高考數(shù)學(xué)微專題集專題23圓錐曲線中的最值、范圍問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的范圍問題(原卷版+解析)

專題23圓錐曲線中的最值、范圍問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的范圍問題專題23圓錐曲線中的最值、范圍問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的范圍問題【微點(diǎn)綜述】對于圓錐曲線中的范圍問題，如果是單參數(shù)問題，那么需要列出這個參數(shù)的相關(guān)不等式（組）求解．如果是雙參數(shù)問題，那么還需要列出這兩個參數(shù)之間的關(guān)系．具體求范圍時，一般需要找出所求幾何量的函數(shù)解析式，注意自變量的取值范圍．求函數(shù)的最值時，一般會用到配方法、均值定理或者函數(shù)單調(diào)性．有時，也可以考慮觀察圖形的幾何特點(diǎn)，判斷某個特殊位置滿足最值條件，然后再證明．1.圓錐曲線中的范圍問題的解題策略（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或聯(lián)立方程后的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．2.求解圓錐曲線中的范圍問題常用方法（1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求解．（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍．（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)的范圍．3.典例精析3.1函數(shù)法例1．(2023·吉林吉林·模擬預(yù)測）1．已知P是橢圓上一動點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時，，則點(diǎn)P運(yùn)動過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．例2.2．已知直線與焦點(diǎn)為F的拋物線相切.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值.例3.3．如圖，橢圓（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)時，其傾斜角恰為60°.（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸、y軸分別交于D、E兩點(diǎn).記△GDF的面積為，△OED（O坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.求的取值范圍.例4．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）4．已知、、，圓，拋物線，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與圓交于、兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.3.2不等式法例5．(2023廣東·模擬預(yù)測）5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線過A點(diǎn)且與x軸垂直，P為直線上的任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．(2023浙江·模擬預(yù)測）6．如圖所示，與是橢圓方程：的焦點(diǎn)，是橢圓上一動點(diǎn)（不含上、下兩端點(diǎn)），是橢圓的下端點(diǎn)，是橢圓的上端點(diǎn)，連接，，記直線的斜率為．當(dāng)在左端點(diǎn)時，△是等邊三角形．若△是等邊三角形，則__；記直線的斜率為，則的取值范圍是__．例7.7．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.例8.8．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個正方形,且其周長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.例9.(2023北京卷)9．已知橢圓一個頂點(diǎn)，以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．3.3判別式法例10.10．已知橢圓的一個頂點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)時，求m的取值范圍．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題(2023寧夏·銀川一中模擬預(yù)測）11．設(shè)A，B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是（

）A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）(2023內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）12．已知點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·甘肅·一模）13．直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若將x軸下方半平面沿著x軸翻折，使之與上半平面成直二面角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·河南·模擬預(yù)測）14．如圖，橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)，分別作弦，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023海南·模擬預(yù)測）15．已知點(diǎn)，和在橢圓：上，則（

