第6章 第3課時(shí)　等比數(shù)列-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第3課時(shí)等比數(shù)列[考試要求]1．理解等比數(shù)列的概念.2．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3．了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為an+1an＝q(n∈(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件．②在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)．2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qn-1＝amqn－m.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝n提醒：求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，若公比q不明確，需分類討論．3．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝ak(2)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則λanλ≠0，1an，a(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，q＝－1且n為偶數(shù)時(shí)除外．[常用結(jié)論]1．等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列．2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)等比數(shù)列{an}的公比q>1，則該數(shù)列單調(diào)遞增． ()(2)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列． ()(3)如果正項(xiàng)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列． ()(4)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝an，則其前n項(xiàng)和Sn＝a1?an(5)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P37練習(xí)T1(3)改編)在等比數(shù)列{an}中，a3＝32，S3＝92，則aA．32 C．－32 D．－3或D[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q-2＋q-1＋1)，得q-2＋q-1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12∴a2＝a3q＝322．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P37例9改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于()A．31 B．32C．63 D．64C[根據(jù)題意知，等比數(shù)列{an}的公比不是－1．由等比數(shù)列的性質(zhì)，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]3．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P34練習(xí)T1改編)在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)組成正項(xiàng)等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于________．27[依題意a1＝1，a5＝9，所以a1a5＝a2a4＝a32＝9，所以a3＝3或a3＝－3(舍去)，所以a2a3a4＝a34．(人教A版選擇性必修第二冊(cè)P37練習(xí)T4改編)已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個(gè)數(shù)為________．1，3，9或9，3，1[設(shè)這三個(gè)數(shù)為aq，a，aq，則a+aq∴這三個(gè)數(shù)為1，3，9或9，3，1．]考點(diǎn)一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算[典例1](1)(2024·河北唐山模擬)已知數(shù)列ann為等比數(shù)列，且a4＝2，a8＝16，則aA．30 B．±30C．40 D．±40(2)(2023·全國(guó)甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為________．(1)C(2)－12[(1)令bn＝ann，設(shè)數(shù)列ann的公比為q，因?yàn)閍所以b4＝a44＝12，b8＝a88＝2，又b8＝b4q4，所以q4＝所以b10＝a1010＝b8q2＝4，所以a10故選C.(2)若q＝1，則由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，則a1＝0，不合題意，所以q≠1.當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)?S6＝7S3，所以8a11?即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)(1－q3)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，解得q＝－12等比數(shù)列基本量的運(yùn)算的解題策略(1)等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解．(2)解方程組時(shí)常常利用“作商”消元法．提醒：運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意公比q的討論(q＝1或q≠1)，否則會(huì)漏解或增解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S5S10＝133，a4A．127 B．254C．510 D．255(2)(2023·北京高考)我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位：銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列{an}，該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，則a7＝________，數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和為________．(1)D(2)48384[(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則顯然q≠1．因?yàn)镾5S10＝133，所以S5S10＝a解得q＝2．由a4＝8，得a1＝a4所以S8＝1?281?2＝28(2)∵數(shù)列{an}的后7項(xiàng)成等比數(shù)列，an>0，∴a7＝a5a9∴a3＝a52a∴公比q＝a5a3∴a4＝3×2＝6，又該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的所有項(xiàng)的和為3a1+a3【教師備選資源】1．若數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2，則稱{an}為“夢(mèng)想數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列{bn－1}為“夢(mèng)想數(shù)列”，且b1＝2，則bn＝()A．2×3n B．2×3n-1C．2×3n＋1 D．2×3n-1＋1B[依題意，bn＋1－1＝3(bn－1)＋2，∴bn＋1＝3bn，即bn是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，bn＝2×3n-12．《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)3尺，莞生一日，長(zhǎng)1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍．”則當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過的天數(shù)是(結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．2.9天 B．3.9天C．4.9天 D．5.9天C[設(shè)蒲的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{an},a1＝3，公比為12，前n項(xiàng)和為An莞的長(zhǎng)度組成等比數(shù)列{bn}，b1＝1，公比為2，其前n項(xiàng)和為Bn.則An＝31?12n1?1由題意可得5×31?12解得2n＝30或2n＝1(舍去)．∴n＝log230＝lg30lg2＝lg3+1考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明[典例2]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.[證明]選①②作為條件證明③：設(shè)Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，則Sn＝Aqn-1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以Aq?1q＝A2，解得q＝2，所以a2＝2選①③作為條件證明②：因?yàn)閍2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以公比q＝2，所以Sn＝a11?2n1?2＝a1(2n－1)，即Sn＋a1因?yàn)镾n+1+a1S選②③作為條件證明①：設(shè)Sn＋a1＝Aqn-1(A≠0)，則Sn＝Aqn-1－a1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)．因?yàn)閍2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝Aqn-2(q－1)＝A·2n-2＝a1·2n-1，所以an+1an＝2(n≥2)，又因?yàn)閍2＝2a判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．[解](1)由題意可得a1解得a1=1，q=3，所以an＝3n-1(2)假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列．