2024年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷

2024年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣22．（3分）下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽 C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎3．（3分）2023年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務(wù)消費(fèi)表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡(luò)零售額突破400億元，居全省地級市第一．將40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×10114．（3分）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）A． B． C． D．5．（3分）為了解學(xué)生上學(xué)的交通方式，劉老師在九年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計(jì)表，估計(jì)該年級學(xué)生乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數(shù)（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．4006．（3分）如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC7．（3分）已知1＜x＜2，化簡(x-1)2+A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x8．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，且1x1+1A．-23 B．23 C．﹣6 9．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥210．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在BC延長線上找一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對稱，連結(jié)DP、AQ交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為（）A．36 B．33 C．32 二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．（3分）計(jì)算：a+2a＝．12．（3分）一名交警在路口隨機(jī)監(jiān)測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時(shí)）．那么這5輛車的速度的中位數(shù)是．13．（3分）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝.14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，則a2+b2＝．15．（3分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點(diǎn)O，若S△ABDS△BCD=16．（3分）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（0，1）是函數(shù)y＝x+1圖象的“近軸點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號）；①y＝﹣x+3；②y=2③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（9分）計(jì)算：|﹣3|+（π﹣2024）0-918．（9分）解方程組：x+19．（9分）如圖，AB是∠CAD的平分線，AC＝AD，求證：∠C＝∠D．20．（10分）先化簡，再求值：2xx2-4解：2x=2=2=x=1當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝1．（1）小樂同學(xué)的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請幫助小樂同學(xué)寫出正確的解答過程．21．（10分）樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務(wù)質(zhì)量，某旅行社隨機(jī)調(diào)查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為；（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）旅行社推出每人可免費(fèi)品嘗兩種美食的活動(dòng)，某游客從上述4種美食中隨機(jī)選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．22．（10分）如圖，已知點(diǎn)A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連結(jié)AB，求點(diǎn)C到線段AB的距離．23．（10分）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．24．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BA延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CB上一點(diǎn)，且AC=（1）求證：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求陰影部分的面積．25．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線y＝ax2﹣2ax+2a（a為常數(shù)且a＞0）與y軸交于點(diǎn)A．（1）若a＝1，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段OA（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線y＝x交于M、N兩點(diǎn)，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．26．（13分）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：；“②”處應(yīng)填：；“③”處應(yīng)填：．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點(diǎn)．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D、E在邊AC上，且∠DBE＝45°．設(shè)AD＝x，CE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．

2024年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】A【解答】解：x﹣2＜0，移項(xiàng)，得x＜2．故選：A．2．（3分）下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽 C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎【答案】D【解答】解：選項(xiàng)A中的“帶蓋玉柱形器”的俯視圖是圓形，因此選項(xiàng)A不符合題意；選項(xiàng)B中的“白衣彩陶缽”的俯視圖是圓形，因此選項(xiàng)B不符合題意；選項(xiàng)C中的“鏤空人面覆盆陶器”的俯視圖是圓形，因此選項(xiàng)C不符合題意；選項(xiàng)D中的“青銅大方鼎”的俯視圖是四邊形，因此選項(xiàng)D符合題意．故選：D．3．（3分）2023年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務(wù)消費(fèi)表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡(luò)零售額突破400億元，居全省地級市第一．將40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011【答案】C【解答】解：40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為4×1010．故選：C．4．（3分）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為：（4﹣2）×180°＝360°，五邊形的內(nèi)角和為：（5﹣2）×180°＝540°，六邊形的內(nèi)角和為：（6﹣2）×180°＝720°，∵180＜360＜540＜720，∴在三角形、四邊形、五邊形和六邊形中，內(nèi)角和最小的是三角形，故選：A．5．（3分）為了解學(xué)生上學(xué)的交通方式，劉老師在九年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計(jì)表，估計(jì)該年級學(xué)生乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數(shù)（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．400【答案】D【解答】解：800×3060即估計(jì)該年級學(xué)生乘坐公交車上學(xué)的人數(shù)大約為400人．故選：D．6．（3分）如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【解答】解：A、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，不符合題意；B、根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，不符合題意；C、根據(jù)平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，不符合題意；D、一組對邊平行，另一組對邊相等，可能是等腰梯形，故不能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形，符合題意；故選：D．