人教A版普通高中數(shù)學一輪復習第一章第四節(jié)一元二次不等式及其解法學案

第四節(jié)一元二次不等式及其解法考試要求：1．會從實際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義．2．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，會判斷一元二次方程根的個數(shù)，以及二次函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．3．掌握利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式的方法．自查自測知識點一一元二次不等式1．判斷下列說法的正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.(√)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(×)(3)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，則不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(√)2．已知全集U＝{x|x≥0}，集合A＝{x|x(x－2)≤0}，則?UA＝()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪[2，＋∞)A解析：集合A＝{x|x(x－2)≤0}＝[0，2]，而全集U＝[0，＋∞)，所以?UA＝(2，＋∞)．故選A．3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是-12，13，則a－14解析：由題意知－12，13是ax2＋bx＋2＝0的兩根，則－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，所以4．(教材改編題)若關(guān)于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為．(－32，32)解析：由題意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－32<a<32.核心回扣1．一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2．三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－b沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2，或x＜x1}{x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??自查自測知識點二分式不等式與整式不等式不等式1-x2+x≥A．[－2，1]B．(－2，1]C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)B解析：將原不等式化為即解得－2<x≤1.核心回扣分式不等式與整式不等式(1)fxgx＞0(＜0)?f(x)·g((2)fxgx≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)不含參數(shù)的一元二次不等式的解法1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集為()A．-1，B．-C．(－∞，－1)∪32D．-∞，-32C解析：－2x2＋x＋3<0可化為2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或x>322．(2024·泰安模擬)已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，則A∪B＝()A．(1，2) B．(1，5)C．(2，4) D．(4，5)B解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝(1，5)．故選B．3．(2024·日照模擬)若集合M＝{x|x(3－x)>0}，N＝{x|〖(x-2)/(x+3)〗≤0┤}，則M∩A．[－3，2] B．(0，3]C．[－3，2) D．(0，2]D解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0<x<3，所以M＝{x|0<x<3}．又由x-2x+3≤0，可得{■(x-2)(x+3)≤0，@x+3≠0，)┤解得－3<x≤2，所以N＝{x|－3<解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟三個“二次”關(guān)系的應用1．(多選題)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x<－1或x>3}，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)<0B．a(chǎn)＋b＋c>0C．c>0D．cx2－bx＋a<0的解集為{x|x<-ABC解析：根據(jù)二次函數(shù)圖象與二次不等式解集之間的關(guān)系可知a<0，A正確；由題可知方程ax2＋bx＋c＝0的根為－1，3，則a<0，-1+3=-ba，-1×3=ca，即a<0，b=-2a，c=-3a，所以a＋b＋c＝－4a>0，B正確；c＝－3a>0，C正確；cx2－bx＋a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，則3x2－2x2．不等式axx-1<1的解集為{x|x<1或x>2}，則a的值為12解析：因為原不等式可化為a-1x+1x-1<0，即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0，所以由題意得a-1<0，-3．已知函數(shù)f(x)＝15xx2+9，若f(x)>m的解集為32，2解析：因為f(x)>m，所以15xx2+9>m，所以mx2－15x因為其解集為32，6，所以mx2－15x＋9m＝0的兩個根為32和6，所以32三個“二次”間的關(guān)系及應用1．一元二次方程的根就是相應二次函數(shù)的零點，也是相應一元二次不等式解集的端點值．2．給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數(shù)圖象的開口方向及與x軸的交點，可以借助根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例1】解不等式x2－(a＋1)x＋a<0.解：原不等式可化為(x－a)(x－1)<0.當a>1時，原不等式的解集為(1，a)；當a＝1時，原不等式的解集為?；當a<1時，原不等式的解集為(a，1)．[變式]將本例中的不等式改為ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集．解：原不等式可化為(ax－1)(x－1)<0，因為a>0，所以ax-1a(當a>1時，解得1a<x<1；當a＝1時，解集為?；當0<a<1時，解得1<x<1綜上可得，當0<a<1時，此不等式的解集為{x|1<x<1a}；當a＝1時，此不等式的解集為?；當a解含參數(shù)的一元二次不等式的分類討論依據(jù)設m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.解：①當m＝0時，－3<0恒成立；②當m>0時，不等式可化為(mx＋3)(mx－1)<0，即x+3而－3m<1此時不等式的解集為{x|-3③當m<0時，不等式可化為(mx＋3)(mx－1)<0，即x+3而－3m>1此時不等式的解集為{x|1綜上可得，當m<0時，不等式的解集為{x|1m<x<-3m}；當m一元二次不等式的恒成立問題考向1在R上的恒成立問題【例2】(2024·鹽城模擬)已知關(guān)于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是()A．[0，4]B．