高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合、常用邏輯用語、不等式第1課時集合學(xué)案

【教師備選資源】新高考卷三年考情圖解高考命題規(guī)律把握1．?？键c：集合．常與一元二次不等式交匯命題，主要考查一元二次不等式的解法及集合的交、并、補運算．2．輪考點：常用邏輯用語、不等式的性質(zhì)、基本不等式．(1)充分、必要條件的判斷常與數(shù)列、平面向量等知識交匯命題，注重對基本概念、基本性質(zhì)的考查；(2)全稱量詞與存在量詞命題?？疾槠浞穸ㄐ问降淖R別；(3)不等式的性質(zhì)主要體現(xiàn)在數(shù)(式)的大小比較；(4)基本不等式主要體現(xiàn)在應(yīng)用其求代數(shù)式的最值．第1課時集合[考試要求]1．了解集合的含義，了解全集、空集的含義．2．理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系．3．會求兩個集合的并集、交集與補集．4．能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算．考點一集合的基本概念1．集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．2．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于和不屬于，分別用符號∈和?表示．3．集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法．4．?dāng)?shù)學(xué)中一些常用的數(shù)集及其記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N＋ZQR[典例1](1)(2024·安徽淮南?？计谥?已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤2，x，y∈N}，則A中元素的個數(shù)為()A．1 B．5C．6 D．無數(shù)個(2)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________．(1)C(2)－32[(1)由x＋y≤2，x，y∈N，則(x，y所以A＝{(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(2，0)}，共6個元素．故選C．(2)由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－32當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－32時，m＋2＝12，而2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－本例(1)驗證條件“x∈N，y∈N，x＋y≤2”是求解的關(guān)鍵，同時注意集合A是點集；本例(2)在求解中易忽視集合中元素的互異性，導(dǎo)致增解．跟進訓(xùn)練1(1)設(shè)集合A＝{x|x是10的正約數(shù)}，B＝{x|x是小于10的素數(shù)}，則A∩B＝()A．{1，2，5} B．{2，5}C．{2，3，5，7，10} D．{1，2，3，5，7，10}(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，則實數(shù)a的值為()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0(1)B(2)C[(1)由題意知A＝{1，2，5，10}，B＝{2，3，5，7}，所以A∩B＝{2，5}．(2)∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1時，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互異性，舍去；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0時，A＝{1，－2，－1}，故a＝0．故選C．]考點二集合間的基本關(guān)系1．子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B或B?A．2．真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB或BA．3．相等：若A?B，且B?A，則A＝B．提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集，2n－2個非空真子集．[典例2](1)(2023·北京東城二模)已知集合A＝{x∈N|－1<x<5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則()A．AB B．A＝BC．B∈A D．B?A(2)集合{1，2，3，4，5}的非空真子集個數(shù)為()A．32 B．31C．30 D．29(3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．(1)A(2)C(3)[－1，＋∞)[(1)A＝{x∈N|－1<x<5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則AB．故選A．(2)因為集合{1，2，3，4，5}中含有5個元素，所以集合{1，2，3，4，5}的非空真子集個數(shù)為25－2＝30．故選C．(3)①當(dāng)B＝?時，2m－1>m＋1，解得m>2；②當(dāng)B≠?時，2m-綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．]本例(3)這類問題常借助數(shù)軸來直觀解決，同時注意空集對題目求解產(chǎn)生的影響．跟進訓(xùn)練2(2023·遼寧沈陽?？既?設(shè)集合A＝{1，2，3}，則滿足A∪B＝{x∈N|x≤4}的集合B的個數(shù)是()A．7 B．8C．15 D．16B[A∪B＝x∈Nx≤4＝0，1，2，3，4，又A＝故B可以為如下8個集合中的任意一個：{0，4}，{0，4，1}，{0，4，2}，{0，4，3}，{0，4，1，2}，{0，4，1，3}，{0，4，2，3}，{0，4，1，2，3}．故選B．]【教師備用】(2023·江蘇南京、鹽城一模)設(shè)M＝xx=k2，k∈A．MN B．NMC．M＝N D．M∩N＝?B[因為x＝k＋12＝2k+12，因為所以2k＋1為奇數(shù)，故NM．故選B．]考點三集合的基本運算并集交集補集圖形表示集合表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}?UA＝{x|x∈U，且x?A}[常用結(jié)論]A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A．