初中數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)

中學(xué)數(shù)學(xué)知識點

第一單元數(shù)與式

一、實數(shù)的有關(guān)概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫相反數(shù)，即a的相反數(shù)為-a.注意:0的相反數(shù)為0;兩個相反數(shù)和為0.

2、倒數(shù):兩個數(shù)的積為1,這兩個數(shù)互為倒數(shù).即a的倒數(shù)為注意:0沒有倒數(shù).

a

3、絕對值:a的絕對值為|a|,|a|=W"20)

<0)

4、數(shù)軸:規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸。

5、實數(shù)大小比較：正數(shù)大于負數(shù)，0大于負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小

6、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

f整數(shù)_

7、實數(shù)分類：實數(shù)有理數(shù)：?(有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù))

■［分數(shù)

,無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))

8、科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)寫成aX10"的形式(其中1Wa<10,n是整數(shù))

9,近似數(shù)和有效數(shù)字：一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.一個近似數(shù)，從左邊第一個

不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字，都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。

10、非負數(shù)：指a20,非負數(shù)有|a|,a2,JZ.注意：幾個非負數(shù)的和為0,則每一個非負數(shù)為0.

二、實數(shù)的有關(guān)計算

1、六種基本運算：力口、減、乘、除、乘方、開方

2、運算順序：先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減。如果有括號，就先算括號；同級運算應(yīng)從左到右；如

果符合運算律，可以變更運算順序，簡便計算。

3、運算律：

(1)加法交換律：a+b=b+a

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(3)乘法交換律：ab=ba

(4)乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

(5)乘法對于加法的分配律：(a+b)c=ac+bc

三、代數(shù)式有關(guān)概念

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫代數(shù)式。注意：單獨一個數(shù)或字母也是代數(shù)式

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。

L,單項式(系數(shù)、次數(shù))

3、代數(shù)式分類：代數(shù)式有理式整式■［多項式(次數(shù)、項數(shù))

、分式

.無理式(初中只要求掌握二次根式)

四、整式

1、整式定義：沒有除法運算，或雖有除法運算但除式中不含字母的有理式叫整式。

2、整式運算：

(1)整式的加減法：實質(zhì)是去括號后合并同類項

①同類項：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫同類項

②合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。注意：不是同類項不能合并。

③去括號法則：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a-b-c

④添括號法則：a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)

(2)整式的乘、除法：

①幕的運算法則：

a"'?a"=a":+nam^a"=a"-n(a^O)(am)n=amn(a?b)"'=屋"?屋"(.'"=,(b

#0)a0=1(aHO)a~m=—(a關(guān)0)

am

②乘法公式：平方差公式(。+份(。一匕)=。2—/完全平方公式5土刃2=。2±2"+/

③單項式乘以(或除以)單項式

④單項式乘以多項式：a?(b+c)-ab+ac

⑤多項式乘以多項式：(〃+/?)(〃?+〃)=am+an+bm+bn

⑥多項式除以單項式：(。+匕)+機=a+〃?+b+

五、因式分解

1、概念：把一個多項式化成幾個多項式的積的形式叫因式分解

2、因式分解方法與步驟：

一提(公因式)：ma+mb+me=m(a+b+c)

二用(公式)：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式/±2ab+i=(a±b)2

三試(十字相乘)

四查：檢查每一個因式都不能分解為止

六、分式

1、分式；除式中含有分母的有理式叫分式

八aamaa+tn

2、分式基本性質(zhì)：一=---,—=-----(wWO)

bbmbb+m

，-—amaacadbe

3、約分和通分：約分一=一，通分一,-------,——

bmbbdhdbd

4、分式運算

①分式的加減法：同分母q±2=@異分母巴±￡=竺蟲￡

cccbdbd

②分式的乘除、乘方：色?￡=絲@，=外4(4"=《

bdbd'bdbc'bb"

