人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-2）-3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)

通過學(xué)習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，初步形成基本的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)

的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以

及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.

（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及復(fù)數(shù)相等的充要條件.

（3）復(fù)數(shù)的向量表示.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的向量表示.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

復(fù)數(shù)相等的條件，復(fù)數(shù)的向量表示.

二、教學(xué)設(shè)計

（一）課前設(shè)計

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1閱讀教材P102,思考：方程V+1=0在實(shí)數(shù)集中無解.聯(lián)系從自然數(shù)系到

實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，你能設(shè)想一種方法，使這個方程有解嗎？

任務(wù)2閱讀教材P103,思考：復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R有什么關(guān)系？

任務(wù)3閱讀教材P104-P105,思考：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)---對應(yīng)，因此，實(shí)數(shù)可

以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.類比實(shí)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的幾何意義是什么

呢？

2.預(yù)習(xí)自測

L下列復(fù)數(shù)中，滿足方程爐+2=0的是（）

A.il

B.±i

C.±V2i

D.±2i

解：c

2.已知復(fù)數(shù)z="—（2—0）i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,6的值分別是

（）

A.y[2,1

B幣,5

C.+V2,5

D.+V2,1

解：C

3.如果2=機(jī)（冽+1）+（療一l）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.1

B.0

C.-1

D.-1或1

解：B

（二）課堂設(shè)計

1.知識回顧

（1）對因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充數(shù)集的過程進(jìn)行概括

自然數(shù)一分?jǐn)?shù)一負(fù)數(shù)一整數(shù)一有理數(shù)一無理數(shù)一實(shí)數(shù)

2.問題探究

問題探究一數(shù)系的擴(kuò)充|重點(diǎn)知識支

對于實(shí)系數(shù)一元二次方程k+1=°,沒有實(shí)數(shù)根.我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行

擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？

?活動一回顧舊知，回顧數(shù)集的擴(kuò)充過程

對因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充數(shù)集的過程進(jìn)行概括

自然數(shù)一分?jǐn)?shù)一負(fù)數(shù)一整數(shù)一有理數(shù)一無理數(shù)一實(shí)數(shù)（教師引導(dǎo)）

?活動二類比舊知，探究數(shù)系的擴(kuò)充.

對于實(shí)系數(shù)一元二次方程/+1=0,沒有實(shí)數(shù)根，我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行

擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢?

我們說，實(shí)系數(shù)一元二次方程/+1=0沒有實(shí)數(shù)根.實(shí)際上，就是在實(shí)數(shù)范

圍內(nèi)，沒有一個實(shí)數(shù)的平方會等于負(fù)數(shù).解決這一問題，其本質(zhì)就是解決一個什

么問題呢？

最根本的問題是要解決一1的開平方問題.即一個什么樣的數(shù)，它的平方會等于一

1.

我們引入一個新數(shù)i,它的平方等于一1

?活動三類比探究，研究新數(shù)i的運(yùn)算性質(zhì)

把實(shí)數(shù)和新引進(jìn)的數(shù)i像實(shí)數(shù)那樣進(jìn)行運(yùn)算，并希望運(yùn)算時有關(guān)的運(yùn)算律仍

成立，你得到什么樣的數(shù)？

根據(jù)前面討論結(jié)果，我們引入一個新數(shù)i,i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：

①虛數(shù)單位i的平方等于-1,即i?=-1

②i的周期性：i4w+1=i,i4w+2=-1>i"+3=t,i"=i("eZ)

③實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成

立.

有了前面的討論，引入新數(shù)i,可以說是水到渠成的事.這樣，就可以解決

前面提出的問題(-1可以開平方，而且-1的平方根是±i).

問題探究二復(fù)數(shù)的概念|重點(diǎn)、難點(diǎn)知畫?入

?活動一理解概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

怎樣表示一個復(fù)數(shù)？

根據(jù)虛數(shù)單位的第③條性質(zhì)，i可以與實(shí)數(shù)匕相乘，再與實(shí)數(shù)a相加.由于滿

足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結(jié)果寫成a+歷這樣，數(shù)的范圍又?jǐn)U充

了，出現(xiàn)了形如。+歷的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)通常用字母z表

示，即2=。+歷，(其中a,5?R),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a、

b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部滿足什么條件表示實(shí)數(shù)？

對于復(fù)數(shù)a+bi(a,Z??R),

當(dāng)且僅當(dāng)斤0時,它是實(shí)數(shù)；

當(dāng)且僅當(dāng)。=0且。=0時,它是實(shí)數(shù)0;

當(dāng)公0時,叫做虛數(shù)；

當(dāng)a=0且"0時,叫做純虛數(shù).

