江蘇省蘇州市八校2024屆高三三模適應(yīng)性檢測 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

江蘇省蘇州市八校2024屆高三三模適應(yīng)性檢測數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．為純虛數(shù)2．已知為等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知集合，則（

）A． B．C． D．4．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定:血液中酒精含量達到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了三兩白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個小時才能駕駛?（

）（參考數(shù)據(jù):）A．8 B．7 C．6 D．55．已知，且在方向上的投影向量為單位向量，則（

）A．4 B． C． D．66．記“的不同正因數(shù)的個數(shù)”，“的展開式中項的系數(shù)”，則（

）A． B． C． D．7．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，此時，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．38．對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點”.設(shè)，若函數(shù)恰有3個“可移1倒數(shù)點”，則的取值范圍（

）A． B． C． D．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．過拋物線的焦點的直線與相交于A，B兩點，為坐標原點，則（

）A． B． C． D．10．已知是函數(shù)有四個零點，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C．在上的最小值為 D．存在，使得是奇函數(shù)11．在棱長為2的正方體中，為的中點，以為原點，OB，OD，OO1所在直線分別為軸、軸、軸，建立如何所示空間直角坐標系.若該正方體內(nèi)一動點，滿足，則（

）

A．點的軌跡長為 B．的最小值為C． D．三棱錐體積的最小值為三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數(shù)的值域是.13．已知，則.14．已知函數(shù).①當(dāng)時，，記前項積為，若恒成立，整數(shù)的最小值是;②對所有n都有成立，則的最小值是.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，已知正方體的棱長為，，分別是和的中點.(1)求證：；(2)求直線和之間的距離；(3)求直線與平面所成角的正弦值.16．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的面積;(2)若，求使得恒成立時，實數(shù)的最小值.17．2006年，在國家節(jié)能減排的宏觀政策指導(dǎo)下，科技部在“十一五”啟動了“863”計劃新能源汽車重大項目.自2011年起，國家相關(guān)部門重點扶持新能源汽車的發(fā)展，也逐步得到消費者的認可.如下表是統(tǒng)計的2014年-2023年全國新能源汽車保有量(百萬輛)數(shù)據(jù)：年份代碼12345678910年份2014201520162017201820192020202120222023保有量0.120.501.091.602.613.814.927.8413.1020.41并計算得:.(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求相關(guān)年份與全國新能源汽車保有量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(2)現(xiàn)蘇同學(xué)購買第1輛汽車時隨機在新能源汽車和非新能源汽車中選擇.如果第1輛購買新能源汽車，那么第2輛仍選擇購買新能源汽車的概率為0.6；如果第1輛購買非新能源汽車，那么第2輛購買新能源汽車的概率為0.8，計算蘇同學(xué)第2輛購買新能源汽車的概率；(3)某汽車網(wǎng)站為調(diào)查新能源汽車車主的用車體驗，決定從12名候選車主中選3名車主進行訪談，已知有4名候選車主是新能源汽車車主，假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，求被選到新能源汽車車主的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:相關(guān)系數(shù)：.18．已知圓，直線，直線和圓交于A，B兩點，過A，B分別做直線的垂線，垂足為C，D.(1)求實數(shù)b的取值范圍;(2)若，求四邊形ABDC的面積取最大值時，對應(yīng)實數(shù)的值;(3)若直線AD和直線BC交于點，問是否存在實數(shù)，使得點在一條平行于軸的直線上?若存在，求出實數(shù)的值;若不存在，請說明理由.19．已知函數(shù).(1)時，求的零點個數(shù);(2)若恒成立，求實數(shù)的最大值;(3)求證:.1．C【分析】根據(jù)已知復(fù)數(shù)逐個分析判斷即可【詳解】對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，因為，的以不一定等于1，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以C正確，對于D，因為，所以為實數(shù)，所以D錯誤，故選：C2．B【分析】通過且，可知雖然，但此時數(shù)列不是遞減數(shù)列，充分性不成立；根據(jù)遞減數(shù)列的定義可知必要性成立，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)?shù)缺葦?shù)列且時，，此時不是遞減數(shù)列

