4.6定積分的應(yīng)用

4.6定積分的應(yīng)用4.6.1定積分在幾何上的應(yīng)用4.6.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用4.6.1定積分在幾何上的應(yīng)用在直角坐標(biāo)系中求平面圖形的面積，借助幾何圖形和定積分的幾何意義，容易得到計(jì)算平面圖形面積的定積分表達(dá)式．1．平面圖形的面積（1）平面圖形是由一條曲線和直線及

軸圍成的.（2）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為(3)由曲線（有正有負(fù)），直線及軸所圍成的的面積為

(4)由兩條連續(xù)曲線直線所圍成的圖形的面積為oxyAab

(5)由曲線直線所圍成的圖形的面積為Axyocd例6.1

求由兩條拋物線所圍成的圖形的面積．解方程組，得兩條拋物線的解

交點(diǎn)為例6.2

求由拋物線與直線所圍成圖形的面積．解方程組得交點(diǎn)解

2．旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是指由平面圖形繞該平面內(nèi)的某直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體圖形，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．下面我們計(jì)算由連續(xù)曲線、直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體(如圖)的體積(1)取為積分變量，其變化區(qū)間為，在上任取一點(diǎn)，作垂直于軸的截面，該截面是半徑為的圓，因而截面面積為(2)在上，以為端點(diǎn)取區(qū)間則以截面為底、以為高的圓柱體體積是旋轉(zhuǎn)體體積的微元素：所求的旋轉(zhuǎn)體體積為(3)將微元依次相“加”，即在上積分，得類似地，如圖所示，由連續(xù)曲線直線以及軸所圍成的.軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為曲邊梯形繞例6.3

求由拋物線，直線及軸所圍解（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)所生成的立體(如圖)體積為：軸旋轉(zhuǎn)所得立體的體積平面圖形分別繞軸、（２）繞軸旋轉(zhuǎn)所形成立體(如圖)的體積等于直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的體積減去拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)得到的立體，所以其體積4.6.2定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用舉例1．已知邊際函數(shù)求經(jīng)濟(jì)總量及其改變量(1)設(shè)生產(chǎn)的總成本的邊際成本是那么當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)，總成本其中為固定成本，表示隨產(chǎn)量變化的可變成本．若產(chǎn)量由增到時(shí)，總成本的改變量為，

此時(shí)的平均成本為(2)若已知邊際效益則效益函數(shù)這里當(dāng)產(chǎn)量由增到時(shí)，

此時(shí)的平均效益為效益的改變量(3)若已知邊際利潤(rùn)函數(shù)則總利潤(rùn)函數(shù)為其中為固定成本，表示不考慮固定成本下的利潤(rùn)函數(shù)，亦稱為毛利潤(rùn)當(dāng)產(chǎn)量由增到時(shí),利潤(rùn)的改變量為

此時(shí)的平均利潤(rùn)為例6.4

設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻總產(chǎn)量的變化率為（1）總產(chǎn)量函數(shù)（2）從到這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量．求：解（1）總產(chǎn)量函數(shù)為（2）從到這段時(shí)間內(nèi)的總產(chǎn)量為例6.5

已知生產(chǎn)某產(chǎn)品臺(tái)的邊際成本函數(shù)和邊際收入（4）產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？函數(shù)分別為(萬(wàn)元/臺(tái))，

(萬(wàn)元/臺(tái))．（1）若固定成本(萬(wàn)元)，求總成本函數(shù)，總收入函數(shù)和總利潤(rùn)函數(shù)；（2）當(dāng)產(chǎn)量從4臺(tái)增加到6臺(tái)時(shí)，求增加的總成本和總收入；（3）當(dāng)產(chǎn)量從4臺(tái)增加到6臺(tái)時(shí)，求增加的平均成本和平均收入；解（1）由于總成本是固定成本和可變成本之和，所以總成本函數(shù)為(萬(wàn)元)由于產(chǎn)量為時(shí)，總收入也必為0，因此總收入函數(shù)為(萬(wàn)元)利潤(rùn)是總收入與總成本之差，所以總利潤(rùn)函數(shù)為(萬(wàn)元)

（2）當(dāng)產(chǎn)量從4臺(tái)增加到6臺(tái)時(shí)，增加的總成本和總收入分別為(萬(wàn)元)(萬(wàn)元)（3）當(dāng)產(chǎn)量從4臺(tái)增加到6臺(tái)時(shí)，增加的平均成本和平均收入分別為(萬(wàn)元)(萬(wàn)元)（4）(萬(wàn)元)得惟一駐點(diǎn)而由知時(shí)，總利潤(rùn)取得極大值，即為最大值，所以最大利潤(rùn)為由2．投資問(wèn)題現(xiàn)有元貨幣，按年利率作連續(xù)復(fù)利計(jì)算，年后的本息共為元；反過(guò)來(lái)，若年后要擁有貨幣元，仍按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在應(yīng)投入資金多少元？這是求資本現(xiàn)值問(wèn)題．（1）現(xiàn)值的計(jì)算設(shè)在時(shí)間段內(nèi)時(shí)刻的收入率（即單位時(shí)間內(nèi)的收入）是均勻的，即（常數(shù)）年利率也為常數(shù)，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則在內(nèi)的總收入現(xiàn)值（2）純收入（貼）現(xiàn)值的計(jì)算投資年后獲總收入的現(xiàn)值是所以投資獲得的純收入（貼）現(xiàn)值為（3）投資回收期的計(jì)算收回投資，即總收入現(xiàn)值等于投資，即有解得例6.6

若對(duì)某企業(yè)投資400萬(wàn)元，年利率，設(shè)在10年內(nèi)的均勻收入率為100萬(wàn)元/年，試求：（1）該投資的純收入（貼）現(xiàn)值；（2）收回該筆投資的年限是多少？解這里，得，10年中投資所得純收入（貼）現(xiàn)值為(萬(wàn)元)（2）由公式得，投資回收期(萬(wàn)元)

4.6.3小結(jié)導(dǎo)數(shù)在幾何及經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用思考題思考題解答1.×2.√判斷：（1）定積分表示半徑為的球體的，高為的圓錐體的體積可以用定（2）半徑為體積．（）積分表示為練習(xí)題平面圖形的面積.平面圖形的面積.平面圖形的面積.

1、求由曲線