7．（3分）已知1＜x＜2，化簡(x-1)2+|A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x【答案】B【解答】解：∵1＜x＜2，∴(x-1)2＝x﹣1+2﹣x＝1，故選：B．8．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，且1x1+1A．-23 B．23 C．﹣6 【答案】A【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+p＝0兩根為x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，∵1x1∴x1即-2解得：p=-故選：A．9．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2【答案】C【解答】解：因?yàn)閥＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）．因?yàn)?﹣（﹣1）＝3﹣1，所以x＝﹣1和x＝3時(shí)的函數(shù)值相等．因?yàn)椹?≤x≤t﹣1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)取得最大值，所以t﹣1≤3，又因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以t﹣1≥1，所以1≤t﹣1≤3，解得2≤t≤4．故選：C．10．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在BC延長線上找一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對稱，連結(jié)DP、AQ交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為（）A．36 B．33 C．32 【答案】B【解答】解：如圖過C作CG⊥BC，交AD于點(diǎn)G，作B關(guān)于C的對稱點(diǎn)Q'，連接BD和AQ'交于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴CG垂直平分AD，∵P、Q關(guān)于點(diǎn)C對稱，∴M一定在直線CG上，∵P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，∴可以得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是CH這一段．∵AB＝1＝CD，∴CG＝CD?sin60°=3∵△AHD∽△Q'HB，∴GHCH∴CH=23CG即點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為33故選：B．二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．（3分）計(jì)算：a+2a＝3a．【答案】3a．【解答】解：a+2a＝（1+2）a＝3a，故答案為：3a．12．（3分）一名交警在路口隨機(jī)監(jiān)測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時(shí)）．那么這5輛車的速度的中位數(shù)是66千米/時(shí)．【答案】66千米/時(shí)．【解答】解：數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為57，58，66，69，71，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是66千米/時(shí)．故答案為：66千米/時(shí)．13．（3分）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝120°.【答案】120°．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°．14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，則a2+b2＝29．【答案】29．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+20＝29，故答案為：29．15．（3分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC和BD交于點(diǎn)O，若S△ABDS△BCD=【答案】19【解答】解：∵AD∥BC，∴點(diǎn)B到AD的距離等于D點(diǎn)到BC的距離，∴S△∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴S△AODS△BOC=（ADBC）故答案為：1916．（3分）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)（0，1）是函數(shù)y＝x+1圖象的“近軸點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是③（填序號）；①y＝﹣x+3；②y=2③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為0＜m≤12或-12≤【答案】（1）③；（2）0＜m≤12或-12【解答】解：（1）①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3，∴x＝3，∴y＝﹣x+3與兩坐標(biāo)的交點(diǎn)分別為（0，3）和（3，0），∴函數(shù)y＝﹣x+3的圖象上不存在“近軸點(diǎn)”；②∵y=2x中，在每一象限內(nèi)y隨當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝2，∴函數(shù)y=2③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1；∴函數(shù)y＝﹣x2+2x﹣1的圖象上存在“近軸點(diǎn)”；故答案為：③；（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），∴一次函數(shù)y＝mx﹣3m經(jīng)過（3，0），分兩種情況：①當(dāng)m＞0時(shí)，如圖1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝m﹣3m＝﹣2m，∵一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，∴﹣1≤﹣2m＜0，∴0＜m≤1②當(dāng)m＜0時(shí)，如圖2，由①知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，﹣2m）當(dāng)x＝1時(shí)，y，∵一次函數(shù)y＝mx﹣3m圖象上存在“近軸點(diǎn)”，∴0≤﹣2m＜1，∴-12≤m綜上，m的取值范圍為：0＜m≤12或-12故答案為：0＜m≤12或-12三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（9分）計(jì)算：|﹣3|+（π﹣2024）0-9【答案】1．【解答】解：|﹣3|+（π﹣2024）0-＝3+1﹣3＝1．18．（9分）解方程組：x+【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：x+①+②，得3x＝9，（3分）解得x＝3．（4分）把x＝3代入②，得y＝1．（7分）∴原方程組的解是x=3y=119．（9分）如圖，AB是∠CAD的平分線，AC＝AD，求證：∠C＝∠D．【答案】見解答過程．【解答】證明：∵AB是∠CAD的平分線，∴∠CAB＝∠DAB，∴在△ABC和△ABD中，AC=∴△ABC≌△ABD（SAS），∴∠C＝∠D．20．（10分）先化簡，再求值：2xx2-4解：2x=2=2=x=1當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝1．（1）小樂同學(xué)的解答過程中，第③步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請幫助小樂同學(xué)寫出正確的解答過程．【答案】（1）③；（2）解答見解析．【解答】解：（1）第③步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，分子應(yīng)該是2x﹣x﹣2，故答案為：③．（2）2=2=2=x=1當(dāng)x＝3時(shí)，原式=121．（10分）樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務(wù)質(zhì)量，某旅行社隨機(jī)調(diào)查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為240人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為35；（2）請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）旅行社推出每人可免費(fèi)品嘗兩種美食的活動(dòng)，某游客從上述4種美食中隨機(jī)選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．【答案】（1）240，35；（2）圖形見解析；（3）16【解答】解：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為72÷30%＝240（人），∴m%＝84÷240×100%＝35%，故答案為：240，35；（2）喜好甜皮雞的人數(shù)為：240﹣48﹣72﹣84＝36（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）把四種美食分別記為A：麻辣燙，B：蹺腳牛肉，C：缽缽雞，D：甜皮鴨，畫樹狀圖如下：共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的結(jié)果有2種，∴選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率為21222．