2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.3 積的乘方2

2025八年級(jí)上冊(cè)數(shù)數(shù)學(xué)(RJ)14.1.3積的乘方214.1.3積的乘方教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能通過探索積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)和鞏固冪的意義，在推理得出積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程中，領(lǐng)會(huì)這個(gè)性質(zhì)．2．過程與方法經(jīng)歷探索積的乘方的過程，發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過小組合作與交流，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神和探索精神，有助于塑造他們挑戰(zhàn)困難，挑戰(zhàn)生活的勇氣和信心．重、難點(diǎn)與關(guān)鍵1．重點(diǎn)：積的乘方的運(yùn)算．2．難點(diǎn)：積的乘方的推導(dǎo)過程的理解和靈活運(yùn)用．3．關(guān)鍵：要突破這個(gè)難點(diǎn)，教師應(yīng)該在引導(dǎo)這個(gè)推導(dǎo)過程時(shí)，步步深入，層層引導(dǎo)，而不該強(qiáng)硬地死記公式，只有在理解的情況下，才可以對(duì)積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)靈活地應(yīng)用．教學(xué)方法采用“探究──交流──合作”的方法，讓學(xué)生在互動(dòng)中掌握知識(shí)．教學(xué)過程一、回顧交流，導(dǎo)入新知【教師活動(dòng)】提問學(xué)生在前面學(xué)過的同底數(shù)冪的運(yùn)算法則；冪的乘方運(yùn)算法則的內(nèi)容以及區(qū)別．【學(xué)生活動(dòng)】踴躍舉手發(fā)言，解說老師的提問．【課堂演練】計(jì)算：（1）（x4）3（2）a·a5（3）x7·x9（x2）3【學(xué)生活動(dòng)】完成上面的演練題，并從中領(lǐng)會(huì)這兩個(gè)冪的運(yùn)算法則．【教師活動(dòng)】巡視，關(guān)注學(xué)生的練習(xí)，并請(qǐng)3位學(xué)生上臺(tái)演示，然后再提出下面的問題．同學(xué)們思考怎樣計(jì)算（2a3）4，每一步的根據(jù)是什么？【學(xué)生活動(dòng)】先獨(dú)立完成上面的問題，再小組討論．（2a3）4=（2a3）·（2a3）·（2a3）·（2a3）（乘方的含義）=（2·2·2·2）·（a3·a3·a3·a3）（乘法交換律、結(jié)合律）=24·a12（乘方的意義與同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算）=16a12【教師活動(dòng)】提出應(yīng)用以上分析問題的過程，再計(jì)算（ab）4，說出每一步的根據(jù)是什么？【學(xué)生活動(dòng)】獨(dú)立思考之后，再與同學(xué)交流．（ab）4=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）（乘方的含義）=（aaaa）·（bbbb）（交換律、結(jié)合律）=a4·b4（乘方的含義）【教師提問】（1）請(qǐng)同學(xué)們通過計(jì)算，觀察乘方結(jié)果之后，你能得出什么規(guī)律？（2）如果設(shè)n為正整數(shù)，將上式的指數(shù)改成n，即：（ab）n，其結(jié)果是什么？【學(xué)生活動(dòng)】回答出（ab）n=anbn．【師生共識(shí)】我們得到了積的乘方法則：（ab）n=anbn（n為正整數(shù)），這就是說，積的乘方等于積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．（ab）n==anbn【教師活動(dòng)】拓展訓(xùn)練：三個(gè)或三個(gè)以上的積的乘方，如（abc）n，【學(xué)生活動(dòng)】回答出結(jié)果是（abc）n=anbncn．二、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)【例】計(jì)算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．【教師活動(dòng)】組織、講例、提問．【學(xué)生活動(dòng)】踴躍搶答．三、隨堂練習(xí)，鞏固深化計(jì)算下列各式：（1）（－）2·（－）3；（2）（a－b）3·（a－b）4；（3）（－a5）5；（4）（－2xy）4；（5）（3a2）n；（6）（xy3n）2－[（2x）2]3；（7）（x4）6－（x3）8；（8）－p·（－p）4；（9）（tm）2·t；（10）（a2）3·（a3）2．四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃鼙竟?jié)課注重課堂引入，激發(fā)學(xué)生興趣，“良好開端等于成功一半”．1．積的乘方（ab）n=anbn（n是正整數(shù)），使用范圍：底數(shù)是積的乘方．方法：把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．2．在運(yùn)用冪的運(yùn)算法則時(shí)，注意知識(shí)拓展，底數(shù)和指數(shù)可以是數(shù)，也可以是整式，對(duì)三個(gè)以上因式的積也適用．3．要注意運(yùn)算過程，注意每一步依據(jù)，還應(yīng)防止符號(hào)上的錯(cuò)誤．4．在建構(gòu)新的法則時(shí)應(yīng)注意前面學(xué)過的法則與新法則的區(qū)別和聯(lián)系．五、布置作業(yè)，專題突破1．課本習(xí)題板書設(shè)計(jì)15.1.3積的乘方1、積的乘方的乘法法則例：練習(xí)：第2課時(shí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1．理解多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘法運(yùn)算．(重點(diǎn))2．掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入某地區(qū)在退耕還林期間，將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米．用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積．學(xué)生積極思考，教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這塊林區(qū)現(xiàn)在長為(m＋n)米，寬為(a＋b)米，因而面積為(m＋n)(a＋b)平方米．另外：如圖，這塊地由四小塊組成，它們的面積分別為ma平方米，mb平方米、na平方米，nb平方米，故這塊地的面積為(ma＋mb＋na＋nb)平方米．由此可得：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我們就學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式．二、合作探究探究點(diǎn)一：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式【類型一】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算計(jì)算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．解析：利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，即可得到結(jié)果．解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.方法總結(jié)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．【類型二】混合運(yùn)算計(jì)算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．解析：根據(jù)整式混合運(yùn)算的順序和法則分別進(jìn)行計(jì)算，再把所得結(jié)果合并即可．解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.方法總結(jié)：在計(jì)算時(shí)要注意混合運(yùn)算的順序和法則以及運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)．探究點(diǎn)二：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)求值及應(yīng)用【類型一】化簡(jiǎn)求值先化簡(jiǎn)，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.解析：先將式子利用整式乘法展開，合并同類項(xiàng)化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算．解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，原式＝－8＋2－15＝－21.方法總結(jié)：化簡(jiǎn)求值是整式運(yùn)算中常見的題型，一定要注意先化簡(jiǎn)，再求值，不能先代值，再計(jì)算．【類型二】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式與方程的綜合解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.解析：方程兩邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，將x系數(shù)化為1，即可求出解．解：去括號(hào)后得：x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：－15x＝7，解得x＝－eq\f(7,15).方法總結(jié)：解答本題就是利用多項(xiàng)式的乘法，將原方程轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的方程解答．【類型三】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用千年古鎮(zhèn)楊家灘的某小區(qū)的內(nèi)壩是一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形地塊，物業(yè)部門計(jì)劃將內(nèi)壩進(jìn)行綠化(如圖陰影部分)，中間部分將修建一仿古小景點(diǎn)(如圖中間的正方形)，則綠化的面積是多少平方米？并求出當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)的綠化面積．解析：根據(jù)長方形的面積公式，可得內(nèi)壩、景點(diǎn)的面積，根據(jù)面積的和差，可得答案．解：由題意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63，故綠化的面積是63m2.方法總結(jié)：用代數(shù)式表示圖形的長和寬，再利用面積(或體積)公式求面積(或體積)是解決問題的關(guān)鍵．【類型四】多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式后，不含某一項(xiàng)，求字母系數(shù)的值已知ax2＋bx＋1(a≠0)與3x－2的積不含x2項(xiàng)，也不含x項(xiàng)，求系數(shù)a、b的值．解析：首先利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根據(jù)積不含x2的項(xiàng)，也不含x的項(xiàng)，可得含x2的項(xiàng)和含x的項(xiàng)的系數(shù)等于零，即可求出a與b的值．解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2，∵積不含x2的項(xiàng)，也不含x的項(xiàng)，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝eq\f(3,2)，a＝eq\f(9,4).∴系數(shù)a、b的值分別是eq\f(9,4)，eq\f(3,2).方法總結(jié)：解決此類問題首先要利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算出展開式，合并同類項(xiàng)后，再根據(jù)不含某一項(xiàng)，可得這一項(xiàng)系數(shù)等于零，再列出方程解答．