充分性不成立當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為遞減數(shù)列時，顯然成立

必要性成立綜上所述：“”是“為遞減數(shù)列”的必要而不充分條件故選【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，涉及到數(shù)列單調(diào)性的定義，屬于基礎(chǔ)題.3．A【分析】求得集合，根據(jù)集合交集的概念可得.【詳解】因為，，所以.故選：A.4．C【分析】設(shè)至少經(jīng)過個小時才能駕駛，由題意可得，計算即可.【詳解】設(shè)至少經(jīng)過個小時才能駕駛，則由題意得，則，所以，所以他至少經(jīng)過6個小時才能駕駛.故選：C.5．B【分析】根據(jù)題意，分別將與平方，然后作差可得，再由條件可得，即可求得，從而得到，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以，即，所以①，因為，所以，即，所以②，①②可得，即又在方向上的投影向量為單位向量，則，即，解得，則，代入②中可得，解得.故選：B6．B【分析】由，即可求出的約數(shù)的個數(shù)，即可求出，再根據(jù)二項式定理求出，即可判斷.【詳解】因為，所以的約數(shù)有個，即，又展開式的項可以看作從個盒子中取出一個元素相乘，每個盒子中均有，，，要得到，需從個盒子中取出，個盒子中取出，個盒子中取出，所以，所以，即.故選：B7．C【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線方程可得點坐標，再由可得，在中可得，從而得到，再由離心率公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為雙曲線，則其漸近線方程為，且，過作的漸近線的平行線，與漸近線在第一象限交于點，則直線方程為，聯(lián)立直線方程，解得，所以，過點作軸的垂線，交軸于點，因為，則，則，且，即，化簡可得，則.故選：C8．A【分析】利用定義轉(zhuǎn)化為求方程恰有3個不同的實根，再借助導(dǎo)數(shù)分段探討零點情況即可.【詳解】依題意，，由恰有3個“可移1倒數(shù)點”，得方程恰有3個不等實數(shù)根，①當(dāng)時，，方程可化為，解得，這與不符，因此在內(nèi)沒有實數(shù)根；②當(dāng)時，，方程可化為，該方程又可化為．設(shè)，則，因為當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，又因為，所以當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，方程在內(nèi)恰有一個實數(shù)根；當(dāng)時，方程在內(nèi)沒有實數(shù)根．③當(dāng)時，沒有意義，所以不是的實數(shù)根．④當(dāng)時，，方程可化為，化為，于是此方程在內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，則有，解得，因此當(dāng)時，方程在內(nèi)恰有兩個實數(shù)根，當(dāng)時，方程在內(nèi)至多有一個實數(shù)根，綜上，的取值范圍為．故選：A【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．9．ACD【分析】利用已知可得，可判斷A；聯(lián)立直線與拋物線方程，可得可得判斷B；求得判斷C；可判斷D.【詳解】對于A：因為直線經(jīng)過點，可得，即，所以，故A正確；對于B：設(shè)由，所以，所以所以所以所以與不垂直，故B不正確；，故C正確；對于D：，故D正確.故選：ACD.10．BCD【分析】由展開得到對應(yīng)系數(shù)相等，即可判斷A、B，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，說明的單調(diào)性，即可判斷C，求出的對稱中心，即可判斷D.【詳解】由題意可得，所以即為系數(shù)的相反數(shù)，即，故A錯誤；即為常數(shù)項，即，故B正確；因為，所以，則在上單調(diào)遞增，又，則在恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以，故C正確；因為，則，所以，所以的對稱中心為，所以關(guān)于對稱，即為奇函數(shù)，則，所以存在，使得為奇函數(shù)，故D正確．故選：BCD．11．BC【分析】由已知方程可得點的軌跡，畫出圖形，再計算軌跡長度可得A錯誤；由投影法可得，當(dāng)點在上投影最小時，向量積最小，求出投影長可得B正確；由平面可得C正確；當(dāng)點位于半圓弧中點時，可由棱錐的體積公式計算體積的最小值可得D錯誤；【詳解】對于A：由可知，點在以為球心，1為半徑的球上，又由可知，點在平面上，所以點為球面與平面的交線，如圖（2）所示，在矩形中，以為圓心，1為半徑的半圓，所以點的軌跡長為，故A錯誤；對于B：由投影法可得，當(dāng)點在上投影最小時，向量積最小，此時點位于半圓弧中點，投影長為，所以，故B正確；對于C：因為平面，平面，所以，故C正確；對于D：因為平面，所以點到平面平面的距離為，則，由圖（2）可知當(dāng)點位于半圓弧中點時，的面積最小為，所以，故D錯誤；故選：BC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題選項A關(guān)鍵是能根據(jù)已知點的方程結(jié)合圖形畫出點的軌跡平面圖形，從而計算即可.12．