上海市浦東新區(qū)2024屆高三下學(xué)期三模 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

浦東新區(qū)高三三模數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)填寫結(jié)果，14題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.1．已知全集，集合，則.2．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則.3．設(shè)正數(shù)滿足，則的最小值為．4．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.5．3名男生和2名女生排成一排，則女生互不相鄰的排法的概率為.6．若，則的值為.7．已知，則（用表示）8．已知為偶函數(shù)，若，則．9．一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中不放回地摸出2個(gè)球，記2球中白球的個(gè)數(shù)為X，則.10．如圖，某體育公園廣場(chǎng)放置著一塊高為3米的大屏幕滾動(dòng)播放各項(xiàng)體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面米處觀看?（精確到0.1米）.11．已知點(diǎn)A、B位于拋物線上，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d.若d的最小值為7，則當(dāng)d取該最小值時(shí)，直線的斜率為.12．已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共4題，每題有且只有一個(gè)正確答案考生必在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則一律得零分.13．“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和15．邊長(zhǎng)都是為1的正方形和正方形所在的兩個(gè)半平面所成的二面角為，、分別是對(duì)角線、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．16．有一袋子中裝有大小、質(zhì)地相同的白球k個(gè)，黑球.甲、乙兩人約定一種游戲規(guī)則如下：第一局中兩人輪流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局獲勝但從第二局起，上一局的負(fù)者先摸球.若第一局中甲先摸球，記第局甲獲勝的概率為，則關(guān)于以下兩個(gè)命題判斷正確的是（

）①，且；②若第七局甲獲勝的概率不小于0.9，則不小于1992.A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17．已知，其中，.(1)若，函數(shù)的最小正周期T為，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，求函數(shù)的最小正周期T，并求的解析式.18．如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點(diǎn)在底面的圓周上，且，是垂足．(1)求證：；(2)若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大?。?9．某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）男生女生合計(jì)同意7050120不同意305080合計(jì)100100200(1)能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)?(2)假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇．①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影響．記事件為“學(xué)生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球”，求，并判斷事件，是否獨(dú)立，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)．根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．參考公式和數(shù)據(jù)：，其中，．若，，，．20．已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，、為雙曲線上的點(diǎn).(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.21．已知函數(shù)，其中，.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，…，，…，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”.(1)若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為.問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】,，則.故答案為：.2．【分析】先對(duì)化簡(jiǎn)，然后可求出其共軛復(fù)數(shù)【詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)是.故答案為：3．【詳解】，則，則的最小值為.點(diǎn)睛:本題主要考查基本不等式，解決本題的關(guān)鍵是由，有，在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.4．255【分析】根據(jù)題意結(jié)合通項(xiàng)公式求，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，所以.故答案為：255.5．##0.6【分析】利用插空法求出女生互不相鄰的排法，進(jìn)而得到概率.【詳解】先排男生共有種，男生排好后共有4個(gè)空隙，再把2個(gè)女生排進(jìn)去共有種排法，所以符合條件的共有種排法，故女生互不相鄰的排法的概率為.故答案為：6．【分析】利用賦值法求解.【詳解】根據(jù)題意，，令，得，令，得，所以.故答案為：.7．##【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，得.故答案為：8．或【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，當(dāng)，求解方程，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，即可求得的值．【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，若，，解得，由為偶函數(shù)得，當(dāng)時(shí)，，故的值為或，故答案為：或．9．##【分析】分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，即可計(jì)算出和的值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，則，，，所以，，.故答案為：.10．3.2【分析】作于，設(shè)，根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合不等式求的最大值，并確定對(duì)應(yīng)的即可.【詳解】如圖：作于，設(shè)，則，.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）又，故（米），故答案為：3.211．##【分析】首先證明當(dāng)三點(diǎn)共線，到軸的距離最小，進(jìn)而求出拋物線方程，然后拋物線方程和直線聯(lián)立運(yùn)用韋達(dá)定理即可求出.【詳解】如圖：分別從作準(zhǔn)線的垂線，垂足為,設(shè)，中點(diǎn)，,則到軸的距離為，當(dāng)?shù)捷S的距離最小時(shí)，最小，等號(hào)為三點(diǎn)共線時(shí)取得，所以，解得.故拋物線方程為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去得：，所以，所以，解得（負(fù)根舍去）.故答案為：12．1【分析】先應(yīng)用三角換元，再結(jié)合兩角和差公式及同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵O(shè),因?yàn)樵O(shè),所以可得，因?yàn)?所以,所以.故答案為：1.13．A【分析】求出的解集，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】令，所以的解集為：，所以“”能推出“，而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要條件；故選：A14．