高中數(shù)學(xué)選擇性必修3課件：6 3 2 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(人教A版)

6.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).新知探究同學(xué)們根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二項(xiàng)式系數(shù)．可以寫成如下形式：這個(gè)表在我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，所不同的只是這里的表是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，在那本書里用漢字表示的，這個(gè)表稱為“楊輝三角”．在歐洲，這個(gè)表被認(rèn)為是法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右，由此可見(jiàn)我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面的成就．問(wèn)題你能利用上述規(guī)律寫出下一行的數(shù)值嗎？提示根據(jù)規(guī)律下一行的數(shù)值分別是：1

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1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在求二項(xiàng)式系數(shù)的最大值時(shí)，要注意討論n的奇偶性．拓展深化[微判斷]1．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))．(

)

提示二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間一項(xiàng)(共奇數(shù)項(xiàng))或中間兩項(xiàng)(共偶數(shù)項(xiàng))，但是項(xiàng)的系數(shù)的最大值與項(xiàng)其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān)．2．二項(xiàng)展開(kāi)式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和． (

)

提示在二項(xiàng)式(a＋b)n中只有當(dāng)a，b的系數(shù)都為1時(shí)，展開(kāi)式的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和才等于奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．××3．二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的．

(

)

提示二項(xiàng)式系數(shù)是隨n的增加先增后減的，二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)和a，b的系數(shù)有關(guān)．×答案D答案D2．在(x＋y)n的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是(

) A．第6項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第5，6項(xiàng)

D．第6，7項(xiàng)

解析由題意，得第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的系數(shù)相等，則其二項(xiàng)式系數(shù)也相等，3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8＝________．[微思考]怎樣求二項(xiàng)式系數(shù)和？題型一

二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例1】

(1)試求199510除以8的余數(shù)； (2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解199510＝(8×249＋3)10.∵其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為310外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴199510除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開(kāi)式中除末項(xiàng)為1外，其余的各項(xiàng)均含有8這個(gè)因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即199510除以8的余數(shù)也為1.(2)證明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除．顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除．題型二二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)的和問(wèn)題【例2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

解令x＝1，得： (2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【遷移1】

(變換所求)例2條件不變，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.

解∵(2x－1)5的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

令x＝－1，得： [2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，

即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【遷移2】

(變換所求)例2條件不變，求a1＋a3＋a5的值．【訓(xùn)練2】已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8； (2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.

解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.解令x＝1，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.【訓(xùn)練3】求出(x－y)11的展開(kāi)式中： (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)； (3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)； (4)二項(xiàng)式系數(shù)的和； (5)各項(xiàng)系數(shù)的和．解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等，一、素養(yǎng)落地1．通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．求展開(kāi)式中的系數(shù)或展開(kāi)式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開(kāi)式系數(shù)和特征來(lái)確定．一般地對(duì)字母賦的值為0，1或－1，但在解決具體問(wèn)題時(shí)要靈活掌握．3．注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開(kāi)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)． (2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k∈{0，1，2，…，n}.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1．(1＋x)2n＋1的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是(

) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋32．設(shè)(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，則a0＋a1＋a2＋…＋a11的值為(

) A．－2 B．－1 C．1 D．2解析令x＝－1，則原式化為[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案A3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_________．答案35解設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)可得：備用工具&資料解設(shè)(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項(xiàng)的系數(shù)和為A，偶次項(xiàng)的系數(shù)和為B.則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_________．答案35顯然括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除．3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a8＝________．[微思考]怎樣求二項(xiàng)式系數(shù)和？拓展深化[微判斷]1．二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)