注意：分式運算時先把分子和分母能因式分解的都因式分解，然后進行約分和通分。

七、根式

1、方根的有關(guān)概念

(1)平方根：a的平方根土右(a》0),注意：負數(shù)沒有平方根

(2)算術(shù)平方根：a的算術(shù)平方根標(a20)

(3)立方根：a的立方根〃’(a為全體實數(shù))

2、二次根式

(1)式子后(a20)叫二次根式

②必=㈤二代之。)

(2)二次根式的性質(zhì):①(屈2=〃(a，0)

1-a(a<0)

[a_4a

③da?b=4a?4b(a>0,b>0)④(aNO,b>0)

(3)最簡二次根式：被開方數(shù)中每?個因式的指數(shù)都小于2,并且被開方數(shù)不含分母的二次根式叫最簡二次根式

(4)同類二次根式：幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根式

3、二次根式的運算：

(1)加減法：把各個二次根式化為最簡二次根式后，再合并同類二次根式

(2)乘除法：=4a*b{a>0,b>0),近二區(qū)(a20,b>0)

y[h\b

(3)分母有理化：把分母中根號去掉叫分母有理化：—&,._!_=

4a4a?4ayfa+4b(Va±Vft)*(Vo+4b)

第二單元方程與不等式

一、一元一次方程

1、標準形式：ax-b(a、b為常數(shù),且aWO)

2、解法步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1

二、二元一—次方程組

1、概念：由幾個一次方程組組成并含有兩個未知數(shù)的方程組

2、解法：代入(消元)法；加減(消元)法

三、一元二次方程

1、概念：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是:

ax2+bx+c-0(aH0)

2、解法和步驟：

一看(直接開平方法)：(X+/2)2=k(k》0)

二試(因式分解法)：提公因式(ax2+bx=0)；用公式(如苫2+4x+4=0)；十字相乘

三用(求根公式)：了=一〃±"、4竺(廬_4女20),注意：b2-4ac<0,方程沒有實數(shù)根

2a

四配(配方法)：二次項系數(shù)化為1,方程兩邊同時加上?次項系數(shù)一半的平方

3、簡單的二元二次方程組的解法：代入(消元)法

四、一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系

1、根的判別式：一元二次方程a—+/>x+c=0的根的判別式Z\=/?2-4ac

(1)當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

(2)當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根

(3)當(dāng)△<()時，方程沒有實數(shù)根

反之也成立！注意：△》()時，方程有實數(shù)根

2根與系數(shù)關(guān)系(韋達定理)

一元二次方程以2+bx+c=O的兩個根為X],/,則X1+x,=_2,X|?x,=￡

利用它求含根代數(shù)式的值的方法有:

（1）通分：如倒數(shù)和1I1一七|

X]x2再?x2X|?x2

（2）配方：如平方和xj+X2?=xj+2*+xj-2X]=（為+々）2-2X|

（3）去括號：如（X1+1）?（尤2+1）=為々+X[+》2+1

（4）提公因式：如xJz+X|X2?=X1%2（X|+》2）

五、分式方程

1、概念：分母含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程

2、解法步驟：（1）去分母：方程兩邊同時乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程

（2）解所得整式方程

（3）檢驗：把解得的整式方程根代入最簡公分母，不為0是原方程根，為0不是原方程根（是增根）

六、方程（組）應(yīng)用題

1、列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟是：

（1）審題；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程（組）（找等量關(guān)系）；（4）解方程（組）：（5）檢驗作答

2、幾個重要關(guān)系式

（1）路程=速度X時間

（2）工作量=工作時間X工作效率

（3）增長（降低）量=原量X增長（降低）率；連續(xù)增長（降低）兩次后的量=原量（1±增長（降低）率）2

（4）利潤=售價-進價

總利潤=單個利潤X銷售量

七、一元一次不等式（組）

1、不等式基本性質(zhì)：

（1）若a>b,則a±c>b±c

（2）a>b,c>0,則ac>bc,￡>

cc

（3）a>b,c<0,則ac<bc,￡<ft

cc

2、一元一次不等式解法：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1（特別注意：兩邊除以一個負數(shù)，不等