（10分）如圖，已知點(diǎn)A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A的一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與y軸交于點(diǎn)C（0，（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連結(jié)AB，求點(diǎn)C到線段AB的距離．【答案】（1）m＝3，n＝3；一次函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+1；（2）32【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（1，m）、B（n，1）在反比例函數(shù)y=∴m＝3，n＝3．又∵一次函數(shù)y＝kx+b過點(diǎn)A（1，3），C（0，1），∴k+b=3∴一次函數(shù)表達(dá)式為y＝2x+1．（2）如圖，連結(jié)BC．過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．∵C（0，1），B（3，1），∴BC∥x軸，BC＝3．∵點(diǎn)A（1，3），B（3，1），AD⊥BC，∴點(diǎn)D（1，1），AD＝2，DB＝2．在Rt△ADB中，AB=AD2又∵S△ABC=1即12∴CE=322，即點(diǎn)C到線段23．（10分）我國明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA'釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方OA″，兩次位置的高度差PQ＝h．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．【答案】（1）秋千繩索的長度為14.5尺；（2）能，OA=h【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A′作A′B⊥OA于點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長度為x尺．由題可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺，∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，∴102+（x﹣4）2＝x2，解得x＝14.5．答：秋千繩索的長度為14.5尺；（2）能．由題可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．在Rt△OA′P中，cosα=OP∴OP＝OA′?cosα＝OA?cosα，同理，OQ＝OA″?cosβ＝OA?cosβ，∵OQ﹣OP＝h，∴OA?cosβ﹣OA?cosα＝h，∴OA?（cosβ﹣cosα）＝h，∴OA=h24．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線CD交BA延長線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CB上一點(diǎn)，且AC=（1）求證：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求陰影部分的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）3π-9【解答】（1）證明：∵CD為⊙O的切線，點(diǎn)C在⊙O上，∴∠OCD＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠OAC＝90°．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA，∵AC=∴∠B＝∠CAE，∴∠CAE＝∠DCA，∴CD∥AE；（2）解：連結(jié)OE、BE，∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE，∵OE＝OB，∴△OEB為等邊三角形．∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°﹣60°120°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°．∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°．∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA+AD，∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，∴AO＝OE＝OC＝3，∴EF=32OE∴△OAE的面積=12AO?FE∵扇形OAE的面積=120π×∴陰影的面積＝扇形OAE的面積﹣△OAE的面積＝3π-925．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線y＝ax2﹣2ax+2a（a為常數(shù)且a＞0）與y軸交于點(diǎn)A．（1）若a＝1，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段OA（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線y＝x交于M、N兩點(diǎn)，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】（1）（1，1）；（2）32≤a＜52；（【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）；（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2a，即拋物線與y軸的交點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，2a），∵線段OA上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，即“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)，而a＞0，∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，這4個(gè)“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，這5個(gè)“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)分別為（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），∴3≤2a＜5，∴a的取值范圍是32≤a（3）易知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），過點(diǎn)P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）．顯然，“完美點(diǎn)”（1，1），（2，2），（3，3）符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過（2，1），（3，2）的兩種情況：①當(dāng)拋物線經(jīng)過（2，1）時(shí)，解得a=12．此時(shí)，P（2，1），Q(3，52如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4個(gè)．②當(dāng)拋物線經(jīng)過（3，2）時(shí)，解得a=25．此時(shí)，P(2，45)，Q（3，如圖所示，滿足題意的“完美點(diǎn)”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6個(gè)．∴a的取值范圍是2526．（13分）在一堂平面幾何專題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問題：【問題情境】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的長．解：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應(yīng)填：△ADE≌△AD′E；“②”處應(yīng)填：EC2+CD′2＝ED′2；“③”處應(yīng)填：5．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬變．【知識遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點(diǎn)．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：EF2＝2BE2+2DF2（直接寫出結(jié)論，不必證明）．【問題再探】如圖5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D、E在邊AC上，且∠DBE＝45°．設(shè)AD＝x，CE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．最后，劉老師總結(jié)到：希望同學(xué)們在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．【答案】【問題解決】①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；【知識遷移】DN2+BM2＝MN2，理由見解析過程；【拓展應(yīng)用】2BE2+2DF2＝EF2，理由見解析過程；【問題再探】y=【解答】解：【問題解決】：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′，連結(jié)ED′．由旋轉(zhuǎn)的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD=∴△ADE≌△AD'E（SAS）．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，EC2+CD′2＝ED′2，∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