?活動二剖析概念

復(fù)數(shù)機(jī)十〃i的實(shí)部、虛部一定是機(jī)、〃嗎？

不一定，只有當(dāng)冽?R,“?R,則機(jī)、〃才是該復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部.

對于復(fù)數(shù)。+歷和c+di(a,b,c,d?R),你認(rèn)為滿足什么條件時，這兩個

復(fù)數(shù)相等？

(a=c且反d,即實(shí)部與虛部分別相等時，這兩個復(fù)數(shù)相等.)

任意兩個實(shí)數(shù)可以比較大小，復(fù)數(shù)呢？

如果兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，那么它們不能比較大小.

?活動三完善知識體系

復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系是怎樣的？

復(fù)數(shù)z=o+bi(a,beR)包括:

'實(shí)數(shù)(b=0)

復(fù)數(shù)zL好人八、］一般虛數(shù)03*0,。工0)

虛數(shù)(bwO乂

［［純虛數(shù)(bw0,a=0)

?活動四復(fù)數(shù)基本概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)充要條件的應(yīng)用

例1實(shí)數(shù)m取什么值時z=m+l+(m-l)i是(1)實(shí)數(shù)(2)虛數(shù)(3)純虛數(shù)？

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，虛數(shù)、純虛數(shù)的概念；數(shù)學(xué)思想：分

類討論】

詳解：(1)當(dāng)m-1=0,即根=1時，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)根-I/O即加wl時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；

⑶當(dāng)加+1=0,根—1/0即m=-l時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

點(diǎn)撥：本題是對實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)概念的考查.因?yàn)榧覩H,所以

由z=a+歷是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定m的值.

例2已知一%+廣,=(?—2x—3)i(x￡R),求x的值.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件】

x2-x-6

"I—。解得：x=3（負(fù)值舍），

{%2-lx―3=0.

所以x=3為所求.

點(diǎn)撥：本題考查復(fù)數(shù)相等的充要條件.對于復(fù)數(shù)。+歷和c+di（a,b,c,d?R）當(dāng)且

僅當(dāng)斫c且0=d,即實(shí)部與虛部分別相等時，這兩個復(fù)數(shù)相等.

例3zi=m2+l+（m2+m—2）i,z2=4m+2+（m2—5m+4）i,若zi〈Z2,求實(shí)數(shù)

m的取值范圍.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

詳解：由于zi<Z2,meR,

?'.21GR且Z2?R,當(dāng)ZI^R時，m2+m—2=0,

m=l或m=—2.

當(dāng)Z2?R時，m2—5m+4=0,

m=1或m=4,

...當(dāng)m=1時，符合題意，止匕時Zl=2,Z2=6,滿足Z1<Z2.

，Z1<Z2時，實(shí)數(shù)機(jī)的取值為m=L

點(diǎn)撥：本題考查對復(fù)數(shù)概念的理解.如果兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，那么它們不能比

較大小.

問題探究三復(fù)數(shù)的幾何意義|重點(diǎn)、難點(diǎn)知識

?活動一類比實(shí)數(shù)的幾何意義，探究復(fù)數(shù)的幾何意義

若把a(bǔ),b看成有序?qū)崝?shù)對（a,b）,則（a,b）與復(fù)數(shù)a+bi是怎樣的對應(yīng)

關(guān)系？有序?qū)崝?shù)對（a,b）與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是怎樣的對應(yīng)關(guān)系？（一一

對應(yīng)關(guān)系）

實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示

實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)（幾何模型）<一一對應(yīng)>實(shí)數(shù)

這里面體現(xiàn)的是“數(shù)”、“形”互換的思想.

任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi,都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a,b）唯一確定.因?yàn)橛?/p>

序?qū)崝?shù)對（a,b）與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)---對應(yīng)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐

標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng).