號的方向一定要改變）

3、一元?次不等式組的解法：

（1）求每個不等式的解集

（2）在數(shù)軸上找這些解集的公共部分，并寫出不等式組的解集。

第三單元函數(shù)

一、平面直角坐標系

1、坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一、一對應(yīng)的

2、坐標平面內(nèi)的點的特點：

（1）原點（0,0）在x軸上點（x,0）在y軸上點（0,y）

（2）第一象限的點（+,+）第二象限的點（-,+）第三象限的點（-,-）第四象限的點（+,-）

二、函數(shù)有關(guān)概念

1、概念：在某一變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x的每一個值，y都有唯一值和它對應(yīng)，那么y是x的函數(shù),

x叫自變量。

2、函數(shù)自變量的取值范圍：

（1）使函數(shù)關(guān)系式有意義：整式：全體實數(shù)；分式（,）：分母a#0；二次根式（JZ）：被開方數(shù)a/0

a

（2）使實際問題有意義，如時間不能為負等

3、函數(shù)值：對于自變量取的每一個值，函數(shù)有唯?確定的值和它對應(yīng)，這個值是函數(shù)值。

4、待定系數(shù)法：先根據(jù)條件設(shè)函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)，從而求出函數(shù)關(guān)系式的方法

三、四種特殊函數(shù)圖象和性質(zhì)

函數(shù)名稱解析式性質(zhì)

一條直

①k>0,圖象在第一、三象限，y隨X增大而增大

正比例函數(shù)y=kx(k#0)線（過

②k<0,圖象在第二、四象限，y隨x增大而減小

原點）

①k>0,y隨x增大而增大，圖象在第一、三象限外，還要經(jīng)過一個象

一條直限，通過b>0上移或bVO下移得到

一次函數(shù)y=kx+b(kWO)

線②k<0,y隨x增大而減小，圖象在第二、四象限外，還要經(jīng)過一個象

限，通過b>0上移或bVO下移得到

k..①k>0,圖象在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)y隨x增大而減小

反比例函數(shù)y=-(kWO)

X雙曲線②k<0,圖象在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)y隨x增大而增大

①開口方向a>0,向上，a<0,向下

②對稱軸

,2a

一般式③頂點坐標（b產(chǎn)-叭

y=ax2+bx+c2a54a

(aWO)④最值，若a>0,當(dāng)時y最小值=4一一"，

2a4a

若a<0,當(dāng)x=_2時y最大值=熱心

二次函數(shù)

拋物線2a4。

①開口方向a>0,向上，aVO向下

②對稱軸x=h

頂點式③頂點坐標（兒攵）

y=a(x-h)2+k

④最值，若a>0,當(dāng)x=Zz時）h小值=k,

(a#0)

若aVO,當(dāng)工=力時y最大值二k

第四單元圖形認識

一、角

1、角度進制：r=60',1'=60"

2、對頂角：相等。如圖N1=N2

3、余角、補角及其性質(zhì)

（1）余角：Zl+Z2=90°o同角（或等角）的余角相等

（2）補角：Zl+Z2=180°.同角（或等角）的補角相等

二、線

1、直線：兩點確定一條直線

2、線段：兩點之間線段最短

3、垂線：

（1）經(jīng)過一點有且只有條直線垂直于已知直線

(2)垂線段最短

(3)點到直線的距離：直線外--點到這條直線的垂線段長度

4、線段的垂直平分線：線段的垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等。反之也成立

是線段AB的垂直平分線，，PA=PB

5、角平分線：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。反之也成立。

：0C是NAOB的平分線上一點，且PDJ_OA,PE±OB,.*.PD=PE

6、平行線：

(1)經(jīng)過直線外點有且只有一條直線平行于已知直線

(2)平行線間距離：相等。如圖，a〃b,OP±b,OP為平行線間距離

(3)平行線的性質(zhì)和判定：

圖形平行線的判定平行線的性質(zhì)

①同位角相等(Z1=Z2)

