人教A版普通高中數(shù)學一輪復(fù)習30課時練習含答案

課時質(zhì)量評價(三十)1．(2022·全國乙卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝3，|a－2b|＝3，則a·b＝()A．－2 B．－1C．1 D．2C解析：由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9.又|a|＝1，|b|＝3，所以代入得a·b＝1.2．已知向量a＝(－2，1)，b＝(3，0)，e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為()A．－5e B．5eC．－2e D．2eC解析：設(shè)a與b所成的角為θ，則cosθ＝a·bab＝故a在b上的投影向量為(|a|cosθ)e＝－2e.3．(多選題)已知向量m，n滿足|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，則下列說法正確的是()A．m·n＝－1B．m與n的夾角為2πC．|m－n|＝7D．(m＋n)⊥(m－n)ABC解析：因為|m|＝1，|n|＝2，|m＋n|＝3，所以|m|2＋|n|2＋2m·n＝3，即1＋4＋2m·n＝3，解得m·n＝－1，故A正確；因為cos〈m，n〉＝m·nmn＝－12，且0≤〈所以〈m，n〉＝2π3因為|m－n|2＝|m|2＋|n|2－2m·n＝1＋4＋2＝7，所以|m－n|＝7，故C正確；因為(m＋n)·(m－n)＝|m|2－|n|2＝1－4＝－3≠0，故D錯誤．4．(2022·新高考全國Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t等于()A．－6 B．－5C．5 D．6C解析：由題意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因為〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即a·ca即25+3t5＝3＋t，解得t5．(2024·宿州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝1534，則A．49 B．7C．494 D．D解析：由S△ABC＝12absinC＝12×3×b×32＝15不妨設(shè)AB的中點為M，則CM＝12(CA+故|CM|＝1＝1＝1225+9+2×5×3×1即AB邊上的中線長為726．已知|a|＝4，b＝(－1，0)，且(a＋2b)⊥b，則a與b的夾角為．2π3解析：由b＝(－1，0)，得|b因為(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，即a·b＋2b2＝0，所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|2＝0.因為|a|＝4，所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－12因為〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝2π37．已知AB＝(cos23°，cos67°)，BC＝(2cos68°，2cos22°)，則△ABC的面積為．22解析：根據(jù)題意知AB所以BA＝(－cos23°，－sin23°)，則|BA|＝1.又因為BC＝(2cos68°，2cos22°)＝(2cos68°，2sin68°)，所以|BC|＝2.由BA·BC＝－2cos23°cos68°－2sin23°·sin68°＝－2(cos23°cos68°＋sin23°·sin68°)＝－2×cos45°＝－得cosB＝BA·BCBABC＝－22，所以B＝135°.故S△ABC＝12|BA||BC|sinB＝12×18．在平面直角坐標系中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設(shè)實數(shù)t滿足(AB?tOC)·OC＝0，求解：(1)由題意可得AB＝(3，5)，AC＝(－1，1)，則AB+AC＝(2，6)，所以|AB+AC|＝210，|AB?故所求的兩條對角線的長分別為210，42.(2)由題意可得，OC＝(－2，－1)，AB?tOC＝(3＋2t，5＋由(AB?tOC)·得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，即－6－4t－5－t＝0，從而5t＝－11，解得t＝－1159．(多選題)(數(shù)學與文化)八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，則下列結(jié)論正確的有()A．OA·OD＝－B．OB+OHC．AH·HO＝D．AH·ABABD解析：對于A，OA·OD＝1×1×cos3π4對于B，OB+OH＝2OA＝－對于C，|AH|＝|BC|，|HO|＝|BO|，但對應(yīng)向量的夾角不相等，所以不成立，故錯誤；對于D，AH·AB＝|AB|2cos3π4，由余弦定理可得|AB|2＝2－2，所以AH·AB＝(2－2)10．(多選題)已知O為坐標原點，點A(1，0)，P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，P3(cos(α－β)，sin(α－β))，則下列選項正確的是()A．|OP1|＝|OP2|B．|AP2|＝|P1P3|C．OA·OP1＝OP2·OP3D．OA·OP3＝OP1·OP2ABD解析：由題意OA＝(1，0)，OPi的坐標等于Pi的坐標(i＝1，2，3)，|OP1|＝|OP2|＝1，A正確；|AP2|＝cosβ?12|P1P3|＝cosα?β?＝2?2cos所以|AP2|＝|P1P3|，B正確；OA·OP1＝cosα，OP2·OP3＝cosβcos(α－β)＋sinβsin(α－β)＝cos(2β－α)，C錯誤；OA·OP3＝cos(α－β)，OP1·OP2＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，D正確．11．(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC＝1，則PA·A．[－5，3] B．[－3，5]C．[－6，4] D．[－4，6]D解析：以C為坐標原點，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4)．設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝1，PA＝(3－x，－y)，PB＝(－x，4－y)，所以PA·PB＝x2－3x＋y2－4y＝x?322＋(y－2)又x?322＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上的點到點32，2距離的平方，圓心(0，0)到點32，2的距離為52，所以PA·PB的最小值為5即PA·PB12．(數(shù)學與生活)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每逢新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓的直徑，則PM·A．[1，2] B．[2，3]C．32，4B解析：如圖所示，取AF的中點Q，連接OA，OF，OQ，OP.根據(jù)題意，△AOF是邊長為2的正三角形，易得|OQ|＝3.又PM·PN＝(PO+OM)·(PO+ON)＝|PO|2＋PO·ON+PO·OM+OM根據(jù)圖形可知，當點P位于正六邊形各邊的中點時，|PO|有最小值為3，此時|PO|2－1＝2.當點P位于正六邊形的頂點時，|PO|有最大值為2，此時|PO|2－1＝3.故PM·13．在△ABC中，AB＝(3sinx，sinx)，AC＝(－sinx，cosx)．(1)設(shè)f(x)＝AB·AC，若f(A)＝0，求角(2)若對任意的實數(shù)t，恒有|AB?tAC|≥|BC|，求△解：(1)f(x)＝AB·AC＝－3sin2x＋sinxcosx＝－3×1?cos2x2＋sin因為f(A)＝0，所以sin2A+π3＝又因為A∈