2022年江蘇省淮安市城北開明中學數(shù)學九上期末綜合測試試題含解析

2022-2023學年九上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應值如表：X﹣1013y﹣33下列結論：（1）abc＜0；（2）當x＞1時，y的值隨x值的增大而減小；（3）16a+4b+c＜0；（4）拋物線與坐標軸有兩個交點；（5）x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一個根；其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個2．如圖，在△中，∥，如果，，，那么的值為（）A． B． C． D．3．⊙O的半徑為5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,則AB與CD之間的距離為（）A．1cm B．7cm C．3cm或4cm D．1cm或7cm4．已知，點是線段上的黃金分割點，且，則的長為（）A． B． C． D．5．如圖，的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（）A．10 B．12 C．16 D．186．如圖，已知點E（﹣4，2），點F（﹣1，﹣1），以O為位似中心，把△EFO放大為原來的2倍，則E點的對應點坐標為（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1） D．（8，﹣4）7．如圖，的頂點在拋物線上，將繞點順時針旋轉，得到，邊與該拋物線交于點，則點的坐標為（）．A． B． C． D．8．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，則S△DOE：S△AOC的值為（）A． B． C． D．9．在平面直角坐標系中，已知點A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是（）A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）10．若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，﹣1），則k的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知：等邊△ABC，點P是直線BC上一點，且PC:BC=1:4,則tan∠APB=_______，12．如圖，點D、E分別是線段AB、AC上一點∠AED=∠B，若AB=8，BC=7，AE=5則，則DE＝_____．13．如圖，四邊形是菱形，經(jīng)過點、、與相交于點，連接、，若，則的度數(shù)為__________．14．如圖，在正方體的展開圖形中，要將﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三個空白處（彼此不同），則正方體三組相對的兩個面中數(shù)字互為相反數(shù)的概率是______．15．如圖，在中，是斜邊的垂直平分線，分別交于點，若，則______．16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，AC⊥x軸于點C，連接OA，則△OAC面積為_____．17．如圖，半圓的半徑為4，初始狀態(tài)下其直徑平行于直線．現(xiàn)讓半圓沿直線進行無滑動滾動，直到半圓的直徑與直線重合為止．在這個滾動過程中，圓心運動路徑的長度等于_________．18．有兩名學員小林和小明練習射擊，第一輪10槍打完后兩人打靶的環(huán)數(shù)如圖所示，通常新手的成績不太穩(wěn)定，那么根據(jù)圖中的信息，估計小林和小明兩人中新手是_______.三、解答題(共66分)19．（10分）在初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)的表達式——利用函數(shù)圖象研其性質——運用函數(shù)解決問題”的學習過程．如圖，在平面直角坐標系中己經(jīng)繪制了一條直線．另一函數(shù)與的函數(shù)關系如下表：…－6－5－4－3－2－10123456……－2－0.2511.7521.751－0.25－2－4.25－7－10.25－14…（1）求直線的解析式；（2）請根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，繪制出函數(shù)的近似圖像；（3）請根據(jù)所學知識并結合上述信息擬合出函數(shù)的解折式，并求出與的交點坐標．20．（6分）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A(1，1)，且與直線交于B，C兩點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）求△ABC的面積；（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．21．（6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．22．（8分）如圖①，在中，，是邊上任意一點（點與點，不重合），以為一直角邊作，，連接，.若和是等腰直角三角形.（1）猜想線段，之間的數(shù)量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論；（2）現(xiàn)將圖①中的繞著點順時針旋轉，得到圖②，請判斷（1）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由.23．（8分）（1）計算：；（2）解方程．24．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E.若一個三角形模板與△ABE完全重合地疊放在一起，現(xiàn)將該模板繞點E順時針旋轉.要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上，請?zhí)骄科叫兴倪呅蜛BCD的角和邊需要滿足的條件.25．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC邊上一點，DE⊥AB于點E．（1）求證：△ABC∽△ADE；（2）如果AC=8，BC=6，CD=3，求AE的長．26．（10分）如圖，是等邊三角形，順時針方向旋轉后能與重合.（1）旋轉中心是___________，旋轉角度是___________度，（2）連接，證明：為等邊三角形.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)大體畫出拋物線的圖象，進一步即可判斷a、b、c的符號，進而可判斷（1）；由點（0，3）和（3，3）在拋物線上可求出拋物線的對稱軸，然后結合拋物線的開口方向并利用二次函數(shù)的性質即可判斷（2）；由（2）的結論可知：當x＝4和x＝﹣1時對應的函數(shù)值相同，進而可判斷（3）；根據(jù)畫出的拋物線的圖象即可判斷（4）；由表中的數(shù)據(jù)可知：當x＝3時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝3，進一步即可判斷（5），從而可得答案.【詳解】解：（1）畫出拋物線的草圖如圖所示：則易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正確；（2）由表格可知：點（0，3）和（3，3）在拋物線上，且此兩點關于拋物線的對稱軸對稱，∴拋物線的對稱軸為直線x＝，因為a<0，所以，當x＞時，y的值隨x值的增大而減小，故（2）錯誤；（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝，∴當x＝4和x＝﹣1時對應的函數(shù)值相同，∵當x=－1時，y<0，∴當x=4時，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正確；（4）由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，與y軸有一個交點，故（4）錯誤；（5）由表中的數(shù)據(jù)可知：當x＝3時，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一個根，故（5）正確；綜上，結論正確的共有3個，故選：C．【點睛】本題考查了拋物線的圖象和性質以及拋物線與一元二次方程的關系，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)大體畫出函數(shù)圖象、熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.2、B【分析】由平行線分線段成比例可得到，從而AC的長度可求.【詳解】∵∥∴∴∴故選B【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵.3、D【分析】分AB、CD在圓心的同側和異側兩種情況求得AB與CD的距離．構造直角三角形利用勾股定理求出即可.【詳解】當弦AB和CD在圓心同側時，如圖①，過點O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF-OE=1cm；當弦AB和CD在圓心異側時，如圖②，過點O作OE⊥AB于點E，反向延長OE交AD于點F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=8cm，CD=6cm，∴AE=4cm，CF=3cm，∵OA=OC=5cm，∴EO=3cm，OF=4cm，∴EF=OF+OE=7cm．故選D．【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理；熟練掌握垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關鍵，要注意有兩種情況．4、A【分析】根據(jù)黃金分割點的定義和得出，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長度．【詳解】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點，且，

