2024年高中數(shù)學新高二暑期培優(yōu)講義第15講 直線和圓錐曲線的位置關系（學生版）

第第頁第15講直線和圓錐曲線的位置關系【題型歸納目錄】題型一：直線與橢圓的位置關系題型二：橢圓的弦題型三：橢圓的綜合問題題型四：直線與雙曲線的位置關系題型五：雙曲線的弦題型六：雙曲線的綜合問題題型七：直線與拋物線的位置關系題型八：拋物線的弦題型九：拋物線的綜合問題【知識點梳理】知識點一：直線與橢圓的位置關系平面內點與橢圓的位置關系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關系有三種，任給一點M(x，y)，若點M(x，y)在橢圓上，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若點M(x，y)在橢圓內，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0；若點M(x，y)在橢圓外，則有SKIPIF1<0SKIPIF1<0.直線與橢圓的位置關系將直線的方程SKIPIF1<0與橢圓的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0SKIPIF1<0直線和橢圓相交SKIPIF1<0直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點)；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和橢圓相切SKIPIF1<0直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和橢圓相離SKIPIF1<0直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點三、直線與雙曲線的位置關系直線與雙曲線的位置關系將直線的方程SKIPIF1<0與雙曲線的方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，①Δ＞0SKIPIF1<0直線和雙曲線相交SKIPIF1<0直線和雙曲線相交，有兩個交點；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和雙曲線相切SKIPIF1<0直線和雙曲線相切，有一個公共點；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和雙曲線相離SKIPIF1<0直線和雙曲線相離，無公共點．直線與雙曲線的相交弦設直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0雙曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解.在雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為中點的弦所在直線的斜率SKIPIF1<0；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來相互轉化，同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.知識點四、直線與拋物線的位置關系直線與拋物線的位置關系將直線的方程SKIPIF1<0與拋物線的方程y2=2px(p＞0)聯(lián)立成方程組，消元轉化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點；若SKIPIF1<0①Δ＞0SKIPIF1<0直線和拋物線相交，有兩個交點；②Δ＝0SKIPIF1<0直線和拋物線相切，有一個公共點；③Δ＜0SKIPIF1<0直線和拋物線相離，無公共點．直線與拋物線的相交弦設直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0這里SKIPIF1<0SKIPIF1<0的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0拋物線的焦點弦問題已知過拋物線SKIPIF1<0的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：焦點弦長SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<0，其中|AF|叫做焦半徑，SKIPIF1<0④焦點弦長最小值為2p。根據SKIPIF1<0時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p?！镜淅}】題型一：直線與橢圓的位置關系例1．若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0有且只有一公共點，那么SKIPIF1<0的值為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．已知橢圓SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，則直線l與橢圓C的位置關系為(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定題型二：橢圓的弦例3．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且傾斜角為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0__________．例4．橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，過O作直線交橢圓于A、B兩點，若SKIPIF1<0的面積為20，則直線AB的方程為______．題型三：橢圓的綜合問題例5．已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)上任意一點SKIPIF1<0到兩個焦點的距離之和為SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，求直線SKIPIF1<0的方程．題型四：直線與雙曲線的位置關系例6．直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交，有且只有1個交點，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例7．若直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0有且只有一個交點，則滿足條件的直線SKIPIF1<0有(

)A．SKIPIF1<0條 B．SKIPIF1<0條 C．SKIPIF1<0條 D．SKIPIF1<0條題型五：雙曲線的弦例8．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上．(1)求直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積；(2)若直線MN的斜率為2，且過點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．題型六：雙曲線的綜合問題例9．已知雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支的一條切線，且與SKIPIF1<0的漸近線交于A，B兩點．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設點A，B的中點為M，求點M到y(tǒng)軸的距離的最小值．題型七：直線與拋物線的位置關系例10．過拋物線SKIPIF1<0的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線(

)A．有且只有一條B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有且只有四條題型八：拋物線的弦例11．過拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0的直線交拋物SKIPIF1<0線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，則弦SKIPIF1<0的長為______.例12．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為______．題型九：拋物線的綜合問題例13．已知拋物線SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.例14．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，點F到拋物線準線距離為4．(1)求拋物線E的標準方程；(2)已知SKIPIF1<0的三個頂點都在拋物線E上，頂點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重心恰好是拋物線E的焦點F．求SKIPIF1<0所在的直線方程．【過關測試】一、單選題1．已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于A，B兩點，若D為線段AB的中點，O為坐標原點，則直線OD的斜率為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．橢圓mx2＋ny2＝1與直線y＝1－x交于M，N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．1 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0二、填空題5．設P是雙曲線SKIPIF1<0右支上任一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E、F，則SKIPIF1<0的值為________．6．過拋物線SKIPIF1<0的焦點作一直線交拋物線于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，則SKIPIF1<0的值是________．7．已知雙曲線C：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0