復(fù)數(shù)z=。+歷（a,5GR）一—對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）；

如圖：復(fù)數(shù)z=a+bi可以用點(diǎn)Z（a,b）（復(fù)數(shù)的幾何形式）來表示，這個建立了

直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)（除了原點(diǎn)）都表示純虛數(shù).

例4實(shí)數(shù)m取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（疝-8加+15）+（加2-5瓶-14）i的點(diǎn),

（1）位于第四象限（2）位于y=x±?

—8m+15>0

詳解：⑴由"-8加+15,/_5加-14）位于第四象限，得.

—5m-14<0

解得,—2<m<3^c5<m<7

(2)由(加2-8M+15,加2-5M-14)位于直線y=x上，得加2—8加+15=疝—5加-14即

m=一

3

點(diǎn)撥：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)z=a+bi與點(diǎn)Z（a,b）一一對應(yīng).復(fù)數(shù)

z=a+bi表示的點(diǎn)坐標(biāo)為（。力），分別由條件求解即可得.

?活動二類比探究復(fù)數(shù)的另外一個幾何意義

除了用平面里的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，還可以用什么表示復(fù)數(shù)？還可以用向量！

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（相對于原點(diǎn)來說）也可以由向量應(yīng)唯一確定.反之，也成立.

因此，復(fù)數(shù)z=a+bi與。Z也是---對應(yīng)的（實(shí)數(shù)0與零向量對應(yīng)），這是復(fù)數(shù)的

另一種幾何意義.

復(fù)數(shù)z,點(diǎn)Z（a,b）,反三者關(guān)系如下：

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(aft)<?>平面向量應(yīng)

復(fù)數(shù)z=a+6

復(fù)數(shù)的向量形式.以原點(diǎn)0為始點(diǎn)的向量，規(guī)定：相等的向量表示同一個復(fù)數(shù).

?活動三探究復(fù)數(shù)的模的幾何意義

向量蒞的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的模，記作|z|或|°+歷

由模的定義知：

|z|=|a+歷|=r=Ja?+J(r>0,re7?)

例5已知復(fù)數(shù)z=3+ai,且|z|<4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解：方法一：Vz=3+tzi(tzGR),.*.|z|=^32+a2,

由已知得32+次<42,/<7,aG(—^7,巾).

方法二：利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由|z|<4知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓

心，以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z=3+ai知z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上,

所以線段AB(除去端點(diǎn))為動點(diǎn)Z的集合.

由圖可知：一巾<a<巾

點(diǎn)撥：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)的模及考查數(shù)形結(jié)合思想.

例6設(shè)z?C,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z,試說明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么

圖形(l)|z|=2；(2)1蟲口.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的模的幾何意義，復(fù)數(shù)的模；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

詳解：(1)方法一：|z|=2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2,

這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓.

方法二：設(shè)z=o+歷，由|z|=2,

得/+/=4.故點(diǎn)Z對應(yīng)的集合是以原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓.

(2)不等式|z區(qū)2的解集是圓|z|=2及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合.不等式|zRl的解集是

圓|z|=l及該圓外部所有點(diǎn)的集合.這兩個集合的交集，就是滿足條件l<|z|<2的

點(diǎn)的集合.

如圖中的陰影部分，所求點(diǎn)的集合是以。為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾

的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界.

點(diǎn)撥：解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題，應(yīng)把握兩個關(guān)鍵點(diǎn)：

一是回表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形;

二是利用復(fù)數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決

3.課堂總結(jié)

【知識梳理】

f實(shí)數(shù)團(tuán)=0)

(1)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)(z=a+歷，a,Z??R)<J純虛數(shù)(a=0)

虛數(shù)團(tuán)叫非純虛數(shù)(存0)

(2)復(fù)數(shù)相等的充要條件

設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，那么a+"i=c+diQa=c且

(3)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量間的對應(yīng)

①復(fù)數(shù)z=。+歷(a,b?R)一—對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)；

②復(fù)數(shù)z=a+歷(a,8?R)丁雪2平面向量龍=(a,b).

(4)復(fù)數(shù)的模

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,5?R)對應(yīng)的向量為或，則改的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|,

且閆二,^十人.