則．

故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割．應該識記黃金分割的公式：較短的線段＝原線段的，較長的線段＝原線段的．5、C【分析】連接OC，根據(jù)圓的性質和已知條件即可求出OC=OB=，BE=，從而求出OE，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求CE和DE，從而求出CD.【詳解】解：連接OC∵，∴OC=OB=，BE=∴OE=OB－BE=6∵是的弦，，∴DE=CE=∴CD=DE＋CE=16故選：C.【點睛】此題考查的是垂徑定理和勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理的結合是解決此題的關鍵.6、B【分析】E（﹣4，1）以O為位似中心，按比例尺1：1，把△EFO放大，則點E的對應點E′的坐標是E（﹣4，1）的坐標同時乘以1或﹣1．【詳解】解：根據(jù)題意可知，點E的對應點E′的坐標是E（﹣4，1）的坐標同時乘以1或﹣1．所以點E′的坐標為（8，﹣4）或（﹣8，4）．故選：B．【點睛】本題主要考查根據(jù)位似比求對應點的坐標，分情況討論是解題的關鍵．7、C【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后根據(jù)題意求得D（0，2），且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標．【詳解】∵Rt△OAB的頂點A(?2,4)在拋物線上，∴4=4a，解得a=1，∴拋物線為，∵點A(?2,4)，∴B(?2,0)，∴OB=2，∵將Rt△OAB繞點O順時針旋轉，得到△OCD，∴D點在y軸上，且OD=OB=2，∴D(0,2)，∵DC⊥OD，∴DC∥x軸，∴P點的縱坐標為2，代入,得，解得∴P故答案為:.【點睛】考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,坐標與圖形變化-旋轉，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.8、D【分析】證明BE：EC＝1：3，進而證明BE：BC＝1：4；證明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性質即可解決問題．【詳解】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，∴BE：EC＝1：3；∴BE：BC＝1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴，∴S△DOE：S△AOC＝，故選：D．【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質，根據(jù)BE：EC＝1：3得到同高兩個三角形的底的關系是解題的關鍵，再利用相似三角形即可解答.9、D【解析】根據(jù)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k，即可求得答案．【詳解】∵點A（-4，2），B（-6，-4），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，∴點A的對應點A′的坐標是：（-2，1）或（2，-1）．故選D．【點睛】此題考查了位似圖形與坐標的關系．此題比較簡單，注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于±k．10、A【解析】把點（1，-1）代入解析式得-1=，

