2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第11講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）

第第頁(yè)第11講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)題型三：切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題題型四：弦長(zhǎng)問(wèn)題題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問(wèn)題題型八：公切線問(wèn)題題型九：圓中范圍與最值問(wèn)題題型十：圓系問(wèn)題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷直線SKIPIF1<0與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線SKIPIF1<0與圓C有公共點(diǎn)．有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相切；無(wú)實(shí)數(shù)解時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相離．(2)幾何法：由圓C的圓心到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0與圓的半徑SKIPIF1<0的關(guān)系判斷：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相交；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相切；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與圓C相離．知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見(jiàn)切線方程，可提高解題速度；求切線長(zhǎng)，一般要用到切線長(zhǎng)、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過(guò)勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決．知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法1、點(diǎn)SKIPIF1<0在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率SKIPIF1<0與圓心和該點(diǎn)連線的斜率SKIPIF1<0的乘積等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離等于半徑SKIPIF1<0．2、點(diǎn)SKIPIF1<0在圓外，則設(shè)切線方程：SKIPIF1<0，變成一般式：SKIPIF1<0，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)詮釋：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見(jiàn)圓的切線方程：(1)過(guò)圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0；(2)過(guò)圓SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0．知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的方法1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑SKIPIF1<0，圓心到直線的距離SKIPIF1<0，弦長(zhǎng)SKIPIF1<0具有的關(guān)系SKIPIF1<0，這也是求弦長(zhǎng)最常用的方法．2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)．知識(shí)點(diǎn)四：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒(méi)有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無(wú)解時(shí)，兩圓相離．(2)幾何法：設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，兩圓的圓心距為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓相交；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓外切；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓外離；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩圓內(nèi)含．知識(shí)點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過(guò)比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來(lái)確定，這種方法運(yùn)算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無(wú)解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來(lái)確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長(zhǎng)的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長(zhǎng)．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長(zhǎng)．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線．【典例例題】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系例1．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．與SKIPIF1<0的值有關(guān)例2．已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A．對(duì)SKIPIF1<0，直線恒過(guò)一定點(diǎn)B．SKIPIF1<0，使直線與圓相切C．對(duì)SKIPIF1<0，直線與圓一定相交D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)例3．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0沒(méi)有公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例4．關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩解，則k的范圍為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0題型三：切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題例15．圓SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為_(kāi)___________.例6．由直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．例7．已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，切點(diǎn)為SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值為_(kāi)_______題型四：弦長(zhǎng)問(wèn)題例8．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則弦SKIPIF1<0的長(zhǎng)為_(kāi)_____．例9．圓SKIPIF1<0的一條弦以點(diǎn)SKIPIF1<0為中點(diǎn)，則該弦的斜率為_(kāi)_．例10．設(shè)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于M，N兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系例11．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(

)A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切例12．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例13．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外切，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)________.例14．已知圓SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_(kāi)_____．題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問(wèn)題例15．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過(guò)圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心，則兩圓相交弦的方程為_(kāi)_____.例16．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦的弦長(zhǎng)__________．例17．過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A、B，則直線SKIPIF1<0的方程為_(kāi)________.題型八：公切線問(wèn)題例18．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍________．例19．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線方程是___________________．題型九：圓中范圍與最值問(wèn)題例20．圓SKIPIF1<0上恰好有兩點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是___________.例21．設(shè)圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0,則圓半徑SKIPIF1<0的取值范圍是_________.例22．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_______.題型十：圓系問(wèn)題例23．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于A、B兩點(diǎn)．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(3)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長(zhǎng)為1，則半徑SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，求兩圓的公共弦所在的直線方程(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長(zhǎng)為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，則SKIPIF1<0＝(

)A．21 B．19 C．9 D．SKIPIF1<05．在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓SKIPIF1<0的半徑為3，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，垂足為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于S