）A．的焦點(diǎn)為 B．的離心率為C．直線的斜率小于1 D．的面積最大值為3(2023福建·福州三中模擬預(yù)測）16．月光石不能頻繁遇水，因為其主要成分是鉀鈉硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是 B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最大值是 D．的周長存在最大值(2023全國·模擬預(yù)測）17．已知，分別是橢圓：的左?右焦點(diǎn)，在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．點(diǎn)在橢圓上C．的內(nèi)切圓半徑為 D．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2(2023·全國·模擬預(yù)測）18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．當(dāng)離心率為時，的最大值為C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為1三、填空題(2023·浙江·模擬預(yù)測）19．已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動點(diǎn)，則的取值范圍為___________.(2023·河南洛陽·二模）20．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)、分別作弦、．若，則的最小值為______．(2023·全國·模擬預(yù)測）21．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為______.(2023·山西朔州·三模）22．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是___________.四、解答題23．已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.24．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.（2023浙江卷）25．如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線，，l于點(diǎn)P，Q，N．(1)求證：；(2)若線段上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段長為半徑的圓內(nèi)或圓上，若，求實數(shù)的取值范圍；(2023·北京東城·三模）27．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，長軸長為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)線段中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)位于軸異側(cè)時，求到直線的距離的取值范圍.(2023·北京·人大附中模擬預(yù)測）28．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍．(2023·浙江·模擬預(yù)測）29．如圖所示，曲線，曲線，過點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)A，交曲線于點(diǎn)B，若點(diǎn)C在曲線的準(zhǔn)線上．(1)求；(2)若存在直線使點(diǎn)B為中點(diǎn)，求A點(diǎn)橫坐標(biāo)（用p表示）及斜率的范圍．(2023·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）30．已知雙曲線：過點(diǎn)，且的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)如圖，過原點(diǎn)O作互相垂直的直線，分別交雙曲線于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，A，D在x軸同側(cè).請從①②兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按所選的第一個計分.①求四邊形ACBD面積的取值范圍；②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請說明理由.專題23圓錐曲線中的最值、范圍問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的范圍問題專題23圓錐曲線中的最值、范圍問題微點(diǎn)2圓錐曲線中的范圍問題【微點(diǎn)綜述】對于圓錐曲線中的范圍問題，如果是單參數(shù)問題，那么需要列出這個參數(shù)的相關(guān)不等式（組）求解．如果是雙參數(shù)問題，那么還需要列出這兩個參數(shù)之間的關(guān)系．具體求范圍時，一般需要找出所求幾何量的函數(shù)解析式，注意自變量的取值范圍．求函數(shù)的最值時，一般會用到配方法、均值定理或者函數(shù)單調(diào)性．有時，也可以考慮觀察圖形的幾何特點(diǎn)，判斷某個特殊位置滿足最值條件，然后再證明．1.圓錐曲線中的范圍問題的解題策略（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或聯(lián)立方程后的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．2.求解圓錐曲線中的范圍問題常用方法（1）函數(shù)法：用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)的單調(diào)性求解．（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍．（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式Δ求參數(shù)的范圍．3.典例精析3.1函數(shù)法例1．(2023·吉林吉林·模擬預(yù)測）1．已知P是橢圓上一動點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時，，則點(diǎn)P運(yùn)動過程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．例2.2．已知直線與焦點(diǎn)為F的拋物線相切.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線m與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)到直線l的距離之和的最小值.例3.3．如圖，橢圓（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)時，其傾斜角恰為60°.（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸、y軸分別交于D、E兩點(diǎn).記△GDF的面積為，△OED（O坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為.求的取值范圍.例4．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）4．已知、、，圓，拋物線，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與圓交于、兩點(diǎn)，記面積為，面積為，求的取值范圍.3.2不等式法例5．(2023廣東·模擬預(yù)測）5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，直線過A點(diǎn)且與x軸垂直，P為直線上的任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例6．(2023浙江·模擬預(yù)測）6．如圖所示，與是橢圓方程：的焦點(diǎn)，是橢圓上一動點(diǎn)（不含上、下兩端點(diǎn)），是橢圓的下端點(diǎn)，是橢圓的上端點(diǎn)，連接，，記直線的斜率為．當(dāng)在左端點(diǎn)時，△是等邊三角形．若△是等邊三角形，則__；記直線的斜率為，則的取值范圍是__．例7.7．已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.例8.8．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個正方形,且其周長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.例9.(2023北京卷)9．已知橢圓一個頂點(diǎn)，以橢圓的四個頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．3.3判別式法例10.10．已知橢圓的一個頂點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．當(dāng)時，求m的取值范圍．【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題(2023寧夏·銀川一中模擬預(yù)測）11．設(shè)A，B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是（

）A．（0，1] B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，1]∪[9，+∞） D．[9，+∞）(2023內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）12．已知點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的動點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若是平分線上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·甘肅·一模）13．直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若將x軸下方半平面沿著x軸翻折，使之與上半平面成直二面角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．(2023·河南·模擬預(yù)測）14．如圖，橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)，分別作弦，.若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題(2023海南·模擬預(yù)測）15．已知點(diǎn)，和在橢圓：上，則（

）A．的焦點(diǎn)為 B．的離心率為C．直線的斜率小于1 D．的面積最大值為3(2023福建·福州三中模擬預(yù)測）16．月光石不能頻繁遇水，因為其主要成分是鉀鈉硅酸鹽．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是 B．線段AB長度的取值范圍是C．面積的最大值是 D．的周長存在最大值(2023全國·模擬預(yù)測）17．已知，分別是橢圓：的左?右焦點(diǎn)，在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積為1，則（

