2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期培優(yōu)講義第11講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（學(xué)生版）

第第頁第11講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標(biāo)題型三：切線與切線長問題題型四：弦長問題題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型七：公共弦與切點弦問題題型八：公切線問題題型九：圓中范圍與最值問題題型十：圓系問題【知識點梳理】知識點一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個公共點；(2)直線與圓相切，只有一個公共點；(3)直線與圓相離，沒有公共點．2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷直線SKIPIF1<0與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線SKIPIF1<0與圓C有公共點．有兩組實數(shù)解時，直線SKIPIF1<0與圓C相交；有一組實數(shù)解時，直線SKIPIF1<0與圓C相切；無實數(shù)解時，直線SKIPIF1<0與圓C相離．(2)幾何法：由圓C的圓心到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0與圓的半徑SKIPIF1<0的關(guān)系判斷：當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與圓C相交；當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與圓C相切；當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與圓C相離．知識點詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．(2)當(dāng)直線和圓相交時，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時還用到垂徑定理．(3)當(dāng)直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決．知識點二：圓的切線方程的求法1、點SKIPIF1<0在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率SKIPIF1<0與圓心和該點連線的斜率SKIPIF1<0的乘積等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離等于半徑SKIPIF1<0．2、點SKIPIF1<0在圓外，則設(shè)切線方程：SKIPIF1<0，變成一般式：SKIPIF1<0，因為與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出SKIPIF1<0．知識點詮釋：因為此時點在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個根，若方程只有一個根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補上．常見圓的切線方程：(1)過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0；(2)過圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0的切線方程是SKIPIF1<0．知識點三：求直線被圓截得的弦長的方法1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑SKIPIF1<0，圓心到直線的距離SKIPIF1<0，弦長SKIPIF1<0具有的關(guān)系SKIPIF1<0，這也是求弦長最常用的方法．2、利用交點坐標(biāo)：若直線與圓的交點坐標(biāo)易求出，求出交點坐標(biāo)后，直接用兩點間的距離公式計算弦長．知識點四：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實數(shù)解時，兩圓相交；有一組實數(shù)解時，兩圓相切；方程組無解時，兩圓相離．(2)幾何法：設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，兩圓的圓心距為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，兩圓相交；當(dāng)SKIPIF1<0時，兩圓外切；當(dāng)SKIPIF1<0時，兩圓外離；當(dāng)SKIPIF1<0時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)SKIPIF1<0時，兩圓內(nèi)含．知識點詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運算量小．也可利用代數(shù)法，但是利用代數(shù)法解決時，一是運算量大，二是方程組僅有一解或無解時，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．(1)兩圓外離時，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；(2)兩圓外切時，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；(3)兩圓相交時，只有2條外公切線；(4)兩圓內(nèi)切時，只有1條外公切線；(5)兩圓內(nèi)含時，無公切線．【典例例題】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系例1．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．與SKIPIF1<0的值有關(guān)例2．已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是(

)A．對SKIPIF1<0，直線恒過一定點B．SKIPIF1<0，使直線與圓相切C．對SKIPIF1<0，直線與圓一定相交D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為SKIPIF1<0題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點坐標(biāo)例3．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0沒有公共點，則SKIPIF1<0的取值范圍是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例4．關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩解，則k的范圍為(

)A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0題型三：切線與切線長問題例15．圓SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為____________.例6．由直線SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0向圓SKIPIF1<0引切線，則切線長的最小值為______．例7．已知圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上的動點，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值為________題型四：弦長問題例8．若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則弦SKIPIF1<0的長為______．例9．圓SKIPIF1<0的一條弦以點SKIPIF1<0為中點，則該弦的斜率為__．例10．設(shè)SKIPIF1<0為實數(shù)，若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于M，N兩點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系例11．圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系是(

)A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切例12．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例13．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外切，則實數(shù)m的值為_________.例14．已知圓SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點，則r的取值范圍為______．題型七：公共弦與切點弦問題例15．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.例16．已知圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公共弦的弦長__________．例17．過點SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，設(shè)兩切點分別為A、B，則直線SKIPIF1<0的方程為_________.題型八：公切線問題例18．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0恰有兩條公切線，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍________．例19．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的公切線方程是___________________．題型九：圓中范圍與最值問題例20．圓SKIPIF1<0上恰好有兩點到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是___________.例21．設(shè)圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上有且僅有兩個點到直線SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0,則圓半徑SKIPIF1<0的取值范圍是_________.例22．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任一點，則SKIPIF1<0的最大值為________.題型十：圓系問題例23．已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于A、B兩點．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程；(3)求經(jīng)過A、B兩點且面積最小的圓的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為1，則半徑SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，求兩圓的公共弦所在的直線方程(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0所截得的弦長為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0外切，則SKIPIF1<0＝(

)A．21 B．19 C．9 D．SKIPIF1<05．在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，已知圓SKIPIF1<0的半徑為3，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，垂足為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于S