人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章第五節(jié)數(shù)列求和(二)學(xué)案

第五節(jié)數(shù)列求和(二)考試要求：1．掌握等差、等比數(shù)列的求和公式．2．掌握非等差、非等比數(shù)列求和的常用方法，如裂項(xiàng)相消法求和、錯(cuò)位相減法求和等．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一裂項(xiàng)相消法求和1．(教材改編題)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若an＝1nn+1，則SA．1 B．5C．16 D．B解析：因?yàn)閍n＝1nn+1＝1n所以S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…＋15－2．122?1＋132?1＋1434－121n+1+1n+2解析：因?yàn)?所以122?1＋132?1＋1＝12·＝1＝34－1核心回扣1．裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．2．一般形式：通項(xiàng)公式形如1anbn，其中bn－an＝d注意點(diǎn)：(1)裂項(xiàng)前后的式子應(yīng)相等，有時(shí)需要添加相應(yīng)的系數(shù)．(2)觀察前幾項(xiàng)相消的特點(diǎn)，總結(jié)相消規(guī)律求和．自查自測(cè)知識(shí)點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和1．(教材改編題)12＋12＋38＋…A．2n?n?12C．2n?n+12B解析：由Sn＝12＋12＋38＋＝12＋222＋323＋得12Sn＝122＋223＋…＋①－②，得12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－所以Sn＝2n+12．化簡(jiǎn)Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1的結(jié)果是()A．2n+1＋n－2 B．2n+1－n＋2C.2n－n－2 D．2n+1－n－2D解析：由Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1①，得2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n-1＋2n②，①－②，得－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n+1，所以Sn＝2n+1－n－2.核心回扣1．錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法．2．一般形式：通項(xiàng)公式形如anbn，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列的數(shù)列適用錯(cuò)位相減法求和．注意點(diǎn)：(1)求和時(shí)注意格式，錯(cuò)位書寫、錯(cuò)位對(duì)齊，不要因?yàn)闀鴮懟靵y導(dǎo)致相減錯(cuò)誤．(2)和式兩邊同乘等比數(shù)列的公比．【常用結(jié)論】常見的裂項(xiàng)公式(1)1nn+1＝1n－1n+1．(2)1nn+2＝121n?1n+2．(3)12n?12n+1＝1212n?1?12n+1．(4)1n+n+1＝n+1?n.(5)1nn+1n+2＝121nn+1?1n+1n+2．(6)an＝loga1+1n＝－[logan－loga(n＋1)].(7)a應(yīng)用已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，令an＝1fn+1+fn，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2026－1解析：由f(4)＝2，得4a＝2，解得a＝12，則f(x)＝x所以an＝1fn+1+fn＝S2025＝a1＋a2＋a3＋…＋a2025＝(2－1)＋(3?2)＋(4?3)＋…＋(2025?裂項(xiàng)相消法求和【例1】(1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，設(shè)bn＝log2an，則1b1b2＋1bA．40472024 B．C．20232024 D．B解析：由Sn＋1＝2Sn且S1＝a1＝2，得數(shù)列{Sn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＝2n.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n-1＝2n-1，又a1＝2不滿足上式，所以an＝2，n=1，2n?1，n≥2，則當(dāng)n≥2時(shí)，1bnbn+1＝1n?1n＝1n?1－1n，所以1b1b2＋1b2b3＋…＋1b(2)(2024·成都模擬)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，且a3－1是a1和a8＋1的等比中項(xiàng)．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)bn＝3?2n2n?1anan+1，求數(shù)列{bn解：①由題意，得(a3－1)2＝a1·(a8＋1)，且公差為2，則(a1＋3)2＝a1·(a1＋15)，解得a1＝1，則an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.②由①可知，an＝2n－1，則an＋1＝2n＋1，所以bn＝3?2n2n?1＝12n?1?22n+1·2n-1＝則Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1?23＋23?22＝1－2n裂項(xiàng)相消法的原則及規(guī)律(1)裂項(xiàng)原則一般是前面裂幾項(xiàng)，后面就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．(2)消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前面剩幾項(xiàng)，后面就剩幾項(xiàng)，前面剩第幾項(xiàng)，后面就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2，a3是a1，a11的等比中項(xiàng)．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝3anan+1，求數(shù)列{bn}的前n解：(1)設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍1＝2，a3是a1，a11的等比中項(xiàng)，所以(2＋2d)2＝2(2＋10d)，所以d2－3d＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝3，故an＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)因?yàn)閎n＝3anan+1＝33n?1所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12?15＋15?18＋…＋錯(cuò)位相減法求和【例2】(1)(2024·濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，anan?1＝2nn?1(n≥2)，{an}的前nA．a(chǎn)2＝－8B．a(chǎn)n＝－2n·nC．S3＝－30D．Sn＝(1－n)·2n+1－2C解析：由題意可得a2a1＝2×21，a3a2＝2×32，a4a3＝2×43，…，anan?1＝2×nn?1(n≥2)，以上式子左、右分別相乘得ana1＝2n-1·n(n≥2)，把a(bǔ)1＝－2代入，得an＝－2n·n(n≥2)．又a1＝－2符合上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n·n，a2＝－8，故A，B正確．Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，則2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1]，兩式相減，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝2n(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝1，公差d>0，其前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn＝n(an＋an＋1)．①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②設(shè)數(shù)列{an·2an}的前n項(xiàng)和為Tn，求T解：①根據(jù)題意，當(dāng)n＝1時(shí)，4S1＝4a1＝a1＋a2，又a1＝1，則4＝1＋a2，解得a2＝3.