課時(shí)規(guī)范練36　三角函數(shù)中的綜合問題-高考一輪復(fù)習(xí)人教A版(適用于新高考新教材)

課時(shí)規(guī)范練36三角函數(shù)中的綜合問題1.(2022·浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=5c,cosC=35(1)求sinA的值;(2)若b=11,求△ABC的面積.2.(2023·天津,16)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=39,b=2,∠A=120°.求:(1)sinB的值;(2)c的值;(3)sin(B-C)的值.3.(2024·北京通州統(tǒng)考模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件,使f(x)的解析式唯一確定(1)求f(x)的解析式:條件①:f(x)為奇函數(shù);條件②:f(x)圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為π2條件③:f(x)圖象的一條對(duì)稱軸為直線x=π4(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f(x+π6),求g(x)在區(qū)間[0,π4]4.(2022·全國(guó)乙,文17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)若A=2B,求C;(2)證明:2a2=b2+c2.

課時(shí)規(guī)范練36三角函數(shù)中的綜合問題1.解(1)∵cosC=35且0<C<π∴sinC=4又∵4a=5c,∴由正弦定理得asin∴sin∴sinA=54×sin(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,c2=112+(54c)2-2×54c×c2=112+516c2-335即1116c2+33510c-11整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+6452×5=∴a=54×45=∴S△ABC=12absinC=12×5×11×2.解(1)由正弦定理可得asinA=bsinB(2)由余弦定理可得cosA=b2即-12解得c=5或c=-7(舍去).(3)由(1)知,sinB=1313且B為銳角所以cosB=239所以sin(B-C)=sin[B-(60°-B)]=sin(2B-60°)=12sin2B-32cos2B=sinBcosB-32(cos2B-sin2B)=1313×23913?32×3.解(1)若選①②:由①知f(x)為奇函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=0由條件②得2πω=π,解得ω所以f(x)=sin2x.若選②③:由條件②得2πω=π,解得ω=由條件③得2×π4+φ=π2+kπ,k解得φ=kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=0,所以f(x)=sin2條件①③無法確定f(x)的解析式.(2)由題知g(x)=sin2x+sin[2(x+π6)]=sin2x+sin2xcosπ3+cos2x·sinπ3=32sin2x+32cos2x=3sin(2x+π所以π6≤2x+所以當(dāng)2x+π6=π2,即x=π6時(shí),g(x4.(1)解∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),A=2B,∴sinCsinB=sinBsin(C-A).又sinB>0,∴sinC=sin(C-A).∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=π+又A+B+C=π,∴π+4A2=π,解得(2)證明(證法一)∵sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),∴sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinC·cosA-cosCsinA),即sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinC·cosA-sinBcosCsinA,即sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinC·cosA,即sinAsin(B+C)=2sinBsinCcosA,即sin2A=2sinBsinCcosA.由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc·b即a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2.(證法二)∵sinCsin(A-B)=sinB·sin(C-A),∴sinCsinAc