）A．橢圓的離心率為 B．點(diǎn)在橢圓上C．的內(nèi)切圓半徑為 D．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2(2023·全國·模擬預(yù)測）18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，長軸長為4，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．當(dāng)離心率為時，的最大值為C．存在點(diǎn)使得D．的最小值為1三、填空題(2023·浙江·模擬預(yù)測）19．已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動點(diǎn)，則的取值范圍為___________.(2023·河南洛陽·二模）20．如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)、分別作弦、．若，則的最小值為______．(2023·全國·模擬預(yù)測）21．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為______.(2023·山西朔州·三模）22．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是___________.四、解答題23．已知橢圓的一個焦點(diǎn)是，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求的取值范圍.24．設(shè)圓的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.（2023浙江卷）25．如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.(2023·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線，，l于點(diǎn)P，Q，N．(1)求證：；(2)若線段上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段長為半徑的圓內(nèi)或圓上，若，求實數(shù)的取值范圍；(2023·北京東城·三模）27．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，長軸長為.過右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)線段中點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)位于軸異側(cè)時，求到直線的距離的取值范圍.(2023·北京·人大附中模擬預(yù)測）28．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為．(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍．(2023·浙江·模擬預(yù)測）29．如圖所示，曲線，曲線，過點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)A，交曲線于點(diǎn)B，若點(diǎn)C在曲線的準(zhǔn)線上．(1)求；(2)若存在直線使點(diǎn)B為中點(diǎn)，求A點(diǎn)橫坐標(biāo)（用p表示）及斜率的范圍．(2023·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）30．已知雙曲線：過點(diǎn)，且的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)如圖，過原點(diǎn)O作互相垂直的直線，分別交雙曲線于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，A，D在x軸同側(cè).請從①②兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按所選的第一個計分.①求四邊形ACBD面積的取值范圍；②設(shè)直線AD與兩漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線AD使M，N為線段AD的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線AD的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：1．A分析：設(shè).先由題意求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為..把轉(zhuǎn)化為，由求出，即可求得.【詳解】設(shè).在中，當(dāng)時，由橢圓的定義，余弦定理得：整理得：由三角形的面積公式得：，解得：.因為線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又O為的中點(diǎn)，所以軸，即.由，得，解得：，所以，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：.又有，解得：，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以.因為，所以.所以.因為，當(dāng)時，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】解析幾何中與動點(diǎn)有關(guān)的最值問題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來，利用函數(shù)求最值.2．（Ⅰ）（Ⅱ）分析：（Ⅰ）聯(lián)立和，利用即可求得，從而得到拋物線方程；（Ⅱ）設(shè)直線為，與拋物線聯(lián)立后可利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而得到；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得中點(diǎn)；利用點(diǎn)到距離之和等于點(diǎn)到的距離的倍，可將所求距離變?yōu)殛P(guān)于的函數(shù)，求解函數(shù)的最小值即可得到所求距離之和的最小值.【詳解】（Ⅰ）將與拋物線聯(lián)立得：與相切

，解得：拋物線的方程為：（Ⅱ）由題意知，直線斜率不為，可設(shè)直線方程為：聯(lián)立得：設(shè)，，則

線段中點(diǎn)設(shè)到直線距離分別為則

當(dāng)時，兩點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及到根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系求解拋物線方程、拋物線中的最值問題的求解等知識；求解最值的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺缶嚯x之和轉(zhuǎn)變?yōu)橹悬c(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式得到函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.3．（1）（2）【詳解】（1）依題意，當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)（0，b）時，其傾斜角為60°.設(shè)，則.將代入，得.所以橢圓的離心率.（2）由（1）知，橢圓方程可設(shè)為，設(shè)，.依題意，直線AB不能與x、y軸垂直，故設(shè)直線AB的方程為，將其代入，整理得.則.所以.因為，所以.因為，所以.所以的取值范圍是.4．(1)(2)分析：（1）設(shè)、，分析可知直線與軸不重合，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出拋物線的方程；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形的面積公式可求得的表達(dá)式，設(shè)直線的方程為，利用幾何法計算出的表達(dá)式，然后將直線、的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得出且，然后利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.（1）解：設(shè)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，，因為，解得，故拋物線的方程．（2）解：由，，得，設(shè)直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，得，，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，所以，則且，則，令，則，，則，綜上，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.5．A分析：設(shè)直線，的傾斜角分別為，，得到，根據(jù)基本不等式可得選項.【詳解】由題意可知，，直線的方程為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P為第二象限的點(diǎn)，即，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.，，且滿足，則，，∴，則的最大值為，故的最大值是.當(dāng)P為第二或第四象限的點(diǎn)時，的取值范圍是；當(dāng)P為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)時，.綜上可知，的取值范圍為，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓中的根據(jù)向量間的線性關(guān)系求角的范圍的問題，關(guān)鍵在于設(shè)出橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量間的線性關(guān)系表示所求的角的三角函數(shù)，再運(yùn)用基本不等式求解范圍.6．