[0，3]C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0]∪[4，＋∞)A解析：當k＝0時，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化為1≥0，其恒成立；當k≠0時，要滿足關(guān)于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0對任意x∈R恒成立，只需k>0，Δ=9k2-4k2k+1一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0考向2在給定區(qū)間上的恒成立問題【例3】(2024·濱州模擬)若對任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a為常數(shù))，則a的取值范圍是()A．(－∞，－3] B．(－∞，0]C．[1，＋∞) D．(－∞，1]A解析：(方法一)令f(x)＝x2－2x＋a，則由題意得f解得a≤－3.故選A．(方法二)當x∈[－1，2]時，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等價于a≤－x2＋2x恒成立．令f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈[－1，2]，當x＝－1時，f(x)min＝－3，所以a≤－3.故選A．給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在給定區(qū)間上恒成立，可利用一元二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為等價不等式(組)求范圍．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.1．若對任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，則m的取值范圍是()A．(－2，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]C解析：由?x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0，得m<x＋1x，而當x>0時，x＋1x≥2x·1x＝2，當且僅當x＝1x，即x＝1時取等號，則2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.若當x∈R時，f(x)≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．[－6，2]解析：當x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，則Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.所以實數(shù)a的取值范圍是[－6，2].課時質(zhì)量評價(四)1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，則A∩B等于()A．(0，2) B．(－1，0)C．(－3，2) D．(－1，3)B解析：A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，所以A∩B＝(－1，0)．故選B．2．若命題p：?x∈R，x2＋(1－k)x＋1≥0是真命題，則k的取值范圍是()A．(－∞，1]∪[3，＋∞)B．(－3，1)C．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D．[－1，3]D解析：由題意可知x2＋(1－k)x＋1≥0恒成立，所以Δ＝(1－k)2－4≤0，解得－1≤k≤3.故選D．3．(2024·寧波模擬)若a<0，則關(guān)于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集為()A．{x|2<x<B．{x|C．{x|x<D．{x|x<2或x>B解析：方程(ax－1)(x－2)＝0的兩個根為x＝2和x＝1a，因為a<0，所以1a<2，故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集為4．(多選題)若二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集為{x|-1<x<12}A．a(chǎn)2＋b2＝5 B．a(chǎn)＋b＝－3C．a(chǎn)b＝－2 D．a(chǎn)b＝2ABD解析：由題意得，－1，12是方程ax2＋bx＋1＝0的根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得-ba=-1+12，1a=-1×12，解得a=-25．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x2－2(m＋1)x＋m<0}，若A?B，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(－1，0)C．[－1，0) D．(－∞，0)B解析：設f(x)＝x2－2(m＋1)x＋m，若滿足A?B，則需滿足f0＜0，f1＜0，6．不等式1x<－1的解集是(－1，0)解析：因為1x<－1，等價于1x＋1＝1+xx<0，等價于x(1＋x)<0，解得－1<x7．(2024·威海模擬)若?x∈R，ax2＋ax＋a－3<0，則a的一個可取的正整數(shù)值為．1(或2，3)解析：由題意Δ＝a2－4a(a－3)>0，解得0<a<4，a的正整數(shù)值為1或2或3，故答案為1(也可取2，3)．8．已知關(guān)于x的不等式x2＋(a＋1)x＋4<0(a∈R)．(1)當a＝－6時，此不等式的解集為；(2)若不等式的解集非空，則實數(shù)a的取值范圍為．(1)(1，4)(2)(－∞，－5)∪(3，＋∞)解析：當a＝－6時，不等式為x2－5x＋4<0，解得1<x<4，故不等式的解集為(1，4)．不等式x2＋(a＋1)x＋4<0的解集非空，則Δ>0，即(a＋1)2－16>0，解得a<－5或a>3，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－5)∪(3，＋∞)．9．已知函數(shù)f(x)＝ax＋6x－3，若xf(x)<4的解集為{x|1<x<b(1)求a，b的值；(2)解關(guān)于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.解：(1)因為函數(shù)f(x)＝ax＋6x－3，所以不等式xf(x)<4，即為ax2－3x＋2<0.由不等式的解集為{x|1<x<b}，可得1＋b＝3a，且1×b＝2a，解得a(2)由(1)得a＝1，b＝2，則關(guān)于x的不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(c＋2)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.當c＝2時，不等式即(x－2)2<0，它的解集為?；當c<2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為(c，2)；當c>2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為(2，c)．10．(2024·臨沂模擬)若關(guān)于x的不等式sinx-2xA．3 B．2C．－2 D．－3B解析：因為sinx－2<0恒成立，故x2＋ax＋b<0的解集為(－1，2)，即方程x2＋ax＋b＝0的兩根為－1和2.由根與系數(shù)的關(guān)系可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故ab＝2.故選B．11．已知關(guān)于x的不等式ax2－2x＋a<0在(0，＋∞)上有解，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，1) B．(－1，1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)A解析：由x∈(0，＋∞)，ax2－2x＋a<0，可得a<2xx2+1在(0，＋∞)上有解．令f(x)＝2xx2+1，則f(x)＝2x+12．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，請寫出一個一元二次不等式，使得該不等式的解集與集合A有且只有一個公共元素，這個不等式可以是．(x＋4)(x－6)＞0(答案不唯一)解析：不等式(x＋4)(x－6)