【重難點(diǎn)突破】

(1)對于復(fù)數(shù)概念，首先要在變化中認(rèn)識復(fù)數(shù)代數(shù)形式的結(jié)構(gòu)，正確判斷復(fù)數(shù)

的實(shí)部、虛部，然后依據(jù)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件，用列方程(或不等

式)的方法求出相應(yīng)參數(shù)的取值(或取值范圍)

（2）對于復(fù)數(shù)相等的問題.必須保證實(shí)部和虛部都分別相等

（3）對于復(fù)數(shù)的向量表示，先準(zhǔn)確找出復(fù)數(shù)所表示的向量是關(guān)鍵.

4.隨堂檢測

L若復(fù)數(shù)（4—。一2）+（|a—1|—l）i（aGR）不是純虛數(shù)，則（）

A.a=11B.存一1且分2C.蚌—1D.存2

【知識點(diǎn)：純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：C.若一個復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，則該復(fù)數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實(shí)數(shù).當(dāng)/—。一29

時，已知的復(fù)數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得分一1且分2；當(dāng)a2-a-2=0且|a—1|

—1=0時，已知的復(fù)數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得。=2.綜上所述，當(dāng)今一1時，

已知的復(fù)數(shù)不是一個純虛數(shù).

2.如果z=m（m+l）+（加2—l）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.lB.OC.-lD.-1或1

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

m（m+l）=0

解：B由題意知J：.m=0.

〔加92—1和

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i+2i2對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解:B,.?z=i+2i2=—2+i,.,.實(shí)部小于0,虛部大于0,故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)（-2,

1）位于第二象限..

4.在復(fù)平面內(nèi)，。為原點(diǎn)，向量國對應(yīng)的復(fù)數(shù)為一l+2i,若點(diǎn)A關(guān)于直線丁=

—x的對稱點(diǎn)為3,則向量仍對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.-2-iB.-2+iC.l+2iD.—l+2i

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：BVA（-L2）關(guān)于直線丁=—%的對稱點(diǎn)3（—2,1）,...向量仍對應(yīng)的復(fù)數(shù)

為-2+i.

（三）課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.說出復(fù)數(shù)2+3)火3的實(shí)部和虛部.

3

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：復(fù)數(shù)2+3i的實(shí)部是2,虛部是3；-君的實(shí)部是-石，虛部是0；-3的實(shí)

3

部是0,虛部是-L

3

2.指出下列各數(shù)中，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？

2+V7,0.618,-z,0,i,i2,5z+8,3-9A/2Z

7

實(shí)數(shù)：虛數(shù):純虛數(shù)：

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：實(shí)數(shù)有：2+近，0.618,0,產(chǎn)

虛數(shù)有：-i,i,5i+8,3-9A/2Z

7

純虛數(shù)有：-z,i

7

3.設(shè)。是原點(diǎn)，向量后,而對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—32,—3+22,那么向量而

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

A.-5+5zB.-5-5zC.5+5zD.5-5z

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義】

解：D點(diǎn)撥：BA=OA-OB=(2-30-(-3+2i)=5-5i.

4.下列〃的取值中，使鏟=l(i是虛數(shù)單位)的是()

A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：因?yàn)閞=1,故選C.

5.設(shè)z是復(fù)數(shù)，a(z)表示滿足z"=l的最小正整數(shù)”，則對虛數(shù)單位，，?(/)=()

A.8B.6C.4D.2

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：tz(z)=in=1,則最小正整數(shù)〃為4,選C.

6.若復(fù)數(shù)"-5冽+6)+(療-3m)i為純虛數(shù)，試求實(shí)數(shù)用的值.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：若復(fù)數(shù)仇2-5加+6)+優(yōu)2-3加)為純虛數(shù)，貝心m=2

nr-3m，0

能力型師生共研

7.若。?尋，苧)，則復(fù)數(shù)(cos6+sin6)+(sin6—cos6)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：B.,.,￡￡(,,苧)，...cos8+sin。＜0,sin6—cos。＞0..,.選B.

