全等三角形題型總結(jié)

...wd......wd......wd...全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1——“邊邊邊〞例題、：如圖，AD＝BC，AC＝BD.試證明：∠CAD＝∠DBC.(答案〕證明：連接DC，在△ACD與△BDC中∴△ACD≌△BDC〔SSS〕∴∠CAD＝∠DBC〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等〕類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊〞例題、，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝〔AB＋AD〕，求證：∠B＋∠D＝180°.(答案〕證明：在線段AE上，截取EF＝EB，連接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，∴△CBE和△CFE〔SAS〕∴∠B＝∠CFE∵AE＝〔AB＋AD〕，∴2AE＝AB＋AD∴AD＝2AE－AB∵AE＝AF＋EF，∴AD＝2〔AF＋EF〕－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，即AD＝AF在△AFC和△ADC中∴△AFC≌△ADC〔SAS〕∴∠AFC＝∠D

∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.類型三、全等三角形的判定3——“角邊角〞例題、：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.證明：∵M(jìn)Q和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ〔ASA〕∴PM＝HN類型四、全等三角形的判定4——“角角邊〞例題、Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB于E、F．當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)〔如圖1〕，易證；當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2情況下，上述結(jié)論是否成立假設(shè)成立，請給予證明；假設(shè)不成立，請寫出你的猜測，不需證明.解：圖2成立；證明圖2：過點(diǎn)作則在△AMD和△DNB中，∴△AMD≌△DNB〔AAS〕∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME與△DNF中，∴△DME≌△DNF〔ASA〕∴∴可知，∴類型五、直角三角形全等的判定——“HL〞以下說法中，正確的畫“√〞；錯(cuò)誤的畫“×〞，并舉出反例畫出圖形.〔1〕一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．〔〕〔2〕有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．〔〕〔3〕有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．〔〕(答案〕〔1〕√；〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF〔3〕×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH為第三邊上的高，如以以以下圖：1、：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求證：AB∥DC.(答案與解析〕證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF〔HL〕∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE與Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF〔SAS〕∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.(點(diǎn)評(píng)〕從條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.我們可以從和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.2、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D.〔1〕求證：AE＝CD；〔2〕假設(shè)AC＝12，求BD的長.(答案與解析〕〔1〕證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA〔AAS〕．∴AE＝CD．〔2〕解：由〔1〕得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC〔HL〕∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12．∴BD＝6．(點(diǎn)評(píng)〕三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考察三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個(gè)旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè).如以以下圖：△ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個(gè)點(diǎn)到△ABC三邊所在直線距離相等.角的平分線的性質(zhì)及判定1、如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB＝DC.求證：BE＝CF.(答案〕證明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分線，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕∴BE＝CF2、如圖，AC=DB，△PAC與△PBD的面積相等．求證：OP平分∠AOB．(答案與解析〕證明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，，且∴又∵AC＝BD∴PM＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB∴OP平分∠AOB(點(diǎn)評(píng)〕觀察條件中提到的三角形△PAC與△PBD，顯然與全等無關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結(jié)合的題目，有時(shí)候用面積會(huì)取得意想不到的效果.3、如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點(diǎn).求證：AD＝AB＋DC.(答案〕證明：在線段AD上取AF＝AB，連接EF，

∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠1＝∠2，

∵AF＝ABAE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE

由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，

又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，

∵DE是∠ADC的平分線，∴∠3＝∠4，

又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，

∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．類型一、全等三角形的性質(zhì)和判定如圖，：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.(答案)證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB與△EAC中，∴△DAB≌△EAC〔SAS〕∴BD＝CE.類型二、巧引輔助線構(gòu)造全等三角形(1)．作公共邊可構(gòu)造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C(答案)證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕∴∠B＝∠C.(2)．倍長中線法：1、：如以以下圖，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．(答案〕證明：延長CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF〔SAS〕．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等〕又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB〔SAS〕．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、假設(shè)三角形的兩邊長分別為5和7,則第三邊的中線長的取值范圍是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜＜12D.無法確定(答案)A；提示：倍長中線構(gòu)造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以選A選項(xiàng).(3).作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形：如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與∠AHD互補(bǔ)；(2)假設(shè)∠B＋2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.(答案〕證明：〔1〕在AB上取一點(diǎn)M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B與∠AHD互補(bǔ).〔2〕由〔1〕∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3〕.利用截長(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形：1、如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC(答案〕證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS〕∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC2、如以以下圖，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．(答案與解析)證明：∵AB＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形兩邊之差小于第三邊〕．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．∴MC＝ME〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(點(diǎn)評(píng))因?yàn)锳B＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時(shí)BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這說明只要證明ME＝MC，則結(jié)論成立．充分利用角平分線的對(duì)稱性，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵.〔4〕.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.1、如以以下圖，E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．(答案與解析〕證明：作ME⊥AF于M，連接EF．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE為∠FAD的平分線，∴ME＝DE．在Rt△AME與Rt△ADE中，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)．又∵E為CD中點(diǎn)，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF與Rt△ECF中，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)．由圖可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代換)．(點(diǎn)評(píng)〕與角平分線有關(guān)的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.四邊形ABCD為正方形，則∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE說明AE為∠FAD的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線性質(zhì)可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題中要證AF＝AD＋CF．根據(jù)圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．從而把證AF＝AD＋CF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題．2、如以以下圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長線于E，，求證：BD是∠ABC的平分線．(答案與解析〕證明：延長AE和BC，交于點(diǎn)F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC〔對(duì)頂角相等〕，∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA〕．

則AF=BD〔全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等〕．

∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

則Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS〕．

所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形對(duì)應(yīng)角相等〕，即BD是∠ABC的平分線．(點(diǎn)評(píng)〕如果由題目無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型三、全等三角形動(dòng)態(tài)型問題解決動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說理過程對(duì)變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化1、：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，