，分析：根據(jù)題意先求各點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)斜率公式求解；利用參數(shù)方程求解的取值范圍.【詳解】解：由題意知，若△是等邊三角形，則在左端點(diǎn)或右端點(diǎn)，此時，，，故點(diǎn)，或點(diǎn)，，點(diǎn)，故或；由題意知，橢圓方程可化為，不妨設(shè)，，則，，則，.故答案為：；，7．（1）（2）【詳解】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因為直線的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿足所以的面積最大時直線的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.8．(1)(2)分析：（1）由題意列出方程組求出，，由此能求出橢圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，的方程為，，點(diǎn)B在橢圓內(nèi)，由，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、由此能求出的取值范圍.（1）由題意，得：又因為解得，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意知的方程為，此時為橢圓的上下頂點(diǎn)，且，因為點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi)，且，所以；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為.由方程組得，因為直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)，即，得；設(shè)，則.設(shè)的中點(diǎn)，則，所以.所以，，因為點(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，所以對于恒成立，所以，化簡，得，整理得，而（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以，由，得，綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．9．（1）；（2）．分析：（1）根據(jù)橢圓所過的點(diǎn)及四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.10．（1）（2）分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)、離心率建立方程求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先由直線與橢圓方程聯(lián)立方程組，由判別式得出不等關(guān)系，根與系數(shù)關(guān)系，再將條件轉(zhuǎn)化為A在線段的垂直平分線上，建立等量關(guān)系，最后將它們相結(jié)合進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解之得：．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)弦的中點(diǎn)，設(shè)，由得，因為直線與橢圓相交，所以，，①∴，所以．∴，又，∴，則，即，②把②代入①得，解得，由②得，解得．綜上可知m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題，有一定難度，屬于中檔題目．11．C分析：可得當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)M滿足，則此時，則，討論焦點(diǎn)在軸和在軸上兩種情況即可求解.【詳解】若橢圓焦點(diǎn)在軸上，即時，則當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)M滿足，則此時，則，則，解得；若橢圓焦點(diǎn)在軸上，即時，則當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)M滿足，則此時，則，則，解得；綜上，m的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出當(dāng)位于短軸的端點(diǎn)時，取最大值，要使橢圓上存在點(diǎn)M滿足，則此時，則.12．C分析：延長、相交于點(diǎn)，連接，利用橢圓的定義分析得出，設(shè)點(diǎn)，求出的取值范圍，利用橢圓的方程計算得出，由此可得出結(jié)果.【詳解】如下圖，延長、相交于點(diǎn)，連接，因為，則，因為為的角平分線，所以，，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因為為的中點(diǎn)，所以，，設(shè)點(diǎn)，由已知可得，，，則且，且有，，故，所以，.故選：C.13．C分析：判斷直線與橢圓的交點(diǎn)的位置,然后求解|AB|的取值范圍即可．【詳解】由可知，橢圓的短軸長，長軸長，又直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，所以的最大值為，將x軸下方半平面沿著x軸翻折，使之與上半平面成直二面角，此時的最大值仍然是長軸長，而短軸兩個端點(diǎn)間的距離為，由于A,B不能在短軸端點(diǎn)處，所以，故選：C14．C分析：分直線斜率不存在和存在兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出，從而可表示出，，進(jìn)而可表示【詳解】解：由橢圓的對稱性可知，，.設(shè)點(diǎn)，.若直線的斜率不存在，則點(diǎn)，，所以，所以.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去整理得，，則.又，同理可得，所以，所以.綜上，的取值范圍為，故選:C.15．BCD分析：將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程可求出的值，從而可得橢圓方程，進(jìn)而可求出的值，于是對A，B選項可進(jìn)行判斷；對于C，由題意可知，點(diǎn)在曲線段之間，從而可求出直線的斜率的范圍；對于D，求出與平行且與橢圓相切的直線，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積的最大值【詳解】解：將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得且，得，，所以橢圓的方程為，其焦點(diǎn)為，故A錯誤．離心率為，故B項正確．根據(jù)題意，可知點(diǎn)在曲線段之間，因為直線的斜率為1，所以直線的斜率小于1，故C項正確．由于直線的斜率為，所以設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為，將其代入橢圓方程整理得，由得或，當(dāng)時，切點(diǎn)為不合題意，舍去，當(dāng)時，切點(diǎn)為，即當(dāng)取時，的面積最大，因為直線為，所以直線與切線間的距離為，所以的面積最大值為，故D項正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】此題考查橢圓方程的方程及幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出橢圓方程，考查計算能力，屬于中檔題16．ABC分析：由題意可求出半圓和橢圓的方程，即可求得橢圓離心率，判斷A；結(jié)合半圓的半徑以及橢圓的長半軸長，可確定線段AB長度的取值范圍，判斷B；設(shè)坐標(biāo)，表示出面積，利用基本不等式求得其最大值，判斷C；表示出的周長的表達(dá)式，結(jié)合t的取值范圍可判斷D.【詳解】由題意得半圓的方程為，設(shè)橢圓的方程為，所以，所以橢圓的方程為．A．橢圓的離心率是，所以該選項正確；B．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以線段AB長度的取值范圍是，所以該選項正確；C．