C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對(duì)A：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)B：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對(duì)C：對(duì)和，因?yàn)槭遣还簿€的兩個(gè)非零向量，且存在實(shí)數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對(duì)D：不存在實(shí)數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.15．D【分析】由二面角的平面角定義，可得為平面和平面所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的平面角，設(shè)，，利用相似三角形得出和，再利用余弦定理求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得取值范圍．【詳解】設(shè)，，則，由題意，，在上的投影是同一點(diǎn)，設(shè)為，連接，，則為平面和平面所在的兩個(gè)半平面所成的二面角的平面角，則，由，可得，由，可得，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，所以，則．故選：D．16．A【分析】分別計(jì)算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得，從而求得，由于第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，可得，利用數(shù)列求通項(xiàng)公式的構(gòu)造法，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求出，解不等式即可求解.【詳解】第一局：摸1次甲獲勝概率為：，摸3次甲獲勝概率為：，摸5次甲獲勝概率：，摸7次甲獲勝概率：，，摸次甲獲勝概率：，所以，所以，第局甲獲勝包括兩種情況：第局甲贏且第局甲后摸球和第局甲輸且第局甲先摸球，則，故①正確；由，設(shè)，解得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以，即，即，即，即，則，即，解得，所以不小于1992，所以②正確.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是在第一局中求出摸1次，摸3次，，摸次甲獲勝概率，可得其概率是等比數(shù)列，從而得到，利用數(shù)列求和和極限的知識(shí)進(jìn)行求解.17．(1)(2)，.【分析】（1）根據(jù)求出，求出的解析式，利用整體代換法計(jì)算即可求解；（2）由圖可知，，利用平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示求出，進(jìn)而求，將點(diǎn)D代入解析式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題，，解得，故.令，所以的單調(diào)減區(qū)間為.（2）由題，可得，，因此，，又，得.由，得.再將代入，即.由，解得.因此的解析式為.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，得到，結(jié)合，證得平面，進(jìn)而證得；（2）過(guò)點(diǎn)作，證得平面，得到是與平面所成的角，設(shè)圓柱的底面半徑為，求得，進(jìn)而求得的值．【詳解】（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槭菆A柱底面的直徑，點(diǎn)在圓周上，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，且，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）解：過(guò)點(diǎn)作，是垂足，連接，根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面，且平面平面,且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以是在平面上的射影，從而是與平面所成的角，設(shè)圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，且，由，可得，可知是圓柱底面的圓心，且，且，在直角中，可得，所以．19．(1)有關(guān)(2)①，不獨(dú)立，理由見(jiàn)解析；②977【分析】（1）計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）①求出，，，再由條件概率公式求出，由相互獨(dú)立事件的定義即可判斷；②由已知，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，從而估計(jì)出人數(shù).【詳解】（1）提出假設(shè)：學(xué)生對(duì)該問(wèn)題的態(tài)度與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，．因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，的概率約為，所以有的把握認(rèn)為，學(xué)生對(duì)該觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)．（2）①因?yàn)槭录椤皩W(xué)生甲選擇足球”，事件為“甲、乙兩名學(xué)生都沒(méi)有選擇籃球”，所以事件為“學(xué)生甲選擇足球，學(xué)生乙不選擇籃球”，所以，，，所以，因?yàn)椋允录?、不?dú)立．②記經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)為，由已知，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)．因?yàn)椋裕裕ㄈ耍越?jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘跳個(gè)以上人數(shù)約為．20．(1)(2)(3).【分析】（1）由題意，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解；（2）易知直線不與x軸重合，設(shè)其方程為，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合計(jì)算求得即可；（3）如圖，由（2），利用弦長(zhǎng)公式求出，利用平行線之間的距離公式求出平行線與之間的距離，進(jìn)而表示，結(jié)合換元法計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（2）顯然，直線不與x軸重合，設(shè)直線方程為，由，得，由，得，其中，恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為.（3）延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)Q.則由對(duì)稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍.由題，設(shè)，直線程為，直線方程，由第（2）問(wèn)，易得，因?yàn)?，得，因而，平行線與之間的距離為，因此，.令，則，得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），所以，四邊形面積的取值范圍為.21．(1)原點(diǎn)不存在“上位點(diǎn)”，理由見(jiàn)解析(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)存在，【分析】（1）先求得函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程，再根據(jù)“上位點(diǎn)”的定義判斷即可；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合“上位點(diǎn)”的定義化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得、的坐標(biāo)；（3）由（2），構(gòu)造等比數(shù)列可得，由題意，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析判斷即可.【詳解】（1）已知，則，得，故函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，其與函數(shù)圖像無(wú)其他交點(diǎn)，所以原點(diǎn)不存在“上位點(diǎn)”.（2）設(shè)