時證明目標的表達式進行變形.【訓練1】用數學歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).證明

(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.(2)假設當n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即當n＝k＋1時，等式也成立.由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立.

(2)解由(1)，知Sn＝n2，綜上，原不等式成立.規(guī)律方法用數學歸納法證明不等式的四個關鍵：(2)假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立.則當n＝k＋1時，即當n＝k＋1時，不等式成立.由(1)和(2)可知，不等式對所有的n∈N*都成立.題型三用數學歸納法證明整除等數學命題【例3】證明：當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.證明

(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.故f(k＋1)也能被64整除.綜合(1)(2)，知當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.規(guī)律方法用數學歸納法證明整除問題的關鍵是證明當n＝k＋1時，代數式可被除數整除，一般利用構造法，構造出含有除數及n＝k時的代數式，根據歸納假設即可證明.(2)假設當n＝k(k≥4，k∈N*)時，命題成立.現在考慮n＝k＋1時的情形.由(1)和(2)，可知原結論成立.題型四歸納——猜想——證明【例4】將正整數進行如下分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……分別計算各組包含的正整數的和如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， …… (1)求S7的值； (2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，試猜測S1＋S3＋…＋S2n－1的結果，并用數學歸納法證明.解

(1)S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.(2)S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜測S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.證明如下：記Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.①當n＝1時，猜想成立.②假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.則當n＝k＋1時，所以當n＝k＋1時猜想也成立.由①②，可知對任意n∈N*，猜想都成立.規(guī)律方法“歸納—猜想—證明”的一般步驟(1)求a2，a3，a4的值；(2)猜想an的表達式，并用數學歸納法證明.(2)猜想an＝，下面用數學歸納法給出證明.①當n＝1時，結論成立；∴當n＝k＋1時結論成立.一、素養(yǎng)落地1.通過利用數學歸納法證明數學命題，提升邏輯推理和數學運算素養(yǎng).2.在應用數學歸納法證題時應注意以下幾點： (1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定為1； (2)遞推是關鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時式子項數的變化是應用數學歸納法成功證明問題的保障； (3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數學歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數學歸納法證明.A.1＋a B.1＋a＋a2C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4解析將n＝1代入a2n＋1得a3，故選C.答案

C答案B答案D4.某個與正整數有關的命題：如果當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立.現已知n＝5時命題不成立，那么可以推得(

) A.當n＝4時命題不成立

B.當n＝6時命題不成立 C.當n＝4時命題成立

D.當n＝6時命題成立解析因為當n＝k(k