[典例3](1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}C．{－2} D．{2}(2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<－2 B．a(chǎn)≤－2C．a(chǎn)>－4 D．a(chǎn)≤－4(3)(2023·全國乙卷)設(shè)集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，則{x|x≥2}＝()A．?U(M∪N) B．N∪?UMC．?U(M∩N) D．M∪?UN(1)C(2)D(3)A[(1)∵x2－x－6≥0，∴(x－3)(x＋2)≥0，N＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，則M∩N＝{－2}．故選C．(2)集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝xx≤-a2，由A∪B＝則－a2(3)由題意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以?U(M∪N)＝{x|x≥2}，故選A．]注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，集合運算中常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖．跟進訓(xùn)練3(1)(2023·山東菏澤校考)設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝xx≥3，N＝xA．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x<3}C．{x|2<x<3} D．{x|2≤x≤3}(2)(2024年1月九省聯(lián)考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為________．(1)C(2)5[(1)由題干圖可知陰影部分表示N∩(?UM)，由M＝{x|x≥3}，得?UM＝{x|x<3}，因為N＝{x|2<x<5}，所以N∩(?UM)＝{x|2<x<3}，故選C．(2)由A∩B＝A，則A?B，由x-3≤故有4≤m+3，即m的最小值為5．]【教師備用】(2023·廣東茂名二模)已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|2x－a<0}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是( )A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2]A[集合A＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x要使A?B，只需1<a2解得a>2．故選A．]課后習(xí)題(一)集合1．(多選)(人教A版必修第一冊P5習(xí)題1.1T1改編)若集合A＝{x|x2－1＝0}，則下列結(jié)論正確的是()A．1∈A B．{－1}?AC．??A D．{－1，1}?A[答案]ABC2．(北師大版必修第一冊P7例4改編)集合A＝{2，3，4}的子集有()A．4個 B．6個C．8個 D．9個C[A＝{2，3，4}的子集個數(shù)為23＝8，故選C．]3．(人教A版必修第一冊P35T9改編)已知集合M＝{1，3，m2}，N＝{1，m＋2}，若M∩N＝N，則實數(shù)m＝________．2[因為M∩N＝N，所以N?M，所以m＋2∈M．當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時，M＝{1，3，1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當(dāng)m＋2＝m2時，m＝－1(舍去)或m＝2，此時M＝{1，3，4}，N＝{1，4}，符合題意．綜上，實數(shù)m＝2．]4．(湘教版必修第一冊P12習(xí)題1.1T10改編)設(shè)全集為R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，則?R(A∪B)＝________，(?RA)∩B＝________．{x|x≤2，或x≥10}{x|2<x<3，或7≤x<10}[因為A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}，?RA＝{x|x<3，或x≥7}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2，或(?RA)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．]5．(2023·山東威海二模)已知全集U＝{x|0<x<5}，集合A滿足?UA＝{x|1<x<3}，則()A．1?A B．2∈AC．3?A D．4∈AD[因為U＝{x|0<x<5}，且?UA＝{x|1<x<3}，所以A＝{x|0<x≤1，或3≤x<5}，所以1∈A，2?A，3∈A，4∈6．(2024·潮州模擬)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－4x＋3≤0}，則A∪B＝()A．[1，3] B．(2，3]C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)C[由x2－4x＋3≤0，得(所以B＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{又A＝{x|x>2}，所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x7．(2023·山東濟寧三模)若集合A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}，B＝{(x，y)|y>x}，則集合A∩B中的元素個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C[因為A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N，y∈N}＝{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}，又B＝{(x，y)|y>x}，所以A∩B＝{(0，4)，(1，3)}，即集合A∩B中含有2個元素．故選C．]8．已知集合A＝{x|x≥3，或x≤－1}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，則實數(shù)a的最大值為()A．－3 B．3C．－1 D．1C[因為A∪B＝{x|x≥3，或x≤－1}則a≤－1，則實數(shù)a的最大值為－1．故選C．]9．(多選)(2023·山東濰坊一模)若非空集合M，N，P滿足：M∩N＝N，M∪P＝P，則()A．