八年級數(shù)學(xué)下冊：第十六章 二次根式教案

第十六章二次根式

16.1二次根式

第1課時(shí)二次根式的概念和性質(zhì)

1.二次根式的概念和應(yīng)用.

2.二次根式的非負(fù)性.

重點(diǎn)

二次根式的概念.

難點(diǎn)

二京根式的非負(fù)性.

一、情景導(dǎo)入

師：(多媒體展示)請同學(xué)們看屏幕，這是東方明珠電視塔.

電視節(jié)目信號的傳播半徑r/癡與電視塔高h(yuǎn)/筋之間有近似關(guān)系r=d菊(R為地球半

徑).如果兩個電視塔的高分別為瓜km,h2km,那么它們的傳播半徑之比為多少？同學(xué)們

能化簡這個式子嗎？

由學(xué)生計(jì)算、討論后得出結(jié)果，并提問.

師：那么怎么去化簡它呢？這要用到二次根式的運(yùn)算和化簡.如何進(jìn)行二次根式的運(yùn)

算？如何進(jìn)行二次根式的化簡？這將是本章所學(xué)的主要內(nèi)容.

二、新課教授

活動1：知識遷移，歸納概念

(多媒體演示)用含根號的式子填空.

(1)17的算術(shù)平方根是.；

(2)如圖，要做一個兩條直角邊長分別為7腐和4金的三角形,斜邊長應(yīng)為________cm；

(3)一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130方，則它的寬為俄

(4)面積為3的正方形的邊長為,面積為a的正方形的邊長為；

(5)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位：s)與開始落下時(shí)的高度

h(單位：加滿足關(guān)系h=5/,如果用含有h的式子表示t,則弋=.

【答案】⑴而⑵相(3)^65⑷小乖

活動2：二次根式的非負(fù)性

(多媒體展示)

(1)式子、「表示的實(shí)際意義是什么？被開方數(shù)a滿足什么條件時(shí)，式子小才有意義?

⑵當(dāng)a>0時(shí)，_0；當(dāng)a=0時(shí)，_0;二次根式是一個—

【答案】(Da的算術(shù)平方根，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)(2)>=非負(fù)數(shù)

老師結(jié)合學(xué)生的回答，強(qiáng)調(diào)二次根式的非負(fù)性.

當(dāng)a>0時(shí)，^表示a的算術(shù)平方根，因此3>0；

當(dāng)a=0時(shí)，J表示0的算術(shù)平方根，因此4=0.

也就是說，當(dāng)a己0時(shí)，y/a^0.

三、例題講解

【例】當(dāng)X是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，，三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x—220,得x22.

所以當(dāng)x22時(shí)，正三在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

四、鞏固練習(xí)

1.已知壽-2+[b+,=0,求一a2b的值.

【答案】在三與0,小十),又I?它們的和為0,；.a—2=0且b+/=0,解得a

—2,b=一;.

/.—a'b=—22X(―^)=2.

2.若x,y使5―1+^1—x—y=3有意義,求2x+y的值.

【答案】-1

五、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次根式的概念.形如函(a20)的式子叫做二次根式，“廠”

稱為二次根號.

2.二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義?/(a20)又是什么數(shù)？

致與反思

1.本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例，學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)與

啟發(fā)，師生互動，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位.

2.注重知識之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對新

知的理解.

第2課時(shí)二次根式的化簡

教學(xué)目標(biāo)＜：?<

1.理解(、辰)2=a(a20),并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2.通過具體數(shù)據(jù)的解答探,究G=a(a20),并利用這個結(jié)論解決具體問題.

重Q難Q＜：?<

重點(diǎn)

理解并掌握(京)2=a(a20),,=a(a20)以及它們的運(yùn)用.

難點(diǎn)

探究結(jié)論.

教與設(shè)計(jì)＜：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

教師復(fù)習(xí)口述上節(jié)課的重要內(nèi)容，并板書：

1.形如熊(a20)的式子叫做二次根式.

2.4(aN0)是一個非負(fù)數(shù).

那么，當(dāng)a20時(shí)，(/)2等于什么呢？下面我們一起來探究這個問題.

二、新課教授

活動1：

(多媒體演示)根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空:

g)2=；(?三；

（Vo?ol）2=；（Vo）2=.

由學(xué)生計(jì)算、討論得出結(jié)果，并提問部分過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評.

老師點(diǎn)評：

#是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，市是一個平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此

（皿）2=4.

同理：（蛆）2=2；（y$2=；；（y|）2='|；（"01）2=0.01；（，5尸=0.

所以歸納出：（、人）2=a（a20）.

【例1】教材第3頁例2

活動2：

根據(jù)算術(shù)平方根的意義，1們可以得到:

鉗=2；、o.?=（）.1；q

/FM；7嗎）t；價(jià)

所以歸納出：q/=a（ae0）.