8.復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)(次一。一2)+(|a—1|—l)i(adR)不是純虛數(shù)，則有()

A.a=11B.存一1且存2C.ar—1D.存2

【知識點(diǎn)：純虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：C.若一個復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，則該復(fù)數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實(shí)數(shù).當(dāng)次—a—29

時，已知的復(fù)數(shù)一定不是純虛數(shù)，解得分一1且分2；當(dāng)/—a—2=0且心一1|

—1=0時，已知的復(fù)數(shù)也不是一個純虛數(shù)，解得a=2.綜上所述，當(dāng)今一1時，

已知的復(fù)數(shù)不是一個純虛數(shù).

9.集合{Z|Z=i'+廠},用列舉法表示該集合，這個集合是()

A.{0,2,-2}B.{0,2}

C.{0,2,-2,2i}D.{0,2,-2,2i,一2i}

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算】

解：A點(diǎn)撥：根據(jù)八成周期性變化可知.

10.設(shè)A、3為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z=(cos3—tanA)+tan3i對應(yīng)的

點(diǎn)位于復(fù)平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：B

探究型多維突破

11復(fù)數(shù)zi=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C,若ZBAC

是鈍角，求實(shí)數(shù)C的取值范圍.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義，代數(shù)形式】

解：在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由NBAC是鈍

角得AbAC<0,且B、A、C不共線，由(-3,-4)-(c-3,2c-10)<0解得c茅，其中

當(dāng)c=9時，AC=(6,8)=-2AB,三點(diǎn)共線，故W9....c的取值范圍是

49

(—,9)(9,+s).

11--

12.在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點(diǎn)Z的軌跡是什么？

(1)|z-l-i|=|z+2+i|；(2)|z+i|+|z-i|=4；(3)|z+2|-|z-2|=l；

(4)若將(2)中的等于改為“W”呢？

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)幾何意義】

解：(1)直線；(2)橢圓；(3)雙曲線；(4)橢圓及其內(nèi)部

自助餐

1.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z=i2015的虛部是()

A.OB.-1C.lD.-i

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算】

解：D

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1-2i+3i2-4i3等于()

A.-2-6iB.-2+2iC.4+2iD.4-6i

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算】

解：B

3.實(shí)數(shù)x,y滿足(1+i)x+(1-i)y=2,則封的值是()

A.2B.lC.-1D.-2

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等的概念】

解：B

4.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+bi(b?R)且|z|=2,則復(fù)數(shù)的虛部為()

A.V3B.±V3zC.±lD.±V3

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、復(fù)數(shù)的?！?/p>

解：D

2

5.2+市，干,0,8+5i,（1—M§）i,0.618這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為（)

A.OB.lC.2D.3

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

2

解：c.]i,（1—小）i是純虛數(shù)，2+S，0，0.618是實(shí)數(shù)，8+5i是虛數(shù).

6.已知復(fù)數(shù)2=六十（次一）是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.1或一1B.1C.-lD.0或一1

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

（a2—

解：C.因?yàn)閺?fù)數(shù)]：^1+（，一是實(shí)數(shù),且a為實(shí)數(shù)，貝山―屏1=。0,,解得

a=一1

7.復(fù)數(shù)z=icos。，6?e[0,2兀）的幾何表示是（）

A.虛軸

B.虛軸除去原點(diǎn)

C.線段尸。，點(diǎn)尸，。的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,-1）

D.C中線段P。，但應(yīng)除去原點(diǎn)

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：C

8.已知（2機(jī)一5〃）+3i=3〃一（m+5）i,m,“GR,則根+九=.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

2m—5n=3n,[m——8,

解：一10根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可知：C,1八解得c所

[3=-（m+5）,[n=-2.

以m+n=-10.

9.若復(fù)數(shù)（用2—3加-4）+（用2—5加—6）i是虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m滿足.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式】

解：加7―1且加W6.因?yàn)閙2—3m—4+（m2-5m—6）i是虛數(shù)，所以m2-5m_6^0,

所以m=/^—1且m^=6.

10.如果log[(加+〃)一(加2—3加)i>—1,如何求自然數(shù)機(jī)，n的值?

2

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：因?yàn)閘og1(m+n)—(m2—3m)i>—1,所以log](m+n)-(m2—3m)i是實(shí)數(shù)，

22

從而有m2—3m=0,且log1(機(jī)+〃)>-1

2

解得m=0或m=3,

當(dāng)機(jī)=0時，代入②得〃<2,又加+〃>0,所以九=1；

當(dāng)機(jī)=3時，代入②得〃<—1,與〃是自然數(shù)矛盾，

綜上可得m=0,n=l.