P?M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩?PN＝?BC[由M∩N＝N，可得N?M，由M∪P＝P，可得M?P，則推不出P?M，故選項A錯誤；由M?P，可得M∩P＝M，故選項B正確；因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P＝P，故選項C正確；由N?M，可得M∩?PN不一定為空集，故選項D錯誤．故選BC．]10．(2024·湖南校聯(lián)考模擬預(yù)測)定義集合A÷B＝zz=xy，x∈A，y∈B．已知集合AA．3 B．4C．5 D．6B[因為A＝{4，8}，B＝{1，2，4}，所以A÷B＝{1，2，4，8}，故A÷B中元素的個數(shù)為4．故選B．]11．(2024·福建廈門模擬)設(shè)集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝x-1}，若ACB，寫出一個符合條件的集合C，則C{x|1≤x≤4}(答案不唯一)[A＝{x|1≤x若ACB，則可有C＝{x|1≤x12．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，則實數(shù)m＝________．0或3[因為A∪B＝A，所以B?A．因為A＝{1，3，m2}，B＝{1，m}，所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3．當(dāng)m＝0時，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，符合題意；當(dāng)m＝1時，集合A、集合B均不滿足集合元素的互異性，不符合題意；當(dāng)m＝3時，A＝{1，3，9}，B＝{1，3}，符合題意．綜上，m＝0或3．]階段提能(一)集合1．(北師大版必修第一冊P12習(xí)題1-1B組T4)已知全集U＝{x∈N|0≤x≤6}，A?U，B?U，?U(A∪B)＝{0}，A∩B＝?，寫出3組滿足條件的集合A，B．[解]U＝{x∈N|0≤xA?U，B?U，?U(A∪B)＝{0}?A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，①A∩B＝?，②由①②可寫出以下3組滿足條件的集合A，B：(1)A＝{1}，B＝{2，3，4，5，6}，(2)A＝{1，2}，B＝{3，4，5，6}，(3)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}．2．(湘教版必修第一冊P8例7)設(shè)U＝{x∈Z|x∈(0，12]}，A＝{x∈N|0<x<6}，B＝{x∈Z|x∈[7，11]}，求?UA和?UB．[解]由條件可知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，A＝{1，2，3，4，5}，B＝{7，8，9，10，11}，因此?UA＝{6，7，8，9，10，11，12}，?UB＝{1，2，3，4，5，6，12}．3．(湘教版必修第一冊P12習(xí)題1.1T11)已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，求集合B中元素的個數(shù)．[解]∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A，x－y∈A}，∴0≤x＋∴集合B的元素有：(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(4，0)，共有9個元素．4．(人教A版必修第一冊P35復(fù)習(xí)參考題1T11)學(xué)校舉辦運動會時，高一(1)班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽．同時參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？[解]設(shè)同時參加田徑比賽和球類比賽的人數(shù)為x，只參加田徑比賽的人數(shù)為y，只參加球類比賽的人數(shù)為z，則只參加游泳比賽的有15－3－3＝9(人)，作出Venn圖，如圖所示，由Venn圖，得3解得x=所以同時參加田徑比賽和球類比賽的人數(shù)為3，只參加游泳一項比賽的有9人．5．(湘教版必修第一冊P13習(xí)題1.1T16)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A∩(?UB)＝{1，8}，(?UA)∩B＝{2，6}，(?UA)∩(?UB)＝{4，7}，求集合A，B．[解]因為A∩(?UB)＝{1，8}，(?UA)∩(?UB)＝{4，7}，所以[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩(?UB)]＝(?UB)∩[A∪(?UA)]＝(?UB)∩U＝{1，4，7，8}，所以?UB＝{1，4，7，8}，因為U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以B＝{2，3，5，6}．因為(?UA)∩B＝{2，6}，(?UA)∩(?UB)＝{4，7}，所以[B∩(?UA)]∪[(?UA)∩(?UB)]＝(?UA)∩[B∪(?UB)]＝(?UA)∩U＝{2，4，6，7}，所以?UA＝{2，4，6，7}，因為U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A＝{1，3，5，8}．綜上，A＝{1，3，5，8}，B＝{2,3，5，6}．6．(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x?Q}，則M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}A[由M＝{x|x∈P且x?Q}知，M＝{1}．故選A．]7．(2023·全國乙卷)設(shè)全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝()A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}C．{1，2，4，6，8} D．UA[由題意知，?UN＝{2，4，8}，所以M∪?UN＝{0，2，4，6，8}．故選A．]8．(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2 B．1C．23 B[依題意，有a－2＝0或2a－2＝0．當(dāng)a－2＝0時，解得a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B；當(dāng)2a－2＝0時，解得a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A?B．所以a＝1，故選B．]9．(2020·新高考Ⅰ卷)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體