②內(nèi)錯角相等(N2=N3)兩直線平行

十③同旁內(nèi)角互補(/2+/4=180°)

三、三角形的有關(guān)概念

1、三角形的邊、角關(guān)系:

圖形角與角邊與邊

A(1)ZA+ZB+ZACB=180°

(2)Z1=ZA+ZBa-b<c<a+b

BaCD(3)Z1>ZA,Z1>ZB

2、三角形的“五線”、“四心”

線圖形心性質(zhì)

A

到三邊距離相等

角平分線內(nèi)心

匪IA=IB=IC

BFC

到對邊中點距離是到頂

點距離的一半

中線重心

1

GD=-AG

2

C

D

垂線垂心四點共圓(不要求掌握)

BC

到三個頂點的距離相等

線段的垂直平分線外心

BNOA=OB=OC

平行于第三邊，并且等于

第三邊的一半

中位線

1

DE〃BC,DE=-BC

C2

2、三角形分類:

銳角三角形

(1)按角分：斜三角形

鈍角三角形

直角三角形

「不等邊三角形

按邊分:

(2)底邊和腰不等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

四、全等三角形

全等三角形

一般三角形直角三角形

邊角邊SAS二直角邊對應(yīng)相等

判定角邊角ASA

一邊一銳角對應(yīng)相等

角角邊AAS

邊邊邊SSS斜邊、直角邊(HL)對應(yīng)相等

(1)對應(yīng)角相等

性質(zhì)

(2)對應(yīng)線段(邊、中線、高、角平分線)相等

五、等腰三角形和等邊三角形

類型圖形性質(zhì)判定

A(1)等邊對等角

AVAB=AC等角對等邊

等腰三角形.,.ZB=ZCVZB=ZC

(2)三線合一AAB=AC

(3)軸對稱圖形

A

(1)具有等腰三角形一切性質(zhì)(1)ZA=ZB=ZC

等邊三角形(2)NA=NB=NC=60°(2)有一個角是60°的等腰

(3)軸對稱圖形三角形

備注：三線：頂角平分線、底邊上的高、中線

六、直角三角形

圖形性質(zhì)判定其它

(1)NA+NB=90°(1)直角三角形斜邊上中線等

(1)ZA+ZB=90°(2)(2)勾股定理的逆定理于斜邊的一半

勾股定理〃2+/=。2222

AcBa+b=c(2)直角三角形中30°角所

對的直角邊等于斜邊的?半

(ZC=90°)

七、解直角三角形

1、銳角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)

AbC

(ZC=90°)

正弦sinA=4的對邊=巴

斜邊c

cosA=NA的鄰邊二b

余弦

斜邊c

tanA=/A的對邊二q

正切4的鄰邊E

2、特殊角的三角函數(shù)值:

角度a30°45°60°

sinaV2.

222

cosaV3旦

T22

tanaV31

T

3、解直角三角形：利用直角三角形已知2個條件(除直角外，至少一個為邊)求其它邊和角的過程，叫解直角三角形

(1)三邊關(guān)系：勾股定理

(2)銳角關(guān)系：ZA+ZB=90°

(3)邊角關(guān)系(銳角三角函數(shù))：sinA=4的對邊,cosA=4的鄰邊,tanA=4的對邊,cotA=NA的鄰邊

斜邊斜邊N4的鄰邊N4的對邊

4、坡度：i=2=tana

ID

八、四邊形

1、四邊形內(nèi)角和360°,外角和360°

2、n邊形內(nèi)角和(n-2)180°,外角和360°

3、梯形中位線：MN是梯形ABCD的中位線,

則MN〃AD〃BC,MN=-(AD+BC)