三、板書設(shè)計(jì)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．本節(jié)知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生熟練掌握前面所學(xué)的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘及單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的知識(shí)，同時(shí)為了讓學(xué)生理解并掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，教學(xué)中一定要精講精練，讓學(xué)生從練習(xí)中再次體會(huì)法則的內(nèi)容，為以后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．第2課時(shí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能讓學(xué)生理解多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠按多項(xiàng)式乘法步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單的乘法運(yùn)算．2．過程與方法經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的推理過程，體會(huì)其運(yùn)算的算理．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過推理，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力，發(fā)展有條理的思考，逐步形成主動(dòng)探索的習(xí)慣．重、難點(diǎn)與關(guān)鍵1．重點(diǎn)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的理解及應(yīng)用． 2．難點(diǎn)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的應(yīng)用．3．關(guān)鍵：多項(xiàng)式的乘法應(yīng)先轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘而后再應(yīng)用已學(xué)過的運(yùn)算法則解決．教學(xué)方法采用“情境──探索”教學(xué)方法，讓學(xué)生在設(shè)置的情境中，通過操作感知多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法的內(nèi)涵．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境，操作感知【動(dòng)手操作】首先，在你的硬紙板上用直尺畫出一個(gè)矩形，并且分成如下圖1所示的四部分，標(biāo)上字母．【學(xué)生活動(dòng)】拿出準(zhǔn)備好的硬紙板，畫出上圖1，并標(biāo)上字母．【教師活動(dòng)】要求學(xué)生根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求一下這個(gè)矩形的面積．【學(xué)生活動(dòng)】與同伴交流，計(jì)算出它的面積為：（m+b）×（n+a）．【教師引導(dǎo)】請(qǐng)同學(xué)們將紙板上的矩形沿你所畫豎著的線段將它剪開，分成如下圖兩部分，如圖2．剪開之后，分別求一下這兩部分的面積，再求一下它們的和．【學(xué)生活動(dòng)】分四人小組，合作探究，求出第一塊的面積為m（n+a），第二塊的面積為b（n+a），它們的和為m（n+a）+b（n+a）．【教師活動(dòng)】組織學(xué)生繼續(xù)沿著橫的線段剪開，將圖形分成四部分，如圖3，然后再求這四塊長方形的面積．【學(xué)生活動(dòng)】分四人小組合作學(xué)習(xí)，求出S1=mn；S2=nb；S3=am；S4=ab，它們的和為S=mn+nb+am+ab．【教師提問】依據(jù)上面的操作，求得的圖形面積，探索（m+b）（n+a）應(yīng)該等于什么？【學(xué)生活動(dòng)】分四人小組討論，并交流自己的看法．（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因?yàn)槲覀內(nèi)斡?jì)算是按照不同的方法對(duì)同一個(gè)矩形的面積進(jìn)行了計(jì)算，那么，兩次的計(jì)算結(jié)果應(yīng)該是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【師生共識(shí)】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用第一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的結(jié)果相加．字母呈現(xiàn)：=ma+mb+na+nb．二、范例學(xué)習(xí)，應(yīng)用所學(xué)【例1】計(jì)算：（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）【例2】計(jì)算：（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）【例3】先化簡(jiǎn)，再求值：（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．【教師活動(dòng)】例1～例3，啟發(fā)學(xué)生參與到例題所設(shè)置的計(jì)算問題中去．【學(xué)生活動(dòng)】參與其中，領(lǐng)會(huì)多項(xiàng)式乘法的運(yùn)用方法以及注意的問題．

三、隨堂練習(xí)，鞏固新知課本P148練習(xí)第1、2題．【探究時(shí)空】一塊長m米，寬n米的玻璃，長寬各裁掉a米后恰好能鋪蓋一張辦公桌臺(tái)面（玻璃與臺(tái)面一樣大小），問臺(tái)面面積是多少？四、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，應(yīng)充分結(jié)合導(dǎo)圖中的問題