《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（基礎(chǔ)）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)；2．能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；3．理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題；4．通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過解直角三角的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，并結(jié)合實際問題對微積分的思想有所感受.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°,如果銳角A確定：,這個比叫做∠A的正弦.(2)(2)cosA=，這個比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，這個比叫做∠A的正切.要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示∠A三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“∠”,但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應(yīng)寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時還可以表示成sin,cos,F等.2.銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).要點詮釋：1.函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°<∠A＜90°,函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°,那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值45°60°sinAcosAtanA130°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.要點二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°;下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載2邊邊關(guān)系：勾股定理，即a2+B?=c'；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即要點詮釋：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊.要點三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.2.常見應(yīng)用問題(2)方位角：(3)仰角與俯角：下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載要點詮釋：1．解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)求∠A，∠B=90°-∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)∠B=90°-∠A，邊角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°-∠A，,銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°-∠A，,用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：斜邊、銳角(如c，∠A)用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：∠B=90°-∠A，,2.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系.借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求?3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：【典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4，3那么cosα的值是()【思路點撥】利用勾股定理列式求出OA，再根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊列式即可.【答案】D.【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cosα=.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載故選D.【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，熟記概念并準(zhǔn)確識圖求出OA的長度是解題的關(guān)鍵.舉一反三：《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固【變式】已知，如圖，D是ΔABC中BC邊的中點，上BAD=90。ABCBD【答案】過D作DE∥AB交AC于E，則∠ADE=∠BAD=90°,設(shè)AD=2k,AB=3k,∵D是ΔABC中BC邊的中點，∴DE=類型二、特殊角三角函數(shù)值的計算【答案與解析】原式∴原式=舉一反三：下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固【變式】計算：tan230°+cos230°-sin245°tan45°【答案】原式=()2+()2-()2×1類型三、解直角三角形 ①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面積為15cm2；④BD＝210cm.A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C；【解析】由菱形的周長為20cm知菱形邊長是5cm.∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm).菱形的面積為AB·DE＝5×3＝15(cm2).綜上所述①②③正確．故選C.【點評】此題是菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及勾股定理綜合運(yùn)用.類型四、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合4．如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，E是⊙O上一點，且∠AED＝45°.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載(1)試判斷CD與⊙O的關(guān)系，并說明理由.(2)若⊙O的半徑為3cmAE＝5cm．求∠ADE的正弦值.【思路點撥】(1)連接OD，可證OD⊥CD，所以CD與⊙O相切；(2)連接BE，則∠ADE=∠ABE，所以sin∠ADE＝sin∠ABE=.【答案與解析】(1)CD與⊙O相切.理由：如圖所示，連接OD，則∠AOD＝2∠AED＝2×45°=90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD＝90°,∴OD⊥CD，∴CD與⊙O相切.(2)如圖所示，連接BE，則∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°,AB＝2×3＝6(cm).在Rt△ABE中，sin7ABE=【點評】證明某直線是圓的切線，一般要連接過切點的半徑，然后證明該半徑與已知直線垂直．第(2)題通過作輔助線BE，將問題巧妙轉(zhuǎn)化為Rt△ABE的邊角關(guān)系．在圓的有關(guān)證明中若有直徑，一般要利用“直徑所對的圓周角等于90°”這一性質(zhì)構(gòu)造直角三角形.舉一反三：【變式】如圖，C、D是半圓O上兩點，求cos7CEB和tan7CEB.DABCABCEO【答案】如圖，連結(jié)BC，則∠ACB=90°,易證△ECD∽△EBA，類型五、三角函數(shù)與實際問題5．如圖所示，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60°方向，與燈塔P的距離為80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求此時輪船所在的B處與燈塔P的距離(結(jié)果保留根號).【思路點撥】由題意知△ABP中∠A＝60°,∠B＝45°,∠APB＝75°聯(lián)想到兩個三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C.【答案與解析】過點P作PC⊥AB垂足為C，則∠APC＝30°,∠BPC＝45在Rt△APC中，cos7APC=在Rt△PCB中，cos7BPC= ∴當(dāng)輪船位于燈塔P南偏東45°方向時，輪船與燈塔P的距離是40·6海里.【點評】注意由兩個三角板拼的一個非直角三角形的求解問題，過75°(或105°)角的頂點向?qū)呑鞔咕€是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，一海倫位于燈塔P的西南方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正東方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東60°方向上的B處，求航程AB的值（結(jié)果保留根號）.【答案與解析】解：過P作PC⊥AB于點C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°,sin∠APC=，cos∠APC=器，∴AC=AP?sin45°=40×=40（海里PC=AP?cos45°=40×=40（海里在Rt△BCP中，∠BPC=60°,tan∠BPC=，∴BC=PC?tan60°=40（海里則AB=AC+BC=（40+40）海里.下載搜：天浩提優(yōu)資料更多學(xué)習(xí)資料下載6．如圖，某滑板愛好者訓(xùn)練時的斜坡示意圖，出于安全因素考慮，決定將訓(xùn)練的斜坡的傾角由45°降為30°,已知原斜坡坡面AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上.（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB會加長多少米