所以等差數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝3－1＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.②由①可知an·2an＝(2n－1)·22n-1＝12(2n－1)·則Tn＝12[1×41＋3×42＋…＋(2n－1)·4n所以4Tn＝12[1×42＋3×43＋…＋(2n－1)·4n+1兩式相減得－3Tn＝12[4＋2(42＋43＋…＋4n)－(2n－1)·4n+1]＝2＋(42＋43＋…＋4n)－2n?12·4＝2＋421?4n?11?4－＝－103＋5?6n6·4n所以Tn＝109＋6n?518·4n錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)(1)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(2)應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.(3)錯(cuò)位相減法求和運(yùn)算化簡(jiǎn)較為復(fù)雜，書寫步驟時(shí)盡量詳細(xì)，不要跨步，減少運(yùn)算失誤．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a4＋a6＝18，S11＝121.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(an＋3)2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4＋a6＝18，得2a1＋8d＝18，即a1＋4d＝9.由S11＝121，得11a1＋11×102×d即a1＋5d＝11，解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)由(1)可知bn＝(an＋3)·2n＝(n＋1)·2n+1，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn＝2·22＋3·23＋…＋(n＋1)·2n+1，故2Tn＝2·23＋3·24＋…＋(n＋1)·2n+2，兩式作差，得－Tn＝8＋23＋24＋…＋2n+1－(n＋1)·2n+2＝8＋81?2n?11?2－(n＋1)·2n+2＝－n·所以Tn＝n·2n+2.課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(四十四)1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，則1aA．100101 B．C．101100 D．D解析：因?yàn)閍n＋1＝a1＋an＋n，a1＝1，所以an＋1－an＝1＋n.所以an－an－1＝n(n≥2)．所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝nn+12(n當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝nn+1所以1an＝2n所以1an的前100項(xiàng)和為21?12+2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，則數(shù)列1an+3an+4的前nA．n+1n+2 B．C．nn+2 D．B解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝n－3，則an＋3＝n，an＋4＝n＋1，所以1an+3an+4＝1n所以Sn＝11?12＋12?13＋3．(2024·泰安模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＋12a2＋122a3＋…＋12n?1an＝2n，則a1＋2a2＋22a3＋…A．2×(22022－1) B．23(22022C．23(24044－1) D．23(2C解析：因?yàn)閍1＋12a2＋122a3＋…＋12n?1所以當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋12a2＋122a3＋…12n?2a兩式相減得12n?1an＝2，所以an＝2n(n又a1＝2也適合該式，故an＝2n.所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22021a2022＝242022?14?1＝4．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝1+2+3+…+nn，則數(shù)列1anA．nn+2 B．C．nn+1 D．B解析：由題意得an＝1+2+3+…+nn＝12(n＋1)，故1ana所以數(shù)列1ana41＝412?15．(多選題)已知數(shù)列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋…＋910，….若bn＝1A．a(chǎn)n＝n2 B．a(chǎn)n＝C．Sn＝4nn+1 D．Sn＝AC解析：由題意得an＝1n+1＋2n+1＋…＋nn+1＝1+2+3+…+n所以bn＝1＝4nn+1＝4所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝41?＝41?1n+1＝6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝nn+1an，a1＝1，則數(shù)列{anan＋1}的前10項(xiàng)和為1011解析：因?yàn)閍n＋1＝nn+1an，a所以(n＋1)an＋1＝nan，所以數(shù)列{nan}是每項(xiàng)均為1的常數(shù)列，即nan＝1.所以an＝1n，anan＋1＝1nn+1＝1所以數(shù)列{anan＋1}的前10項(xiàng)和為11?12＋12?13＋7．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3·…·an＝2bn(n∈N*)．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，a4＝16，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝，數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和Snn+122nn+1解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，所以公比q＝3a4a1＝3所以a1a2a3·…·an＝21×22×23×…×2n＝21+2+3+…＋n＝2n因?yàn)閍1a2a3·…·an＝2bn，所以bn＝所以1bn＝2n所以數(shù)列1bn的前Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝21＝21?1n+1＝8．已知遞增等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S6S3＝9，bn＝anan(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，由S6S3＝9，得S即a4+a5+a又b1＝a＝a1a1整理得4a12－9a1＋2＝0，解得a1＝2或a1由bn＝anan?1an+1?1，得an≠1，當(dāng)a1＝14時(shí)，故a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.(2)由(1)可得bn＝anan?1an+1?1所以Tn＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n9．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則k=1n1S2nn+1解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d依題意有a1+2d=3所以Sn＝n＋nn?12＝nn+12，1S因此k=1n1Sk＝210．已知數(shù)列{an}滿足1an＝1an+1－1，且a1＝1，則an＝，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan，則數(shù)列{bn}的前1n(n－1)×2n+1＋2解析：由1an＝1an+1－1，得1所以1an是公差、首則等差數(shù)列1an的通項(xiàng)公式為1a則an＝1n，bn＝2nan＝n所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1，相減得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n+1＝－21?2n1?2＋n×2n+1＝(n－1)×11．已知在數(shù)列{an}中，a1＝3，且{an－1}是公比為3的等比數(shù)列，則使a1?1a1a2＋a2?1a2a4解析：由題意，知{an－1}是首項(xiàng)為a1－1＝2，公比為3的等比數(shù)列，所以an－1＝2×3n-1，所以an＝2×3n-1＋1.所以an?1ana所以a1?1a1a2＋a＝1213?12×3解得n＝4.12．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝2Sn，n為奇數(shù)，bn，n為