由題得面積，設(shè)，設(shè)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以該選項正確；D．的周長，所以當(dāng)時，的周長最大，但是不能取零，所以的周長沒有最大值，所以該選項錯誤．故選：ABC.17．ABD分析：先根據(jù)已知條件得到，再利用的面積為1，確定點(diǎn)P為C的短軸的一個端點(diǎn)，然后逐項分析即可.【詳解】由，為的中點(diǎn)可知，.由的面積為1，可知，所以，所以P為橢圓C短軸的一個端點(diǎn)，則，所以，所以，A正確；由A可知，橢圓C的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可知滿足C的方程，B正確；因為為等腰直角三角形，且，所以的內(nèi)切圓半徑，C錯誤；不妨取，則直線的方程為，即，設(shè)橢圓C上的點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離，其中，則，D正確.故選：ABD.18．BD分析：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部求得的范圍，從而解得離心率范圍即可判斷；由離心率求得，再利用橢圓定義，數(shù)形結(jié)合求得的最大值；根據(jù)可得，結(jié)合選項中所得的范圍即可判斷；利用均值不等式以及橢圓定義，即可求得的最小值.【詳解】因為長軸長為4，所以，即；因為點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，又，故可得.對于選項：因為，故，，故不正確；對于選項：當(dāng)，即，解得，所以，則；由橢圓定義：，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)，，共線且在軸下方時，取最大值，所以的最大值為，故正確；對于選項：若，則由選項知，，，，所以，所以不存在使得，故不正確；對于選項：由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.又，所以，故正確．綜上所述：正確的選項是：.故選：.19．分析：利用焦半徑公式把比值表示為的式子，然后由得出范圍．【詳解】設(shè)，，且得：.故答案為：.20．分析：分析可知，則，設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長公式可求得的最小值，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，由于橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)在橢圓上，因為既為的中點(diǎn)，也為線段的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，因為且，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，，由題意可知，直線不與軸重合，易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.21．分析：作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、，分析可知且、、三點(diǎn)共線，故，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長公式可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、，易知點(diǎn)、，由橢圓的對稱性可知點(diǎn)也在橢圓上，因為為、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因為，故、、三點(diǎn)共線，則，所以，.因為點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以，.故答案為：.22．分析：設(shè)，，中點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法及兩點(diǎn)的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據(jù)，可得，最后根據(jù)計算可得；【詳解】解：設(shè)，，中點(diǎn)，，由與相減得，所以，又，所以，所以，即，因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案為：23．（1）；（2）.分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)及，即可得出；（2）分直線的斜率存在于不存在討論，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，可設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系及其中點(diǎn)坐標(biāo)公式及其基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】解：（1）設(shè)橢圓的半焦距是.依題意，得.因為橢圓的離心率，所以，，.故橢圓的方程為.（2）當(dāng)軸時，顯然.當(dāng)與軸不垂直時，可設(shè)直線的方程為.由消去整理得.設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，則.所以，.線段的垂直平分線方程為.在上述方程中令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，或.綜上：的取值范圍是.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題24．(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).【詳解】試題分析：（Ⅰ）利用橢圓定義求方程；（Ⅱ）把面積表示為關(guān)于斜率k的函數(shù)，再求最值．試題解析：（Ⅰ）因為，，故，所以，故.又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以.由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為：（）.（Ⅱ）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)的方程為，，.由得.則，.所以.過點(diǎn)且與垂直的直線：，到的距離為，所以.故四邊形的面積.可得當(dāng)與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為.當(dāng)與軸垂直時，其方程為，，，四邊形的面積為12.綜上，四邊形面積的取值范圍為.【考點(diǎn)】圓錐曲線綜合問題【名師點(diǎn)睛】高考解析幾何解答題大多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是一個很寬泛的考試內(nèi)容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求參數(shù)取值范圍等幾部分組成.其中考查較多的圓錐曲線是橢圓與拋物線,解決這類問題要重視方程思想、函數(shù)思想及化歸思想的應(yīng)用.25．（1）；（2）.分析：（1）求出的值后可求拋物線的方程.（2）方法一：設(shè)，，，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程后可得，求出直線的方程，聯(lián)立各直線方程可求出，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求的范圍.【詳解】（1）因為，故，故拋物線的方程為：.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因為，故，故.又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因為，，．由得．同理．由得．因為，所以即．故．令，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]【最優(yōu)解】：設(shè)，由三點(diǎn)共