11.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m—3)+(m2+3m+2)i,

(1)當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值時，z是純虛數(shù)？

(2)當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值時，z是實(shí)數(shù)？

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=lg(m2—2m—3)+(m2+3m+2)i是純虛數(shù)，

fm2—2m-3>0,

所以J1g(機(jī)2—2加—3)=0,解得m=,所以當(dāng)機(jī)=1±\3時，z是純虛數(shù).

lm2+3m+2^0.

m2—2m—3>0,

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)z=lg(??—2加-3)+(二+3根+2)i是實(shí)數(shù)，所以《2

[機(jī)~十3加十2=0,

解得加=—2,所以當(dāng)機(jī)=—2時，z是實(shí)數(shù).

12.已知復(fù)數(shù)|z|=1,求復(fù)數(shù)|3+4i+z|的最大值及最小值.

【知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：令①=3+4i+z,則z=o一(3+4i).

V|z|=l,.\|co-(3+4i)|=l,

復(fù)數(shù)0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(3,4)為圓心，1為半徑的圓，

對應(yīng)的復(fù)數(shù)(0A的模最大為5+1=6；

對應(yīng)的復(fù)數(shù)oB的模最小，為5—1=4,

???復(fù)數(shù)|3+4i+z|的最大值及最小值分別為6和4.

數(shù)學(xué)視野

自然數(shù)的產(chǎn)生，起源于人類在生產(chǎn)和生活中計數(shù)的需要.開始只有很少幾個

自然數(shù)，后來隨著生產(chǎn)力的發(fā)展和記數(shù)方法的改進(jìn)，逐步認(rèn)識越來越多的自然數(shù).

從某種意義上說，幼兒認(rèn)識自然數(shù)的過程，就是人類祖先認(rèn)識自然數(shù)的過程的再

現(xiàn).

隨著生產(chǎn)的發(fā)展，在土地測量、天文觀測、土木建筑、水利工程等活動中，

都需要進(jìn)行測量.在測量過程中，常常會發(fā)生度量不盡的情況，如果要更精確地

度量下去，就必然產(chǎn)生自然數(shù)不夠用的矛盾.這樣，分?jǐn)?shù)就應(yīng)運(yùn)而生.據(jù)數(shù)學(xué)史書

記載，三千多年前埃及紙草書中已經(jīng)記有關(guān)于分?jǐn)?shù)的問題.引進(jìn)分?jǐn)?shù)，這是數(shù)的

概念的第一次擴(kuò)展.

最初人們在記數(shù)時，沒有“零”的概念.后來，在生產(chǎn)實(shí)踐中，需要記錄和計

算的東西越來越多，逐漸產(chǎn)生了位值制記數(shù)法.有了這種記數(shù)法，零的產(chǎn)生就不

可避免的了.我國古代籌算中，利用“空位”表示零.公元6世紀(jì)，印度數(shù)學(xué)家開始

用符號“0”表示零.但是，把“0”作為一個數(shù)是很遲的事.引進(jìn)數(shù)0,這是數(shù)的概念的

第二次擴(kuò)充.

以后，為了表示具有相反意義的量，負(fù)數(shù)概念就出現(xiàn)了.我國是認(rèn)識正、負(fù)

數(shù)最早的國家，《九章算術(shù)》中就有了正、負(fù)數(shù)的記載.在歐洲，直到17世紀(jì)才

對負(fù)數(shù)有一個完整的認(rèn)識.引進(jìn)負(fù)數(shù)，這是數(shù)的概念的第三次擴(kuò)充.

數(shù)的概念的又一次擴(kuò)充淵源于古希臘.公元前5世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯

（Pythagqras,約公元前580?前500）學(xué)派發(fā)現(xiàn)了單位正方形的邊長與對角線是不

可公度的，為了得到不可公度線段比的精確數(shù)值，導(dǎo)致了無理數(shù)的產(chǎn)生.當(dāng)時只

是用幾何的形象來說明無理數(shù)的存在，至于嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，直到19世紀(jì)70

年代才建立起來.引進(jìn)無理數(shù)，形成實(shí)數(shù)系，這是數(shù)的概念的第四次