山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

呂梁市2024年高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．3．設(shè)，則對任意實數(shù)，則是的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點出發(fā)，每次向左移動的概率為，向右移動的概率為.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位于的位置，則（

）A． B． C． D．5．已知a，，若，，則b的可能值為（

）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．66．設(shè)，當變化時的最小值為（

）A． B． C． D．7．在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（

）A．4 B．6 C．8 D．4.58．設(shè)函數(shù).若實數(shù)使得對任意恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為10．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若，則11．已知正方體的棱長為是空間中的一動點，下列結(jié)論正確的是（

）A．若點在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在的展開式中，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)13．設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，與軸的負半軸交于點，已知，則.14．對任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù)在I上的最大值，若正實數(shù)a滿足,則a的值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標對本地的500家食品生產(chǎn)企業(yè)進行考核，通過隨機抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計其考核成績(單位：分)，并制成如下頻率分布直方圖.(1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01);(2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機抽取5家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績在[96,100]的企業(yè)數(shù)為Y，求Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布，其中μ近似為50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).附參考數(shù)據(jù)與公式：則P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.16．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對任意的，使恒成立，則實數(shù)的取值范圍.17．如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點在母線上，且，.(1)求證：，并求三棱錐的體積；(2)若點為線段上的動點，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離.18．如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點，橢圓上的動點，若到左焦點距離的最大值為，最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過動點作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點，記四邊形的對角線相交于點，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.19．對于無窮數(shù)列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列”，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.1．D【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運算法則，化簡得到，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，則，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為位于第四象限.故選：D.2．B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因為點分別為的中點，,所以，所以.故選：B.3．C【分析】根據(jù)題意，推得為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再由，得到，即，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)與均為遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以在也為單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，所以，所以，故對任意實數(shù)，則是的充要條件.故選：C.4．C【分析】根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，且，結(jié)合二項分布的概率計算公式代入計算，即可求解.【詳解】由題意可知，當時，的可能取值為，且，所以.故選：C5．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】由得，設(shè)，則，又，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．因為，所以．結(jié)合選項可知B正確，ACD錯誤.故選：B.6．C【分析】根據(jù)題意可得在，在上，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線焦點到上點的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】在，在上，設(shè)到準線的垂線交準線于點，軸于.，又為焦點到上點的距離，設(shè)，因為,所以過點的切線的斜率，當與切線垂直時，解得，所以，所以的最小值為.故選：C.7．A【分析】由橢圓定義可知，點與點都在以為焦點的橢圓上，由到中點距離取最大值時得到，故此時體積最大.【詳解】由題可知，點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上，點在平面內(nèi)以為焦點的橢圓上，所以焦距為，即，由橢圓定義可知長軸長為，即，所以到中點距離的最大值為短半軸長，所以中，，，所以，又，所以當垂直平面時四面體體積最大，最大值為，故選：A.8．B【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計算可得答案.【詳解】函數(shù)，依題意，對任意的恒成立，即對恒成立，因此對恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵.9．BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時，；時，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當時，最大，故A錯誤由，可得到，所以，，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當，或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：BD.10．BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，對于A中，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，可得，所以，即，所以A錯誤；對于B中，不妨設(shè)點P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對于C中，由，可得，所以C正確；對于D中，因為，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.11．BCD【分析】建立空間直角坐標系，利用向量求異面直線夾角的取值范圍，判斷A的真假；平面平面，B選項很好判斷；先確定點位置，再展開成平面，轉(zhuǎn)化成平面上兩點之間的距離問題判斷C的真假；先得到是線段上一點，連接并與交于點，分當與重合，在線段（不含點）上，在線段（不含點，）上和與重合四種情況，得到截面積的最大值，判斷D的真假.【詳解】對于，如圖：以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，則則，因為所以，故，則的取值范圍為，故A不正確；對于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；對于C：正方體的棱長為2，為空間中的一動點，在上取點，使，在上取點，使,如圖：由得，即，故為線段上一點.將平面沿展開至與平面共面，如下圖：易知：，則.在平面圖中，當三點共線時，取得最小值，為，故C正確；對于D：因為，所以，又，可知是線段上一點，如圖：連接并與交于點.當與重合時，平面與平面重合，此時截面面積為4.當在線段（不含點）上時，平面截正方體所得截面為三角形，且當與重合時，截面為，此時截面面積最大，由三邊長均為，故此時截面面積最大值為.當在線段（不含點）上時，如圖：延長與交于點，作平行于并與交于點，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，所以.當與重合時，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點在幾何體的同一個平面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點，然后借助交點找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側(cè)面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面.12．15【分析】集合二項式展開式的通項公式即可求出結(jié)果.【詳解】由二項式的展開式的通項公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.13．##【分析】根據(jù)題意，求得且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得到，再聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)到直線的距離為，因為，可得，所以，所以，即且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，則，聯(lián)立方程組，解得，由拋物線的定義，可得.故答案為：14．或【分析】就參數(shù)進行分類討論函數(shù)在的最大值，結(jié)合求出的值，或判斷值不存在即得.【詳解】當時，，由可得，此時；當時，，或.若，則由可得，因，故無解；若，則由可得，此時，即；當時，，因區(qū)間的長度至少為，故，而顯然不成立,故舍去；綜上，a的值為或.故答案為：或.15．(1)84.80分，中位數(shù)84.67分；(2)分布列見解析，1；(3)11家【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)及根據(jù)已知條件求出隨機變量的取值，利用古典概型的概率公式求出隨機變量相應(yīng)取值的概率，進而得出隨機變量的分布列，利用期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)為：由頻率分布直方圖得內(nèi)，解得中位數(shù)(分).（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于88分的企業(yè)有家，其中考核成績在內(nèi)的企業(yè)有家，由題意可知，的可能取值為，,,,∴Y的分布列為：Y012P.（3）由題意得,,∴(家)，∴估計該市500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于95.32分的有11家.16．(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，定義域為，求導(dǎo)，令，討論當取不同的值時的正負情況，即可得到的單調(diào)性；（2）法一：由可化為，令，討論取正、負、零時恒成立，即可得到實數(shù)的取值范圍；法二：由可得，令，即恒成立，由，則令，則恒成立，討論取正、負、零時的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域為，令，又，，當，即時，，此時在上單調(diào)遞增，當，即時，令，解得其中，當時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令，當時，恒成立，，若恒成立，符合題意，，當恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，，若，同理恒成立，由知，當所以不存在滿足條件的.綜上所述：.法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，，令，則恒成立；又，①當時，在單調(diào)遞增成立；②當時，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；③當時，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為恒成立，所以，解得，綜上，.17．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）設(shè)，連接，即可證明平面，平面、平面，再由錐體的體積公式計算可得；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求出直線與平面所成角的正弦值最大值，再由點到面的距離公式計算可得.【詳解】（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，為中點，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又平面，又平面，又平面，所以，又平面，平面平面平面；為中點，，即，又平面，平面，平面平面，，，又平面，.（2）為中點，又，為中點，，，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，設(shè)直線與平面所成角為，，令，則，，當，即時，，，此時，，點到平面的距離.18．(1)(2)存在，，