解得k=-1．

故選A．二、填空題(每小題3分,共24分)11、或．【分析】過A作AD⊥BC于D，設等邊△ABC的邊長為4a，則DC=2a，AD=2a，PC=a，分類討論：當P在BC的延長線上時，DP=DC+CP=2a+a=3a；當P點在線段BC上，即在P′的位置，則DP′=DC-CP′=a，然后分別利用正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過A作AD⊥BC于D，設等邊△ABC的邊長為4a，則DC=2a，AD=2a，PC=a，當P在BC的延長線上時，DP=DC+CP=2a+a=3a，在Rt△ADP中，tan∠APD=；當P點在線段BC上，即在P′的位置，則DP′=DC-CP′=a，在Rt△ADP′中，tan∠AP′D=．故答案為：或．【點睛】本題考查解直角三角形；等邊三角形的性質．12、【分析】先根據(jù)題意得出△AED∽△ABC，再由相似三角形的性質即可得出結論．【詳解】∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∴，∵AB=8，BC=7，AE=5，∴，解得ED=．故答案為：．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．13、【分析】根據(jù)菱形的性質得到∠ACB＝∠DCB＝（180°?∠D）＝51°，根據(jù)圓內接四邊形的性質得到∠AEB＝∠D＝78°，由三角形的外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠D＝78°，

∴∠ACB＝∠DCB＝（180°?∠D）＝51°，

∵四邊形AECD是圓內接四邊形，

∴∠AEB＝∠D＝78°，

∴∠EAC＝∠AEB?∠ACE＝27°，

故答案為：27°．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形的外角的性質，圓內接四邊形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．14、【解析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大小．【詳解】解：將-1、-2、-3分別填入三個空，共有3×2×1=6種情況，其中三組相對的兩個面中數(shù)字和均為零的情況只有一種，故其概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法與運用．一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結果，那么事件A的概率.15、2【分析】連接BF，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=BF，再根據(jù)等邊對等角的性質求出∠ABF=∠A，然后根據(jù)三角形的內角和定理求出∠CBF，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出CF．【詳解】如圖，連接BF，

∵EF是AB的垂直平分線，

∴AF=BF，

∴，，在△BCF中，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，三角函數(shù)的定義，熟記性質并作出輔助線是解題的關鍵．16、1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可得S△OAC＝×2＝1，再相加即可．【詳解】解：∵函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，AC⊥x軸于點C，∴S△OAC＝×2＝1，故答案為1．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義，掌握過反比例函數(shù)圖象上的點向x軸或y軸作垂線，這一點和垂足、原點組成的三角形的面積的計算方法是解本題的關鍵．17、【分析】由圖可知，圓心運動路徑的長度主要分兩部分求解，從初始狀態(tài)到垂直狀態(tài)，圓心一直在一條直線上；從垂直狀態(tài)到重合狀態(tài)，圓心運動軌跡是圓周，計算兩部分結果，相加即可．【詳解】由題意知：半圓的半徑為4，∴從初始狀態(tài)到垂直狀態(tài)，圓心運動路徑的長度=．∴從垂直狀態(tài)到重合狀態(tài)，圓心運動路徑的長度=．即圓心運動路徑的總長度=．故答案為．【點睛】本題主要考查了弧長公式和圓周公式，正確掌握弧長公式和圓周公式是解題的關鍵．18、小林【詳解】觀察圖形可知，小林的成績波動比較大，故小林是新手．