【例2]教材第4頁例3

教師點(diǎn)評：_

當(dāng)a20時(shí)，y[^=a；

當(dāng)aWO時(shí)，-a.

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)理解并掌握（4尸=@匕、0）和,=a（a2O）及其運(yùn)用，同時(shí)應(yīng)理解[￡=一

a（a^O）.

教學(xué)反思＜

1.注意前后知識之間的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.按照由特

殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度.

2.在總結(jié)二次根式性質(zhì)的過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流活動

中體會成功.

16.2二次根式的乘除

第1課時(shí)二次根式的乘法

教學(xué)目標(biāo)＜

理解并掌握熊?4=d^（a20,b20）,y/a?b=y[a?^/b（a^O,bNO）,會利用它們

進(jìn)行計(jì)算和化簡.,

重Q難后＜

重點(diǎn)

y[a?y[b=yfab(a^O,b20),y]a?b=/?/(a》0,b20)及它們的運(yùn)用.

難點(diǎn)，

利用逆向思維，導(dǎo)出必?m(a20,b20).

教學(xué)設(shè)計(jì)〈

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

活動1:發(fā)現(xiàn)探究

(多媒體展示)填空：

(1)X

^4X9

(2)^25X

425X16=

(3)X=

(4)yflOOX雨

#100X0

生：(1)皿義m=6,.4X9=6；(2)正乂m=20,^25X16=20；⑶yj9標(biāo)二

2,-\JfX36=2;(4)VT00XA/0=0,^100X0=0.

試一試，參考上面的結(jié)果，比較四組等式的大小關(guān)系.

生：上面各組中兩個算式的結(jié)果相等.

二、新課教授

活動2：總結(jié)規(guī)律

結(jié)合剛才的計(jì)算，學(xué)生分組討論，教師提問部分學(xué)生，最后教師綜合學(xué)生的答案，加以

點(diǎn)評，歸納出二次根式的乘法法則.

教師點(diǎn)評：

1.被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù).

2.兩個非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的積等于它們積的算術(shù)平方根.

一般地，二次根式的乘法法則為：

,y/b=y[ab(a^0,b20)

由等式的對稱性，反過來：

■\[ab—y[a,\[b(a^0,b20)

活動3：講練結(jié)合

教材第6?7頁例題

三、鞏固練習(xí)

完成課本$7頁的練習(xí).

【答案】_

課本練習(xí)第1題：⑴班;(2)6；(3)24；(4)2.

第2題：(1)77；(2)15；⑶2電;(4)4bc^.

第3題：4群.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：而（a，0,b20）,，而=4?4（a20,b，0）及其應(yīng)用.

教竽反思<

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.學(xué)生積極主動探索，教師引導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)

律，降低學(xué)生理解的難度.

2.在二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測，經(jīng)過思考、分析、討論的過

程，讓學(xué)生在交流中體會成功.第2課時(shí)二次根

式的除法

制與目標(biāo)<：?<

Va

|(a^0,b>0)和（a>0,b>0）,會利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

sats：，，?，人H，?，?：?<

重點(diǎn)

理解并掌握東=

己(a》0,b>0),Va

一乖（a20,b>0）,利用它們進(jìn)行計(jì)算和化

簡.

難點(diǎn)

歸向二次根式的除法法則.

教與設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

活動1:

1.由學(xué)生回答二次根式的乘法法則及逆向等式.

2.填空（多媒體展示）.

⑴

⑵一

二、新課教授

活動2：

先由學(xué)生對上面的結(jié)果進(jìn)行比較，觀察每組兩個算式結(jié)果的大小關(guān)系，并總結(jié)規(guī)律.

教師點(diǎn)評：

一個不負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根除以一個正數(shù)的算術(shù)平方根，等于它們商的算術(shù)平方根.

一般地，二次根式的除法法則是：

~(a^0,b>0)

由等式的對稱性，反過來:

y]a

(a20,b>0)

【例】教材第8?9頁例題

三、鞏固練習(xí)

課本第10頁練習(xí)第1題.

【答案】（1）3（2）273（3）乎（4）2a

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握

(a20,b>0)及其應(yīng)用.

教學(xué)反思＜

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘法，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探

究的興趣.

2.二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分

析的過程，讓學(xué)生大膽猜測，使學(xué)生在交流中體會成功.

第3課時(shí)最簡二次根式

教學(xué)目標(biāo)＜：?<

最簡二次根式的概念、利用最簡二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡和運(yùn)算.

重Q難Q＜：?<

重點(diǎn)

最簡二次根式的運(yùn)用.

難點(diǎn)

會,斷這個二次根式是否是最簡二次根式.