2

特殊四邊形的性質(zhì)：

名稱圖形邊角對角線對稱性

對角相等，鄰

平行四邊形兩邊平行且相等互相平分中心對稱

Bc角互補

AD

中心對稱、軸

矩形對邊平行且相等四個角是直角互相平分且相等

對稱

B上

c

A

互相平分且垂直，

對邊平行四條邊對角相等，鄰中心對稱、軸

菱形B.每條對角線平分

相等角互補對稱

力一組對角

A_______互相平分、相等、

Jw對邊平行四條邊中心對稱、軸

正方形四個角是直角垂直，每條對角線

相等，鄰邊垂直對稱

平分一組對角

A____D

兩底平行，兩腰同一個底上兩

等腰梯形對角線相等軸對稱

相等個角相等

Bc

特殊四邊形的判定:

平行四邊形1、兩組對邊分別平行，2、兩組對邊分別相等，3、一組對邊平行且相等，4、兩組對角分別相等，

5、兩條對角線互相平分

矩形1.有三個角是直角2、有一個角是直角的平行四邊形3、兩條對角線平分且相等

菱形1、四條邊相等2、一組鄰邊相等的平行四邊形3、兩條對角線平分且垂直

正方形1、有組鄰邊相等的矩形2、有一個角是直角的菱形3、兩條對角線平分、相等且垂直

等腰梯形1、同一個底上兩個角相等的梯形2、對角線相等的梯形

九、圓

1、圓的有關(guān)性質(zhì)：

(1)經(jīng)過不在同一直線上三個點確定一個圓，圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形

(2)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

YMN是。。的直徑，MN1AB,；.AC=BC,AM=BM,AN=BN

(3)圓心角：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等

(4)圓周角：

①條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。ZBAC=-ZBOC

2

②同弧(或等弧)所對的圓周角相等

③半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑。

2、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系

圖形點與圓的位置關(guān)系d與r關(guān)系

Q點在圓內(nèi)d<r

點在圓上d=r

0p

點在圓外d>r

(2)直線與圓的位置關(guān)系

圖形直線與圓的位置關(guān)系d與r關(guān)系

?相交d<r

相切d=r

?相離d>r

(3)切線(長)性質(zhì)與切線判定:

圖形切線(長)性質(zhì)切線判定

a為。0的切線，則0P經(jīng)過半徑外端并且垂直與這條半徑

±a

工Pa的直線是圓的切線

PA=PB,NAPONBPO

(4)圓與圓的位置關(guān)系

圖形圓與圓的位置關(guān)系d與R、r關(guān)系(Rr)

0。外離d>R+r

09外切d=R+r

0>相交R-r<d<R+r

內(nèi)切d=R-r

內(nèi)含0<d<R-r

3、與圓有關(guān)的計算

(1)弧長公式：/="二

180

(2)扇形面積公式：s=@=L,

3602

⑶圓柱的側(cè)面積：S側(cè)=2",h表面積=S他面積+s底面枳

(4)圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=7Cra表面積=S側(cè)面積+s底面積

第五單元圖形與變換

一、對稱、平移、旋轉(zhuǎn)

1、軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圓、正n邊形

2、中心對稱圖形：線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、正n邊形(n為偶數(shù))

3,相似比例線段：

(1)基本性質(zhì)：—=—<=：>ad=be

bd

(2)合比：￡==

bdbd

/Q\坐山acm..八、〃+c+...+小a

(3)等比：一=一=…=一Sz+d+…+〃w0)n----------=-

bdnb+d+nb

4、平行線分線段成比例：a〃b〃c=絲=三

BCEF.夕aA

DE〃BC=^=^/―Vb

BDCE4―2cBN一

5、黃金分割/

6、相似三角形：

兩角對應(yīng)相等

判定兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等

三邊對應(yīng)成比例

(1)對應(yīng)角相等

(2)對應(yīng)邊成比例

性質(zhì)(3)對應(yīng)線段(中線、高、角平分線)比等于相似比

(4)周長比等于相似比

(5)面積比等于相似比的平方

7,位似圖形：如果兩個圖形相似，且對應(yīng)點的連線(或延長線)交于一點，這兩個圖形又叫位似圖形，交點叫位似中

心

二、尺規(guī)作圖

1、五種基木作圖：(1)作一條線段等于已知線段(2)作線段垂直平分線