【分析】首先分析函數(shù)的周期，再分，求出函數(shù)的取值范圍，即可得到函數(shù)的值域.【詳解】因為，所以是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，由，則，所以，則；當(dāng)時，由，則，所以，則；綜上可得的值域為.故答案為：13．##【分析】由條件概率和全概率公式結(jié)合已知計算即可.【詳解】因為，所以，故答案為：.14．3【分析】①先得到，，故，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而確定當(dāng)時，，利用放縮和等比數(shù)列求和公式得到，求出，確定，整數(shù)的最小值為3；變形得到，令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性和最值，得到，故，得到答案.【詳解】，，，故，設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞減，則，故當(dāng)時，，則，所以，綜上，，若恒成立，整數(shù)的最小值為3，，化簡得，即，令，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，故，解得，所以的最小值為.故答案為：3，【點睛】對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.15．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，由，即可得證；（2）首先說明，即點到直線的距離即為兩條平行線和之間的距離，再由空間向量法求出點到直線的距離，即可得解；（3）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）在正方體中，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，所以，故；（2）因為，，所以，所以，由題意知，，，不共線，故，故知點到直線的距離即為兩條平行線和之間的距離，又，則，，，設(shè)點到直線的距離為，則，即直線和之間的距離為；（3）因為，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，從而可得，再由三角形的面積公式代入計算，即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理代入計算，即可得到，再由基本不等式代入計算，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，即，所以，即，則，所以，所以，且，由正弦定理可得，則，所以，則.（2）因為，由余弦定理可得，又，則，即，所以，化簡可得，因為，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又，所以，故即可，所以的最小值為.17．(1)0.89(2)0.7(3)分布列見詳解，1【分析】（1）直接根據(jù)公式計算即可；（2）利用全概率公式即可求解；（3）設(shè)被選到新能源汽車車主人數(shù)為，則可能取值為，分別計算出其概率，然后列出分布列，由公式算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由，則.（2）設(shè)“第1輛購買新能源汽車”，“第1輛購買非新能源汽車”，“第2輛購買新能源汽車”，，由全概率公式得，，所以蘇同學(xué)第2輛購買新能源汽車的概率為.（3）設(shè)被選到新能源汽車車主人數(shù)為，則可能取值為，，，則被選到新能源汽車車主的分布列為，0123所以.18．(1)(2)當(dāng)時四邊形ABDC的面積最大(3)，理由見解析【分析】（1）利用圓與直線相交可建立關(guān)于的不等式，求解即可；（2）聯(lián)立圓與直線的直線方程，利用韋達定理和表示出四邊形ABDC的面積，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（3）表示出直線AD和直線BC交的直線方程，聯(lián)立方程組得到的值，再結(jié)合韋達定理可得實數(shù).【詳解】（1）圓的半徑為2，因為直線和圓交于A，B兩點，所以圓心到直線的距離，解得，則實數(shù)b的取值范圍為；（2）設(shè)，則，由得，所以，，則，因為四邊形為直角梯形，所以四邊形的面積，令，，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時四邊形ABDC的面積最大，且最大值為；

（3），則，且直線、的斜率存在，由（2），，，直線，直線，聯(lián)立得，若為常數(shù)，則，其中為常數(shù)，可得，解得，所以當(dāng)時點在一條平行于軸的直線上.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二、三問解題的關(guān)鍵點是利用韋達定理表示出面積、的值.19．(1)2個(2)(3)證明見解答【分析】（1），求導(dǎo)后令，