教學(xué)設(shè)計(jì)：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

（學(xué)習(xí)活動）請同學(xué)們完成下列各題.（請四位同學(xué)上臺板書）

計(jì)算：（1(4)

教師點(diǎn)評:

2m2#m23

⑴；(3)

小一3；⑵標(biāo)―3a

二、新課教授

教師點(diǎn)評：上面這些式子的結(jié)果具有如下兩個特點(diǎn)：

1.被開方數(shù)不含分母.

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

師：我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.（教師板書）

教師強(qiáng)調(diào)：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式.

【例1】判斷下列式子是不是最簡二次根式，為什么？

(l)3x(2)253^3？；(3);⑷出石

解：（1）被開方數(shù)中有因數(shù)因此它不是最簡二次根式；（2）被開方數(shù)中有開得盡方的

因式a?,因此它不是最簡二次根式；（3）被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡二次根式；（4）

被開方數(shù)中有因數(shù)0.2,它不是整數(shù)，所以它不是最簡二次根式.

【例2】化簡:

(1)A/-^；⑵N12x：'y"(x》0)；(3)yja2b1+a'b2(ab>0).

27X2

解：⑴

（3）A/a2b'+a'b2="\/a2b2（b2+a2）=abyja'+b'.

【例3】教材第9頁例7

三、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課應(yīng)掌握最簡二次根式的特點(diǎn)及其運(yùn)用.

2.二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

敢與反思＜

1.注重知識的前后聯(lián)系，溫故而知新.讓學(xué)生積極主動地探索，教師引導(dǎo)和啟發(fā)，使

學(xué)生在經(jīng)過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會學(xué)習(xí)的樂趣.

2.前兩個例題旨在加強(qiáng)對最簡二次根式的理解，第三個例題讓學(xué)生靈活運(yùn)用二次根式

解決實(shí)際問題.

16.3二次根式的加減

第1課時(shí)二次根式的加減

教學(xué)目標(biāo)＜

理解并掌握二次根式加減的方法，并能用二次根式加減法法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)

算.

重白難QV

重點(diǎn)

理露并掌握二次根式加減計(jì)算的方法.

難點(diǎn)

二/根式的化簡、合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式.

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)

1.計(jì)算：

(1)x+2x；(2)3a-2a+4a；(3)2x2—3x2+5x2；(4)2a2-4a2+3a.

2.教師點(diǎn)評：上面的運(yùn)算實(shí)際上就是以前所學(xué)習(xí)的合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)就是字母

連同指數(shù)不變，系數(shù)相加減.

二、新課教授

(學(xué)生活動)

1.類比計(jì)算，說明理由.

⑴/+2隹⑵3m-2m+44；

(3)3^2+^8；(4)273-3^3+712.

2.教師點(diǎn)評：

⑴啦+2*=(1+2)*=3位；

(2)3乖一2m+4m=(3—2+4)，§=5m=1咪；

(3)雖然表面上市與乖的被開方數(shù)不同，不能當(dāng)作被開方數(shù)相同，但乖可化為2班，

3m+m=3小+2/=(3+2)小=/;

(4)同樣也可化為2鎘，

2^3—3^3+"\/72=2^3-+2^3=(2—3+2),\y3—,\^3.

所以在用二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并，因此可將二次

根式先化為最簡二次根式，比較被開方數(shù)是否相同.

因此可得：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同

的二次根式進(jìn)行合并.

【例1］教材第13頁例1

【例2】教材第13頁例2

三、鞏固練習(xí)

教材第13頁練習(xí)第1,2題.

【答案】第1題：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確.

第2題：(1)—4姨；(2)3^5;(3)Kh/2-373；(4)3乖+矩

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時(shí)，先把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，

再把相同被開方數(shù)的最簡二次根式進(jìn)行合并.

致與反思

1.創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例.由學(xué)生主動參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以

啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則.

2.兩個例題，旨在幫助學(xué)生理解并掌握二次根式的加減運(yùn)算法則.尤其是例2,要按

照兩個步驟進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計(jì)算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神.

第2課時(shí)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算

敦字目標(biāo)＜：?<

含有二次根式的式子進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

事(5難占

?，??人H?，：?<

重點(diǎn)

二次根式的加減乘除混合運(yùn)算.

難點(diǎn)

由整式運(yùn)算知識遷移到含二次根式的運(yùn)算.

教學(xué)設(shè)計(jì)＜：?<

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(學(xué)生活動)：請同學(xué)們完成下列各題.

計(jì)算：

⑴(3x'+2x+2),4x；

(2)(4x2—2xy)4-(—2xy)；

(3)(3a+2b)(3a-2b)；

(4)(2X+1)2+(2X-1)2.

二、新課教授

由于整式運(yùn)算中的x,y,a,b是字母，它的意義十分廣