因?yàn)镾1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此時(shí)Sn＋12＝12×3n，則故存在常數(shù)λ＝12，使得數(shù)列S【教師備選資源】(多選)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)?shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列1an是公比為AD[對(duì)于A，由anan+1an?1an＝q2(n≥2)知數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列；對(duì)于B，當(dāng)q＝－1時(shí)，數(shù)列{an＋an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an－an＋1}的項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于D，1考點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用[典例3](1)(2023·福建漳州三模)已知數(shù)列{an}為遞減的等比數(shù)列，n∈N*，且a2a7＝32，a3＋a6＝18，則anA．12B．1235C．(2)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝1，S6＝5，則S9(1)A(2)4[(1)∵{an}為遞減的等比數(shù)列，∴a解得a3=∴an的公比q＝3a6(2)因?yàn)镾n為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3＝1，S6＝5，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，所以S9?S6S應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于()A．40 B．36C．54 D．81(2)(2023·全國(guó)乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________．(3)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比q＝________．(1)C(2)－2(3)2[(1)在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比數(shù)列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，∴a7＋a8＝(a3＋a4)·a3+a4a(2)法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5．又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1．①又a9a10＝a1q8·a1q9＝a12q17所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.法二：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1．又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2.(3)由題意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)，又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n－1)，所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n－1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n－1)．又q＞0，an＞0，所以q＋1＝3，即q＝2．]課時(shí)分層作業(yè)(三十八)等比數(shù)列一、單項(xiàng)選擇題1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝－7，S6＝－63，則公比q＝()A．－2 B．2C．－12 D．B[法一：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得q3＝S6?S3S3＝?63?法二：由題得q≠1，∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝－7，S6＝－63，∴S解得q＝2.故選B.]2．(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32D[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3＝a1+a2+a3qa1+a2+a3＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝17，所以a6＋a7＋a8法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則bn+1bn＝an+1+an+2+an+3an+an+1+an+2＝an+an+1+an+3．(2024·湖北名校聯(lián)盟模擬)已知遞增的等比數(shù)列{an}中，前3項(xiàng)的和為7，前3項(xiàng)的積為8，則a4的值為()A．2 B．4C．6 D．8D[由前3項(xiàng)的和為7，得a1＋a1q＋a1q2＝7，前3項(xiàng)的積為8，得a1a2a3＝a23＝8，即a則a1＝2q，代入a1＋a1q＋a1q2＝7，得2q+2q·q＋2q·q2＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得因?yàn)閍n所以q＝2，則a1＝2q所以a4＝1×23＝8.故選D.]4．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5C[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2×2n-1＝2n.又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，∴2k+11?2即2k+1(210－1)＝25(210－1)，∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.故選C.]5．(2023·天津高考)已知{an}為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＋1＝2Sn＋2，則a4的值為()A．3 B．18C．54 D．152C[因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，an＋1＝2Sn＋2，所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2，a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a22＝a1·即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1，所以a1＝2或a1＝－1(舍)，所以a2＝6，q＝3，則a4＝a1·q3＝2×33＝54.故選C.]6．(2023·新高考Ⅱ卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120C[法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由題意易知q≠1，則a11?q41?q=?5，a11?q61?q=法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…為等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.當(dāng)S2＝－1時(shí)，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；當(dāng)S2＝54時(shí)，結(jié)合S4＝－5得a11?q41?q=?57．(2024·福建福州模擬)音分是度量不同樂音頻率比的單位，也可以稱為度量音程的對(duì)數(shù)標(biāo)度單位．一個(gè)八度音程為1200音分，它們的頻率值構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列．八度音程的冠音與根音的頻率比為2，因此這1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為12002的等比數(shù)列．已知音M的頻率為m，音分值為k，音N的頻率為n，音分值為l.若m＝2n，則k－lA．400 B．500C．600 D．800C[由題意可知，1200個(gè)音的頻率值構(gòu)成一個(gè)公比為12002的等比數(shù)列，設(shè)第一個(gè)音為a1，所以an＝a1(12002)n－1，故m＝a1(12002)k－1，n＝a1(12002因?yàn)閙＝2n，所以mn＝a1(12002)k?1a1(12002)l?1＝(12002)k－故選C.]8．(2023·山東濟(jì)南一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，a1＝16，公比q＝12，則Tn取最大值時(shí)nA．3 B．6C．4或5 D．6或7C[an＝a1qn-1＝16×12n?1＝24×21-n＝25-故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n＝24+3+…+5-n＝2n4+5?n2因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝4或5時(shí)，Tn取得最大值．故選C.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·浙江溫州二模)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，則()A．a(chǎn)＋c＝0 B．b是數(shù)列{an}的公比C．a(chǎn)c<0 D．{an}可能為常數(shù)列ABC[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.當(dāng)q＝1，Sn＝na1，顯然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不滿足，D錯(cuò)誤；當(dāng)q≠1，Sn＝a11?qn1?q＝a11?q?a11?q·qn，所以c＝a11?q，a＝－a10．(2024·重慶模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，則()A．?dāng)?shù)列{an＋2n}是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列anC．a(chǎn)n＝2×3n－2n+1D．Sn＝2(3n－2n)ABD[an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，又a1＋2＝4≠0，an+1+2n+1an+2n＝3，故數(shù)列{an＋2n}是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2an+12n+1＋1＝3an+2n2三、填空題11．在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a3與a8是方程x2－30x＋10＝0的兩個(gè)根，則lga1＋lga2＋…＋lga105[因?yàn)閍3與a8是方程x2－30x＋10＝0的兩個(gè)根，所以a3a8＝10，因?yàn)閧an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，所以lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1·a2·…·a10)＝lg(a3a8