故答案是：小林．三、解答題(共66分)19、（1）；（2）見解析；（3）交點為和【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（2）描點連線即可；（3）根據(jù)圖象得出函數(shù)為二次函數(shù)，頂點坐標為(-2，2)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，解方程組即可得出與交點坐標．【詳解】（1）設直線的解析式為y=kx+m．由圖象可知，直線過點(6，0)，(0，-3)，∴，解得：，∴；（2）圖象如圖：（3）由圖象可知：函數(shù)為拋物線，頂點為．設其解析式為：從表中選一點代入得：1=4a+2，解出：，∴，即．聯(lián)立兩個解析式：，解得：或，∴交點為和．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質．根據(jù)圖象求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵．20、（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在滿足條件的N點，其坐標為(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)【分析】（1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；（2）設直線AC的解析式為y＝kx＋b，與x軸交于D，得到y(tǒng)＝2x?1，求得BD于是得到結論；（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質可得或，可求得N點的坐標．【詳解】（1）∵頂點坐標為（1，1），∴設拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，與x軸交于D，把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐標代入得，解得：，∴y=2x﹣1，當y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），∴BD=2﹣=，∴△ABC的面積=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，∵MN⊥x軸于點N，∴∠ABC=∠MNO=90°，∴當△ABC和△MNO相似時，有或，①當時，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此時N點坐標為（，0）或（，0）；②當或時，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設出N、M的坐標，利用相似三角形的性質得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意相似三角形點的對應．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．21、sinA=，cosA=，tanA=．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】由勾股定理得，，則，，．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是利用勾股定理求出AB的長.22、（1）BE=AD，BE⊥AD；（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立，理由見解析【分析】（1）由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易證△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因為∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；

（2）成立．設BE與AC的交點為點F，BE與AD的交點為點G，易證△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根據(jù)等量代換得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD．【詳解】（1）BE=AD，BE⊥AD；在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵∠EBC+∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ADC=90°，∴BE⊥AD.故答案為：BE=AD，BE⊥AD.（2）BE=AD，BE⊥AD仍然成立設BE與AC的交點為F，BE與AD的交點為G，如圖∴，∴.在和中，∵∴.∴∵，∴，，∴BE⊥AD【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.23、（1）；（2）無解【分析】（1）先算開方，0指數(shù)冪，絕對值，再算加減；（2）兩邊同時乘以，去分母，再解整式方程.【詳解】（1）解：原式==（2）解：兩邊同時乘以，得：經(jīng)檢驗是原方程的增根，∴原方程無解．【點睛】考核知識點：解分式方程.把分式方程化為整式方程是關鍵.24、詳見解析.【分析】三角形模板繞點E旋轉60°后，E為旋轉中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM，EN，EM，EN分別AB,CD于F,G使得∠BEM=∠AEN=60°，可證△BEF為等邊三角形，即EB=EF，故B的對應點為F.根據(jù)SAS可證，即EA=GE，故A的對應點為G.由此可得：要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在平行四邊形ABCD的邊上,平行四邊形ABCD的角和邊需要滿足的條件是:∠ABC=60°，AB=BC.【詳解】解：要使該模板旋轉60°后，三個頂點仍在的邊上，的角和邊需要滿足的條件是：∠ABC=60°，AB=BC理由如下：三角形模板繞點E旋轉60°后，E為旋轉中心，位置不變，仍在邊BC上，過點E分別做射線EM，EN，使得∠BEM=∠AEN=60°，∵AE⊥BC，即∠AEB=∠AEC=90°，∴∠BEM<∠BEA∴射線EM只能與AB邊相交，記交點為F